MOSAIC CALCULUS BAB 2

• Copy right by https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/02-notation.html

2 Notasi

Bab ini memperkenalkan lebih banyak notasi yang akan kita gunakan untuk matematika dan komputasi.

Penggunaan notasi yang baik harus membuat maksud penulis jelas bagi pembaca. Dalam studi kita tentang kalkulus, setiap komponen notasi akan mengacu pada suatu objek matematika. Oleh karena itu, notasi itu sendiri harus menunjukkan jenis objeknya .

Pada bab sebelumnya, kita telah menjelaskan tiga jenis benda: fungsi, besaran, dan ruang. Kami memperkenalkan notasi matematika dan komputer untuk memperjelas apa nama suatu fungsi dan nama inputnya. Dalam bab ini, kami akan memperkenalkan konstanta , parameter , dan masukan khusus . Kita akan melihat bagaimana memasukkan nama, seperti$x$ di dalam$g(x)\equiv x^3+3$ mengacu pada semacam ruang yang disebut domain .

Notasi (kata benda): rangkaian atau sistem simbol tertulis yang digunakan untuk mewakili angka, jumlah, atau elemen dalam sesuatu seperti musik atau matematika. –Kamus Oxford

Jelas masuk akal untuk menggunakan notasi matematika yang sudah Anda kenal. Kami akan melengkapi notasi ini dengan aturan penamaan sederhana, yang dimaksudkan untuk memperjelas dari namanya saja objek matematika apa yang diberi nama.

Karena Anda akan menggunakan komputasi secara ekstensif, ada baiknya Anda menyadari kapan cara Anda menulis pernyataan matematika bertentangan dengan persyaratan komputasi.

• 1. Notasi matematika tradisional banyak menggunakan penataan ruang, seperti misalnya dalam$\frac{3}{4}$ atau$x^{-3}$ atau$\sqrt[4]{y^2-6}$. Bagi mereka yang mengenalnya, notasi ini bisa ringkas dan indah. Tapi itu dikembangkan di era perkamen dan pena, tanpa firasat keyboard dan rangkaian karakter yang sangat linier yang banyak digunakan dalam komunikasi tertulis. Kebanyakan bahasa komputer arus utama didasarkan pada input keyboard.
• 2. Notasi matematika tradisional dikembangkan untuk berkomunikasi antar manusia dan, seperti bahasa sehari-hari, memiliki kesenjangan dan ambiguitas yang dapat diselesaikan (tidak selalu benar) oleh akal sehat manusia. Sebaliknya, bahasa komputer harus tepat dan tidak ambigu sehingga dapat diinterpretasikan oleh mesin.

Kami akan mencoba menggunakan notasi matematika dengan cara yang membatasi konflik antara notasi tradisi dan notasi komputer. Konflik ini sangat akut terutama ketika menyangkut gagasan “persamaan”, yang banyak digunakan dalam matematika sekolah menengah atas tetapi bukan merupakan komponen bahasa komputer arus utama.

2.1 Fungsi, masukan, parameter

Gaya notasi kita adalah memberi nama eksplisit pada fungsi dan masukannya . Prinsip dasarnya adalah nama fungsi merupakan rangkaian huruf yang diikuti sepasang tanda kurung kosong, misalnya,$\sin ()$ atau$\ln ()$ . Tanda kurung memberikan indikasi yang jelas bahwa ini adalah nama fungsi.

Seperti yang Anda lihat di Bab 1 , notasi kita untuk mendefinisikan suatu fungsi menyertakan nama parameternya. Dalam notasi matematika kita, nama fungsi dan nama masukan ditampilkan di sisi kiri tabel.$\equiv$ simbol. Contohnya,

$$g(u,z)\equiv u\cos (z)$$

melibatkan fungsi bernama$g()$ dan dua input bernama$u$ Dan$z$ masing-masing. Kita juga akan menggunakan nama dengan subskrip dan superskrip, misalnya nama fungsi$g_3()$ atau$h_{\text{water}}()$ .

Orang yang berakal sehat akan mendefinisikan suatu fungsi karena mereka berencana menggunakannya nanti, mungkin beberapa kali. “Menggunakan” suatu fungsi mungkin berarti memasukkannya ke dalam rumus dalam definisi fungsi lain. Namun ada juga pengertian “penggunaan” yang lebih spesifik sehingga kita perlu memberi nama yang tepat. Menerapkan suatu fungsi berarti menyediakan besaran masukan tertentu sehingga keluaran dari fungsi tersebut dapat dihitung. Frasa yang setara adalah mengevaluasi fungsi pada input. Misalnya saja untuk menerapkan fungsi tersebut$g()$ ke kuantitas masukan 3, salah satu ekspresi matematika berikut dapat digunakan:

$$g(3)\text{or}g(x=3)\text{or}g(x){|}_{x=3}.$$

Ingat itu$g(3)$ atau padanannya bukanlah fungsi itu sendiri. Mereka adalah besaran yang dihasilkan dari penerapan fungsi pada besaran masukan.

