Distribución Condicional de los Tiempos de Llegada

Claudia Antonini

5/1/23

¿Que hemos aprendido hasta ahora de los Procesos de Poisson?

Definir Procesos de Poisson Homogéneo.
Deducir a partir del proceso de Poisson Homogéneo el proceso estocástico de los tiempos entre llegadas.
Enunciar, distinguir y demostrar la equivalencia de las dos definiciones de los procesos de Poisson Homogéneos, la operativa y la validadora.
Visualizar los aspectos relacionados con la validación de un proceso de Poisson homogéneo a partir de data simulada y real en el contexto de las operaciones propias de la ingeniería industrial.
Definir y visualizar los tiempos entre llegadas y de llegadas de un proceso de Poisson Homogéneo simulado.

Objetivos: Distribución condicional de los tiempos de llegada

Modelar los tiempos de llegada de un \(PPH(\lambda)\), condicionados al número de eventos ocurridos en \((0,t]\).
Ejemplificar y aplicar dicho modelo en situaciones propias de las operaciones de ingeniería industrial.

Ejemplo

Suponga que pasajeros llegan a una estación de tren acorde con un \(PP(\lambda)\). Si el tren parte a tiempo t, calcule el valor esperado de la suma de los tiempos de espera de los viajeros que hayan llegado en \((0,t]\).

Es decir, el valor esperado requerido viene dado por:

\[ \begin{align*}E\left[\sum_{i=1}^{N(t)} (t-S_i)\right] &= E\left[E\left[\sum_{i=1}^{N(t)} (t-S_i) \Big| N(t)\right]\right]\\ \end{align*} \]

por la propiedad torre de la esperanza condicional.

Primero calculemos la esperanza interna

\[ \begin{align*}&E\left[\sum_{i=1}^{N(t)} (t-S_i) \Big| N(t)=n\right] \\&= E\left[\sum_{i=1}^n (t-S_i) \Big| N(t)=n\right] \\&= nt - E\left[\sum_{i=1}^n S_i \Big| N(t)=n\right] \\&= nt - E\left[\sum_{i=1}^n U_{(i)}\right]= nt - E\left[\sum_{i=1}^n U_i\right] \\&= nt - \sum_{i=1}^n E[U_i] = nt - \frac{nt}{2}= \frac{nt}{2}\end{align*} \]

Finalmente

\[ \begin{align*}E\left[\sum_{i=1}^{N(t)} (t-S_i)\right] =& E\left[E\left[\sum_{i=1}^{N(t)} (t-S_i) \Big| N(t)\right]\right]\\=&E\left[\frac{N(t)t}{2}\right]=\frac{\lambda t^{2}}{2}\end{align*} \]

Estadísticos de orden de la uniforme

Ahora, sean

\[U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}\]

una sucesión de v.a. i.i.d. \(U[0,t]\).

Diremos que \(U_{(1)}, U_{(2)}, \ldots, U_{(n)}\) son los estadísticos de orden de \(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}\) si

\[ U_{(1)}\leq U_{(2)}\leq\ldots \leq U_{(n)} \]

Ejemplos:

t <- 6

# Generemos 10 observaciones de una U(0,t)

U <- runif(10, min=0, max=t)

# Mostremos la sucesión U1, U2, …, Un

U

 [1] 4.867954 1.464385 1.844039 3.768197 4.183226 3.248412 5.341189 0.521865
 [9] 5.585562 5.386782

# Ordenemos las 10 observaciones de menor a mayor

O <- sort(U)

# Mostremos los estadísticos de orden U(1),U(2), …, U(n)

O

 [1] 0.521865 1.464385 1.844039 3.248412 3.768197 4.183226 4.867954 5.341189
 [9] 5.386782 5.585562

Las v.a. \(U_{(1)}, U_{(2)}, \ldots, U_{(n)}\) se denominan los estadísticos de orden \(U_1, U_2, \ldots, U_n\).

