MOSAIC CALCULUS BAB 1

• Copy right by https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/01-modeling-change.html

1 Kuantitas, fungsi, ruang

Buku ini menyajikan kalkulus dalam tiga konsep penting dalam studi perubahan: besaran , fungsi , dan ruang . Kata-kata tersebut memiliki makna sehari-hari yang, untungnya, dekat dengan konsep matematika spesifik yang akan kita gunakan berulang kali. Dekat… tapi tidak identik. Jadi, perhatikan baik-baik uraian singkat berikut ini.

1.1 Kuantitas vs angka

Besaran matematika adalah suatu jumlah. Cara kita mengukur jumlah bergantung pada jenis barang yang kita ukur. Hal-hal di dunia nyata mungkin berupa massa, waktu, atau panjang. Hal ini juga bisa berupa kecepatan atau volume atau momentum atau hasil jagung tahunan per hektar. Kita hidup di dunia yang penuh dengan hal-hal seperti itu, yang sebagian bersifat nyata (misalnya jagung, massa, gaya) dan sebagian lagi lebih sulit untuk dipahami (akselerasi, hasil panen, penghematan bahan bakar). Kegunaan penting kalkulus adalah membantu kita mengkonseptualisasikan benda-benda abstrak sebagai komposisi matematis dari benda-benda yang lebih sederhana. Misalnya, hasil panen menggabungkan massa dengan panjang dan waktu. Nanti, Anda akan melihat kami menggunakan istilah dimensi yang terdengar lebih ilmiah daripada “barang”.

Kebanyakan orang cenderung menganggap “kuantitas” sama dengan “angka”. Hal ini dapat dimengerti tetapi salah arah. Angka saja tidak ada artinya. Apa arti angka 5 tanpa konteks lebih lanjut? Kuantitas, di sisi lain, menggabungkan angka dengan konteks yang sesuai untuk mendeskripsikan sejumlah barang.

Hal pertama yang perlu Anda ketahui tentang kuantitas apa pun adalah jenis barang yang dideskripsikannya. Satu “mil” adalah sejenis benda: panjang. Satu meter sama saja: panjang. Satu liter adalah sesuatu yang berbeda: volume. Satu galon dan satu acre-foot adalah dua hal yang sama: volume. Namun satu inci (panjang) tidak sama dengan satu jam (waktu).

“Barang”, seperti yang kami maksudkan di sini, adalah apa yang kami ukur. Seperti yang Anda ketahui, kami mengukur dengan satuan . Satuan yang sesuai bergantung pada jenis barangnya. Meter, mil, dan mikron merupakan satuan panjang yang sesuai, meskipun panjang sebenarnya dari satuan tersebut sangat berbeda. (Satu mil kira-kira sama dengan 1,6 juta milimeter.)

Contoh : Anda tidak dapat menambahkan kaki dan hektar. Mereka menggambarkan berbagai macam hal: panjang versus luas. Namun Anda bisa melipatgandakan kaki dan hektar. Satuan “ acre-foot ” banyak digunakan dalam pengelolaan sumber daya air.

Hanya setelah Anda mengetahui satuannya barulah bilangan memiliki arti sebagai besaran: bilangan hanyalah bagian dari penentuan besaran .

Berikut perbedaan mencolok antara bilangan dan besaran dalam kalkulus: Semua jenis operasi aritmatika dan matematika lainnya berlaku untuk bilangan: penjumlahan, perkalian, akar kuadrat, dll. Namun untuk besaran, hanya perkalian dan pembagian yang diperbolehkan secara universal. Untuk penjumlahan dan pengurangan, akar kuadrat, dan sejenisnya, operasi ini hanya masuk akal jika dimensinya sesuai.

Matematika tentang satuan dan dimensi bagi dunia teknis adalah hal yang masuk akal dalam dunia kita sehari-hari. Misalnya (dan ini mungkin tidak masuk akal pada saat ini), jika orang mengatakan kepada saya bahwa mereka mengambil akar kuadrat dari 10 liter, saya langsung tahu bahwa mereka hanya salah atau mereka belum memberi tahu saya elemen-elemen penting dari situasi tersebut. . Ini seperti jika seseorang berkata, “Saya berenang melintasi lapangan tenis.” Anda tahu orang tersebut menggunakan kata kerja yang salah—berjalan atau berlari bisa digunakan—atau bahwa itu bukan lapangan tenis, atau ada sesuatu yang penting yang tidak disebutkan, mungkin, “Saat banjir, saya berenang melintasi lapangan tenis.”

