Superposición y Bifurcación de Procesos de Poisson Homogéneos

Objetivos: Superposición y Bifurcación de Procesos de Poisson Homogéneo

• Formular y distinguir los modelos de superposición y bifurcación de Procesos de Poisson Homogéneos.

• Ejemplificar y aplicar los modelos de superposición y bifurcación de los Procesos de Poisson Homogéneos a situaciones propias de las operaciones de ingeniería industrial.

Teorema de Superposición de Procesos de Poisson

Sean \(\{N_i(t),t\geq 0\}_{i=1}^{r}\) una colección de \(PPH(\lambda_i)\) independientes.

Definamos:

\[N(t)\equiv \sum_{i=1}^{r} N_{i}(t)\\\]

El proceso \(\{N(t),t\geq 0\}\) es llamado la superposición de de la colección de \(PPH\)\(\{N_i(t),t\geq 0\}_{i=1}^{r}\).

Note que \(\{N(t),t\geq 0\}\) es, en sí mismo, un proceso de Poisson Homogéneo con parámetro \(\lambda = \lambda_{1} + \ldots + \lambda_{r}\)

Ejemplo:

Los trabajos presentados para su ejecución en un servidor central en un centro de cómputo se dividen en cuatro clases de prioridad, indexados \(1, 2, 3, 4\). Los tiempos entre llegadas de dos trabajos consecutivos de la misma prioridad \(i\) son variables aleatorias exponenciales independientes e idénticamente distribuídas con medias en minutos dadas por \(m_{1}=10, m_{2}=15, m_{3}=30, m_{4}=60\) respectivamente. Suponga que todas las clases de prioridad se comportan independientemente entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún trabajo llegue en un intervalo de 10 minutos?

Solución:

Sea \(N(t)\) el número total de trabajos de todas las prioridades que se llegan en \((0,t]\). Observe que

$$

()

$$

por ser la superposición de los Procesos de Poisson que cuentan los trabajos de las 4 prioridades conocidas.

\[ P\left(N\left(10\right)=0\right)= \frac{e^{-\left(\frac{(13)(10)}{60}\right)}\left[\frac{(13)(10)}{60}\right]^{0}}{0!} = e^{-\frac{13}{6}} \]

Teorema: Probabilidad de que un evento provenga de un PPH dado

Sea \(Z_{n}=k\) si el n-ésimo evento en el proceso \(\{N(t),t\geq 0\}\) que viene del proceso \(\{N_{k}(t),t\geq 0\}\). \(\{Z_{n},n\geq 1\}\) es una sucesión de v.a. i.i.d. con

\[P\left(Z_{n}=k\right)=\frac{\lambda_{k}}{\lambda} \quad k=1,2,\ldots,r\]

Ejemplo

Los clientes que llegan a un banco pueden clasificarse en tres categorías. Los clientes de la categoría \(1\) sólo depositan dinero, categoría \(2\) sólo retiran dinero y categoría \(3\) realizan ambas acciones. Los depósitos toman \(3\) minutos, los retiros \(4\) minutos y las transacciones combinadas \(6\) minutos en promedio. Los clientes de categoría \(i\) llegan al banco siguiendo un \(PPH(\lambda_{i})\) con \(\lambda_{1}=20\), \(\lambda_{2}=15\), \(\lambda_{3}=10\) por hora. ¿Cuál es el tiempo promedio de transacción de un cliente típico para el banco? ¿Son los tiempos de transacciones sucesivas independientes?

Teorema: Bifurcación de un PPH

Ahora suponga que un evento de un \(PPH(\lambda)\) que llega a tiempo \(s\) es clasificado como tipo I o tipo II con probabilidades \(P(s)\) y \(1-P(s)\) independientemente de todo lo demás.

Entonces, si \(N_{i}(t)\) representa el número de eventos tipo \(i\) que ocurren en \((0,t]\) con \(i=1,2\) entonces \(N_1(t)\) y \(N_2(t)\) son v.a. poisson independientes con medias \(\lambda tp\) y \(\lambda t (1-p)\) respectivamente con

\[p \equiv \frac{1}{t} \int_0^t P(s)ds\]

Ejemplo

Los clientes entran a una tienda de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa de llegada 16 por hora. De manera independiente, cada cliente compra algo con probabilidad \(p = 0.25\) o sale de la tienda sin comprar nada con probabilidad \(q = 1−p = 0.75\). ¿Cuál es la probabilidad de que durante la primera hora 9 personas entren a la tienda y sólo tres de estas personas compren algo y las otras 6 no?

Prueba:

Comencemos por calcular la función de probabilidad de masa conjunta de \(N_{1}(t)\) y \(N_{1}(t)\).

\[ \begin{align} &P\left(N_1(t)=n, N_2(t)=m\right)\\\\& \text{ por ley de probabilidad total}\\\\=& \sum_{k=0}^{+\infty} P\left(N_1(t)=n, N_2(t)=m|N(t)=k\right) P\left(N(t)=k\right)\\\\&\text{ observe que uno sólo de los sumandos es no nulo}\\\\=& P\left(N_{1}(t)=n, N_2(t)=m|N(t)=n+m\right) P\left(N(t)=n+m\right) \end{align} \]

Retomando:

Por lo tanto,

\[ \begin{align} &P\left(N_1(t)=n, N_2(t)=m\right)\\=& P\left(N_1(t)=n, N_2(t)=m\Big|N(t)=n+m\right) P\left(N(t)=n+m\right)\\=& \binom{n+m}{n}p^n (1-p)^m \cdot \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^{n+m}}{(n+m)!}\\&\text{reagrupando inteligentemente,}\\=& \frac{(\lambda tp)^n e^{-\lambda tp}}{n!} \frac{[(1-p)\lambda t]^m e^{-\lambda t(1-p)}}{m!} \end{align} \]

Lo que prueba, no sólo que \(N_{1}(t)\sim Poisson(\lambda t p)\), \(N_{2}(t)\sim Poisson(\lambda t (1-p))\) sino además que \(N_{1}(t)\)\(N_{2}(t)\) son independientes.

Ejemplo

Clientes llegan a una estación de servicio \(PPH(\lambda)\). Infinitos servidores con tiempos de servicios independientes e idénticamente distribuidos con función de distribución acumulativa \(G\). Calcule la distribución conjunta del número de clientes que han completado su tiempo de servicio para tiempo \(t\) y el número de clientes que están en servicio para tiempo \(t\).

¿Qué aprendimos hoy?