Densidad conjunta de los estadísticos de orden caso uniforme

La densidad conjunta de los estadísticos de orden asociados de la sucesión \(U_{1}, U_{2},\cdots U_{n}\sim i.i.d. Unif(0,t)\) viene dada por:

\[f(u_{1},\ldots,u_{n})=\frac{n!}{t^{n}} \]

para \(\quad 0 < u_{1} < u_{2} < \ldots < u_{n} < t\)

Densidad y valor esperado de cada estadístico de orden caso uniforme

Con respecto al \(k\)-ésimo estadístico de orden, \(U_{(k)}\), tenemos que:

\[ \begin{align*}& \text{ densidad marginal de } U_{(k)}\\& f_{U_{(k)}}(u)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \left(\frac{u}{t}\right)^{k-1} \frac{1}{t}\left(1-\frac{u}{t}\right)^{n-k} \text{ para } 0\leq u\leq t \\ & E[U_{(k)}]=\frac{kt}{n+1} \text{ para } k=1,2,\cdots n. \end{align*} \]

Teorema de los tiempos de llegada condicionales

Sea \(\{N(t), t\geq0\} \text{ un } PP(\lambda)\) y sea \(S_n\) el tiempo de llegada del n-ésimo evento. Entonces,

\[\left(S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{n}\right)|N(t)=n \sim (U_{(1)}, U_{(2)}, \cdots, U_{(n)})\]

en donde \(U_{(1)}, U_{(2)}, \cdots, U_{(n)}\) es la sucesión de los estadísticos de orden asociados a la sucesión

\[U_{1}, U_{2}, \cdots, U_{n}\sim^{\text{i.i.d.}} Unif(0,t)\]

Aprendamos a sacar cuentas

Si quisiéramos calcular:

\[P\left(S_{1} > s\Big|N(t)=n\right)\]

Por el teorema de la distribución condicional de los tiempos de llegada, sabemos que:

\[S_{1}\Big| N(t)=n \sim U_{(1)}\equiv \min{\left(U_{1},\cdots,U_{n}\right)}\]

donde \(U_{1},\cdots,U_{n}\sim \text{ i.i.d. } Unif(0,t)\)

Por lo tanto:

\[f_{S_{1}|N(t)=n}(u)=f_{U_{(1)}}=\frac{n}{t}\left(1-\frac{u}{t}\right)^{n-1} \]

para \(\quad 0 < u < t\).

Por lo tanto,

\[ \begin{align*}P\left(S_1 > s\Big|N(t)=n\right)=&\int_s^t \frac{n}{t} \left(1-\frac{u}{t}\right)^{n-1}du\\=& \left(1-\frac{s}{t}\right)^n \end{align*} \]

Alternativamente:

Podemos usar el siguiente truco:

\[ \begin{align*}P\left(S_{1} > s\Big|N(t)=n\right)=&P\left(\min{\left(U_1,\ldots,U_n\right)} > s\right)\\=&P\left(U_1 > s,\ldots,U_n > s\right)\\=&\prod_{i=1}^n P\left(U_{i} > s\right)\\=&\prod_{i=1}^n\left(1-\frac{s}{t}\right)=\left(1-\frac{s}{t}\right)^n\end{align*} \]

Valores esperados de los estadísticos de orden

Para \(k > n\),

\[E\left[S_k\Big|N(t)=n\right] = t + \frac{(k-n)}{\lambda}\]

Podemos hacer cosas como la siguiente:

\[ \begin{align*}E\left[T_2\Big|N(1)=1\right] =& E\left[S_2-S_1\Big|N(1)=1\right]\\=& E\left[S_2\Big|N(1)=1\right] - E\left[S_1\Big|N(1)=1\right]\\=& 1+\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{2}\end{align*} \]

ambos consecuencia de la propiedad de pérdida de la memoria de la exponencial.

Distribución condicional del primer tiempo de llegada

Sea \(\{N(t), t\geq 0\}\) un \(PPH(\lambda)\). Se desea calcular la distribución del tiempo de llegada del primer evento, \(S_{1}\) dado que \(N(t)=1\). Es decir, para \(0 < s\leq t\), se desea calcular:

\[ \begin{align*}P[S_{1} \leq s\Big|N(t)=1] &= \frac{P[S_{1} \leq s,N(t)=1]}{P(N(t)=1)} \\&= \frac{P\left[1 \text{ evento en } (0,s], 0 \text{ eventos en } (s,t]\right]}{P(N(t)=1)} \\&= \frac{P[N(s)=1] P[N(t)-N(s)=0]}{P(N(t)=1)} \\&= \frac{P[N(s)=1] P[N(t-s)=0]}{P(N(t)=1)} \\&= \frac{\frac{(\lambda s)^1 e^{-\lambda s}}{1!} \cdot \frac{(\lambda (t-s))^0 e^{-\lambda(t-s)}}{0!}}{\frac{(\lambda t)^1 e^{-\lambda t}}{1!}}= \frac{s}{t} \\\end{align*} \]

Verificando que sea una función de distribución:

La función de distribución condicional de los tiempos de llegada viene dada por:

\[ \begin{align*}F_{S_{1}|N(t)=1}(s)\equiv& P[S_{1} \leq s\Big|N(t)=1]\\=&\begin{cases} 0 & \text{ si } s < 0\\ \frac{s}{t} &\text{si } 0\leq s \leq t\\ 1 & \text{ si } s > t\\ \end{cases}\end{align*} \]

¿Cómo calculamos la densidad condicional del primer tiempo de llegada?