Contoh hubungan lainnya:

• inputnya adalah ketinggian pendakian Anda ke Pikes Peak ; outputnya adalah suhu udara. Biasanya, seiring bertambahnya ketinggian, suhu akan turun.

• inputnya adalah jumlah jam lewat tengah hari; keluarannya adalah kecerahan sinar matahari. Saat sore semakin larut, cahayanya semakin redup, tapi hanya sampai titik tertentu.

Perhatikan baik-baik penggunaan “input” dan “output.” Kami menghindari penggunaan kata “variabel” karena terlalu kabur. (Misalnya, variabel ini tidak membedakan antara apa yang masuk dan apa yang keluar dari suatu fungsi.) Ada dua konteks di mana kita akan menggunakan “variabel”, yang keduanya tidak ada hubungannya dengan masukan ke fungsi. Dalam membicarakan data, kita akan menggunakan “variabel” dalam pengertian statistik, yang berarti “sejenis kuantitas” seperti tinggi badan atau pH. Dan di bagian akhir teks ini, yang melibatkan sistem yang konfigurasinya berubah terhadap waktu, kita akan menggunakan “variabel” dalam arti “kuantitas yang bervariasi seiring waktu.” Cobalah untuk melupakan kata “variabel” untuk saat ini, sampai kita membahas sifat data.

Nanti di Blok Pendahuluan ini, kita akan memperkenalkan “fungsi buku pola.” Ini selalu mengambil bilangan murni sebagai masukan dan mengembalikan bilangan murni sebagai keluaran. Di Blok Pemodelan, kita akan beralih ke fungsi yang mengambil besaran—yang umumnya memiliki satuan—sebagai masukan dan mengembalikan besaran lain sebagai keluaran. Besaran keluaran juga umumnya mempunyai satuan.

1.2 Fungsi

Fungsi, dalam pengertian matematika dan komputasi, adalah inti dari kalkulus. Pengantar Blok Pendahuluan ini dimulai dengan, “Kalkulus adalah tentang perubahan, dan perubahan adalah tentang hubungan.” Gagasan tentang fungsi matematika memberikan perspektif yang pasti mengenai hal ini. Hubungan yang diwakili oleh suatu fungsi adalah antara masukan fungsi dan keluaran fungsi. Masukannya mungkin berupa hari dalam tahun 1 dan keluaran curah hujan kumulatif hingga hari itu. Setiap hari hujan, curah hujan kumulatifnya meningkat.

Fungsi adalah konsep matematika untuk mengambil satu atau lebih masukan dan mengembalikan keluaran . Dalam kalkulus, kita terutama akan membahas fungsi-fungsi yang mengambil satu atau lebih besaran sebagai masukan dan mengembalikan besaran lain sebagai keluaran.

Namun terkadang kita akan bekerja dengan fungsi yang mengambil fungsi sebagai masukan dan mengembalikan kuantitas sebagai keluaran. Dan bahkan akan ada fungsi yang mengambil suatu fungsi sebagai masukan dan mengembalikan suatu fungsi sebagai keluaran.

Dalam definisi seperti $f(x)\equiv \sqrt{x}$ , pikirkan $x$ sebagai nama masukan . Sejauh menyangkut definisi,$x$ hanyalah sebuah nama. Kita bisa saja menggunakan nama lain; hanya konvensi yang menuntun kita untuk memilih $x$ . Definisi tersebut juga bisa saja demikian $f(y)\equiv \sqrt{y}$ atau $f(\text{zebra})\equiv \sqrt{\text{zebra}}$ .

Notasi seperti$f(x)$ juga digunakan untuk sesuatu yang sama sekali berbeda dari definisi. Secara khusus,$f(x)$ bisa berarti menerapkan fungsi tersebut $f()$ ke kuantitas bernama$x$ . Anda selalu dapat mengetahui mana yang dimaksudkan—definisi fungsi atau penerapan suatu fungsi—melalui apakah fungsi tersebut$\equiv$ tanda terlibat dalam ekspresi.

Salah satu tanda umum penerapan suatu fungsi adalah ketika isi tanda kurung bukanlah nama simbolik melainkan angka. Misalnya saja saat kita menulis$\sin (7.3)$ kami memberikan nilai numerik$7.3$ ke fungsi sinus. Fungsi sinus kemudian melakukan penghitungannya dan mengembalikan nilai 0,8504366. Dengan kata lain,$\sin (7.3)$ benar-benar setara dengan 0,8504366.