Bedakan dengan cermat antara definisi suatu fungsi, katakanlah,$g(t)\equiv \sin (t)/t$ dan penerapan fungsi ke input . Saat suatu fungsi diterapkan, argumennya bisa berupa angka atau nama apa pun yang berisi nilai untuk dijadikan masukan. Misalnya, salah satu dari$g(b)$ ,$g(\text{age})$ , atau$g(\text{population})$ bisa menjadi cara yang benar untuk melamar$g()$ .

Sisi kanan definisi fungsi adalah rumus . Rumusnya menentukan bagaimana masing-masing masukan akan digunakan dalam penghitungan keluaran fungsi. Jika suatu fungsi memiliki lebih dari satu masukan, nama masukan berfungsi untuk menunjukkan ke mana setiap masukan dimasukkan ke dalam rumus yang menentukan penghitungan. Contohnya:

$$h(x,y)\equiv x^2{e}^y.$$

$h()$ adalah fungsi yang sama sekali berbeda dari, katakanlah,$f(x,y)\equiv y^2{e}^x$ .

Anda mungkin memperhatikan bahwa kami menggunakan nama fungsi$f()$ ,$g()$ , Dan$h()$ banyak. Anggaplah nama-nama ini setara dengan kata ganti dalam bahasa Inggris seperti “ini”, “itu”, “itu”, dan seterusnya. Nama fungsi seperti$f()$ atau$F()$ atau$G()$ akan digunakan ketika kita perlu merujuk ke suatu fungsi sesaat: kalimat, paragraf, bagian.

2.1.1 Masukkan nama

Untuk menyederhanakan identifikasi definisi fungsi, kita cenderung menggunakan sekumpulan kecil nama untuk masukan:

• $x$atau$y$ atau$z$ .
• $t$. Nama ini biasanya digunakan jika masukannya adalah time .
• Jarang,$u$ ,$v$ ,$w$ ketika argumen lain sudah digunakan.

Dalam pemodelan, untuk memperjelas hubungan fungsi dan setting dunia nyata, sebaiknya gunakan nama yang lebih deskriptif, seperti$T$ untuk “suhu” atau$V$ untuk volume, atau bahkan$\text{altitude}$ (yang menggambarkan dirinya sendiri).

Dalam percakapan sehari-hari, “argumen” adalah diskusi antara orang-orang yang berbeda pendapat. Namun dalam matematika dan komputasi, argumen memiliki arti yang berbeda: argumen merupakan sinonim dari “input ke suatu fungsi”.

Seringkali, fungsi yang kita definisikan memiliki rumus yang menyertakan besaran selain masukan. Misalnya, kita dapat mendefinisikan:

$$h(t)\equiv A\sin (t)+B.$$

Definisi ini secara eksplisit mengidentifikasi$t$ sebagai nama input fungsi. Besaran yang diberi nama$A$ Dan$B$ yang muncul dalam rumus tidak dicantumkan sebagai masukan di sebelah kiri$\equiv$ namun hal ini tetap penting untuk mengevaluasi fungsinya$h()$ .

Ada argumen yang harus dibuat untuk mengidentifikasi sebagai masukan ke fungsi semua kuantitas yang diperlukan untuk mengevaluasi fungsi tersebut. Dalam gaya ini, fungsinya akan didefinisikan sebagai$h(t,A,B)\equiv A\sin (t)+B$ .

Dalam penulisan notasi matematika untuk pembaca manusia, terdapat tradisi membedakan besaran yang berbeda dari satu evaluasi ke evaluasi lainnya dan besaran yang akan sama setiap kali fungsi dievaluasi. Besaran selanjutnya ini disebut parameter .

Dalam membaca definisi seperti

$$h(t)\equiv A\sin (t)+B,$$

besaran bernama yang tidak tercantum dalam tanda kurung di sebelah kiri definisi—$A$ Dan$B$ dalam contoh ini—akan menjadi parameternya. Dengan menuliskan nama pada gaya parameter, kita memberi sinyal bahwa besaran ini tidak akan berubah saat kita menerapkan fungsinya. Tidak disebutkan berapa nilai parameternya, yang menjadi sumber kebingungan bagi banyak pendatang baru di bidang kalkulus.