Sebaliknya, menggunakan nama sendiri di dalam tanda kurung menunjukkan bahwa nilai spesifik untuk masukan ditentukan di tempat lain. Misalnya, ketika mendefinisikan suatu fungsi, kita sering kali menggabungkan dua fungsi atau lebih, seperti ini:

$$g(x)\equiv \exp (x)\sin (x)$$

atau

$$h(y,z)\equiv \ln (z)\left(\sin (z)-\cos (y)\right).$$

Itu$y$ Dan$z$ di sisi kiri definisi adalah nama input$h()$ . 2 Sisi kanan menjelaskan cara menyusun keluaran, yang dilakukan dengan menerapkan $\ln ()$ ,$\sin ()$ Dan$\cos ()$ ke input. Menggunakan nama di sisi kanan memberi tahu kita fungsi mana yang diterapkan pada input mana. Kita tidak akan mengetahui nilai spesifik apa yang akan dimiliki input tersebut hingga fungsinya$h()$ sedang diterapkan pada input, seperti dengan

$$h(y=1.7,z=3.2).$$

Setelah kita mempunyai masukan tertentu, kita (atau komputer) dapat memasukkannya ke sisi kanan definisi untuk menentukan keluaran fungsi:

$$\ln (3.2)\left(\sin (3.2)-\cos (1.7)\right)=1.163(-0.0584+0.1288)=-0.2178.$$

Kami akan memperkenalkan ide “spasi” di ?sec-spaces-intro . Suatu fungsi memetakan setiap titik di ruang masukan fungsi menjadi satu titik di ruang keluaran fungsi. Ruang masukan dan keluaran masing-masing juga dikenal sebagai “domain” dan “rentang” fungsi.

1.3 Spasi

Telah kami katakan sebelumnya bahwa fungsi yang digunakan dalam kalkulus mengambil besaran sebagai masukan dan menghasilkan besaran sebagai keluaran. Kita juga telah mengatakan bahwa kuantitasnya adalah sekitar “2 tahun cahaya” atau “150 watt”. Sekarang kami ingin menghubungkan konsep baru ke input dan output: konsep ruang .

Ruang 3 adalah kumpulan kemungkinan yang berkelanjutan . Seorang anak yang belajar tentang angka dimulai dengan “menghitung angka”:$1,2,3,\dots$ . Di sekolah dasar, himpunan bilangan diperluas hingga mencakup bilangan nol dan bilangan negatif:$-1,-2,-3,\dots$ , menghasilkan himpunan yang disebut “bilangan bulat”. Menghitung bilangan dan bilangan bulat merupakan himpunan diskrit . Di antara dua anggota bilangan hitung yang berurutan atau bilangan bulat, tidak ada bilangan lain dari himpunan tersebut.

Langkah selanjutnya dalam pendidikan matematika anak adalah “bilangan rasional”, yaitu bilangan yang ditulis sebagai perbandingan: $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\dots ,\frac{22}{7}$ , dan seterusnya. Bilangan rasional ditempatkan pada spasi di antara bilangan bulat. Artinya, di antara dua bilangan bulat apa pun, bahkan bilangan bulat yang berurutan, terdapat bilangan rasional. Misalnya bilangan rasional$\frac{1}{2}$ jatuh antara 0 dan 1.

Di antara dua bilangan rasional ada bilangan rasional lainnya, memang ada bilangan rasional yang jumlahnya tak terhingga. Misalnya saja antara$\frac{1}{2}$ Dan$\frac{2}{3}$ adalah$\frac{6}{11}$ (dan banyak lainnya, seperti$\frac{7}{11}$ atau$\frac{13}{21}$ ). Penting untuk menganggap bilangan rasional cocok dengan spasi di antara bilangan bulat.

Jika Anda tidak menemukan kata “spasi” pada kalimat sebelumnya, Anda sudah bisa memahami apa yang dimaksud dengan “kontinu”. Misalnya, di antara dua bilangan rasional terdapat bilangan rasional lainnya. Bayangkan bilangan rasional sebagai batu loncatan yang menyediakan jalur dari bilangan mana pun ke bilangan lainnya.

Diskrit

Merupakan pertanyaan mendalam apakah bilangan rasional merupakan sebuah jalan setapak dan bukan batu loncatan yang terisolasi? Jalan setapak adalah suatu struktur di mana Anda dapat memindahkan berapapun jumlahnya, tidak peduli seberapa kecilnya, tanpa risiko keluar dari struktur tersebut. Sebaliknya, gerakan yang terlalu kecil di sepanjang jalur batu loncatan akan membuat Anda terperosok ke dalam air.

Kontinu

Himpunan yang berkesinambungan seperti jalan setapak; betapapun sedikitnya Anda berpindah dari suatu elemen himpunan, Anda akan tetap berada di himpunan tersebut. Himpunan bilangan yang berkesinambungan sering disebut garis bilangan , meskipun nama yang lebih formal adalah bilangan real . (“Nyata” adalah pilihan kata yang tidak tepat, namun kita terjebak di dalamnya.)

Metafora yang mendasarinya di sini adalah ruang. Di antara dua titik dalam ruang, terdapat titik lain dalam ruang. Kami akan bekerja dengan beberapa ruang berbeda, misalnya:

• garis bilangan: semua bilangan real
• bilangan positif: bilangan real yang lebih besar dari nol
• bilangan non-negatif: ini adalah perluasan terkecil dari bilangan positif yang menambahkan nol pada himpunan.
• interval tertutup, misalnya angka antara 5 dan 10, yang akan kita tulis seperti ini:$5\le x\le 10$ , Di mana$x$ adalah nama yang kami berikan pada set tersebut.
• bidang Cartesian: semua pasangan bilangan real seperti$(5.62,-0.13)$ . Metafora lain untuk ini: titik-titik pada selembar kertas atau layar komputer.
• ruang koordinat tiga dimensi seperti dunia tiga dimensi kita sehari-hari, umumnya ditulis sebagai himpunan tiga bilangan real seperti$(-2.14,6.87,4.03)$ .
• ruang berdimensi lebih tinggi, tapi kita tidak akan membahasnya sampai bagian terakhir buku ini.

Keistimewaan kalkulus adalah menggambarkan hubungan antar himpunan kontinu . Fungsi seperti$\sin ()$ atau$\text{line}()$ , yang merupakan fungsi khas yang kita pelajari dalam kalkulus, ambil angka sebagai masukan.

Setiap fungsi memiliki serangkaian input yang sah. Untuk fungsi-fungsi yang dipelajari dalam kalkulus, himpunan ini kontinu: sebuah spasi. Nama yang diberikan pada ruang fungsi yang berisi input sah adalah domain fungsi . Fungsi seperti$\sin ()$ dan banyak lainnya yang memiliki seluruh himpunan bilangan real sebagai domain fungsinya. Fungsi akar kuadrat memiliki bilangan non-negatif untuk domainnya. Fungsi logaritma,$\ln ()$ , memiliki domain bilangan positif.

Sama seperti “domain” yang merupakan himpunan masukan sah ke suatu fungsi, rentang fungsi adalah himpunan nilai yang dapat dihasilkan oleh fungsi tersebut sebagai keluaran. Misalnya saja kisaran$\sin ()$ adalah angka di antaranya$-1$ Dan$1$ yang biasanya kami tulis dalam format ini:$-1\le x\le 1$ . Contoh lain: kisaran$\ln ()$ adalah seluruh ruang bilangan real.

1.4 Semua bersama-sama sekarang

Tiga konsep matematika yang telah kita diskusikan—kuantitas, fungsi, ruang—digunakan bersama-sama.

Besaran dapat berupa nilai tertentu, misalnya 42,681${}^{\circ }$ F. Namun Anda juga dapat memikirkan besaran secara lebih luas, misalnya, “suhu”. Secara alami, ada banyak kemungkinan nilai suhu. Himpunan semua nilai yang mungkin adalah spasi. Dan dengan menggunakan metafora ruang, nilai spesifiknya 42.681${}^{\circ }$ F adalah satu titik dalam ruang tersebut.

Fungsi menghubungkan besaran masukan dengan besaran keluaran yang bersesuaian. Cara untuk memikirkan hal ini—yang penting dalam Bab ( bab-grafik-dan-grafis? ) —adalah bahwa suatu fungsi merupakan korespondensi antara setiap titik dalam ruang masukan (domain) dan titik yang bersesuaian dalam ruang keluaran ( jangkauan).