Tidak ada aturan mutlak untuk mengidentifikasi besaran bernama yang digunakan dalam rumus fungsi sebagai parameter dan bukan sebagai masukan. Ini adalah masalah gaya dan kebiasaan di bidang tempat Anda bekerja. Saat kita membahas notasi komputer untuk mendefinisikan fungsi, Anda akan melihat bahwa kita menyederhanakan berbagai hal dengan mempertimbangkan semua besaran bernama yang digunakan dalam rumus fungsi sebagai masukan.

2.1.2 Nama parameter

Untuk memudahkan mengenali parameter , kami akan menggunakan nama seperti$a$ ,$b$ ,$c$ ,$\dots$ , atau sepupu huruf besar mereka$A$ ,$B$ ,$\dots$ . Misalnya, berikut adalah definisi fungsi yang disebut “polinomial kubik”:

$$h(x)\equiv a+bx+c{x}^2+d{x}^3.$$

Ucapkan nama$a_0$ atau$b_3$ masing-masing sebagai “a-sub-zero” dan “b-sub-three”.

Namun akan ada saatnya kita perlu membandingkan dua fungsi atau lebih dan kehabisan nama yang sesuai dari awal alfabet. Salah satu cara untuk mengatur semuanya adalah dengan menggunakan subskrip pada huruf-hurufnya, misalnya membandingkan

$$g(x)\equiv a_0+a_1{x}^2+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4$$

ke

$$f(x)\equiv b_0+b_1{x}^2+b_2{x}^2.$$

Tradisi penggunaan huruf awal alfabet sebagai nama parameter sudah ada sejak zaman Isaac Newton.

Model profesional sering menggunakan huruf Yunani sebagai nama parameter:$\alpha$ ,$\beta$ ,$\gamma$ ,$\delta$ , …

2.1.3 Fungsi tanpa nama

Notasi matematika tradisional menulis banyak fungsi baik tanpa nama maupun tanpa tanda kurung. Contoh yang mungkin pernah Anda lihat adalah ,$\sqrt{x}$ , Dan$e^x$ . Dalam format nama/tanda kurung, fungsi-fungsi ini adalah, katakanlah, square() dan sqrt() dan exp(). Perhatikan bahwa$x$ bukan bagian dari nama fungsi dalam format nama/tanda kurung.

Terkadang kita akan menggunakan nama seperti square() hanya untuk menekankan poin yang kita bicarakan tentang suatu fungsi. Namun, sebagian besar, kami akan tetap menggunakan bentuk tradisional karena sudah ada di mana-mana dan dapat dikenali oleh sebagian besar pembaca.

Notasi nama/tanda kurung, seperti exp() atau sin() memungkinkan kita menghindari penulisan$x$ sebagai indikator ke mana masukan ke fungsi tersebut pergi. Hal ini berguna karena, bagaimanapun, masukan sebenarnya mungkin benar-benar berbeda$x$ .

2.2 Masukan khusus

Kami akan membuat fungsi sebagai model situasi dunia nyata. Setelah dibuat, biasanya kita harus mengekstrak informasi dari fungsi yang menginformasikan pilihan, keputusan, atau pemahaman dunia nyata yang perlu kita buat atau kembangkan.

Ada banyak bentuk informasi yang diambil, bergantung pada keadaan. Dengan frekuensi yang mengejutkan, ada dua jenis informasi yang berguna:

• Himpunan masukan yang menghasilkan keluaran maksimum atau minimum.
• Input yang menghasilkan output tertentu.

Kami akan menyebut masukan khusus ini dan akan mempelajari teknik untuk menentukannya nanti di buku ini. Namun, untuk saat ini, fokuslah pada notasi yang akan kita gunakan sehingga Anda dapat mengetahui kapan masukan khusus sedang digunakan.

Seperti yang telah kami nyatakan sebelumnya, nama masukan cenderung berupa huruf di belakang alfabet:$t$ ,$u$ ,$v$ ,$x$ ,$y$ ,$z$ . Setiap nama tersebut mengacu pada seluruh rangkaian masukan yang mungkin ke suatu fungsi. Saat kita ingin merujuk ke masukan spesifik yang mendeskripsikan fitur tertentu dari suatu fungsi, kita akan menggunakan nama masukan standar dengan superskrip—misalnya,$x^{\star }$ —Atau subskrip sejenisnya$y_1$ atau$u_0$ .