Derivando la función de distribución condicional obtenemos la función de densidad condicional de los tiempos de llegada:

\[ \begin{align*}f_{S_{1}|N(t)=1}(s)=&\frac{d}{ds}\left[P\left(S_{1} \leq s\Big|N(t)=1\right)\right]\\\\ =&\begin{cases} \frac{1}{t} & \text{ si } 0 \leq s \leq t\\ 0 & \text{ fuera } \end{cases}\end{align*} \]

¿Reconoce usted esta función de densidad?

Distribución conjunta condicional de los dos primeros tiempos de llegada

Supongamos ahora que \(N(t)=2\) y que queremos calcular la distribución conjunta de \(S_{1}\) y \(S_{2}\), los tiempos de llegada de los primeros dos eventos.

Es decir, con \(0 < t_{1} < t_{2} < t\) y sea \(h_{i}\) lo suficientemente pequeño para que \(t_{i}+h_{i} < t_{i+1}\) para \(i=1,2\) con \(t_{3}=t\)

Observe que en realidad nos gustaría calcular:

\[\lim_{h_{i}\rightarrow 0}\frac{F_{S_{i}}(t_{i}+h_{i})-F_{S_{i} }(t_{i})}{h_{i}}\]

para \(i=1,2\) pero \(S_{1}\) y \(S_{2}\) son claramente dependientes

Así que debemos utilizar la independencia de los incrementos construidos sobre intervalos de tiempo disjuntos:

\[ \begin{align*}&P\left(t_{1} < S_{1}\leq t_{1}+ h_{1}, t_{2} < S_{2} \leq t_{2}+ h_{2}\Big| N(t)=2\right)\\&= \frac{P\left(t_{1} < S_{1}\leq t_{1}+ h_{1}, t_{2} < S_{2} \leq t_{2}+ h_{2}, N(t)=2\right)}{P(N(t)=2)}\\\\&= P(N(t_{1}+h_{1})-N(t_{1})=1)P(N(t_{2}+h_{2})-N(t_{2})=1)P(A)\\&=\frac{P\left(N(h_{1})=1\right)P\left(N(h_{2})=1\right)P\left(N(t-h_{1}-h_{2})=0\right)}{P(N(t)=2)}\\&=\frac{\frac{e^{-\lambda h_{1}}(\lambda h_{1})^{1}}{1!}\frac{e^{-\lambda h_{2}}(\lambda h_{2})^{1}}{1!}\frac{e^{-\lambda(t-h_{1}-h_{2})}[\lambda(t-h_{1}-h_{2})]^{0}}{0!}}{\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{2}}{2!}}\\&= \frac{h_{1}h_{2} 2!}{t^{2}}\end{align*} \]

En donde \(A=\) es el evento de obtener cero eventos fuera de los intervalos \((t_{1},t_{1}+h_{1}]\), \((t_{2},t_{2}+h_{2}]\) dentro de \((0,t]\).

Finalmente:

\[ \begin{align*}\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow (0,0)}\frac{P\left(t_{1} < S_{1}\leq t_{1}+ h_{1}, t_{2} < S_{2} \leq t_{2}+ h_{2}\Big| N(t)=2\right)}{h_{1}h_{2}}=&\frac{2!}{t^{2}} \end{align*} \]

Caso general:

Tenemos que calcular la densidad condicional de \(S_{1}, \ldots, S_{n}\) dado que \(N(t)=n\).

Sea \(0 < t_1 < t_2 < \ldots < t_{n-1}=t\) y sea \(h_i\) lo suficientemente pequeño para que \(t_i+h_i < t_{i+1} \qquad i=1,2,\ldots,n\). Ahora,

\[ \begin{align*}& P(t_i < S_i \leq t_i+h_i, \quad i=1,2,\ldots,n\Big|N(t)=n)\\ &=\frac{P(\text{exactamente 1 evento en } (t_i,t_i+h_i], \quad i=1,\ldots,n)}{P(N(t)=n} \\&= \frac{\lambda h_1 e^{-\lambda h_{1}} \ldots \lambda h_n e^{\lambda h_n} e^{-\lambda (t-h_1-h_2-\ldots -h_n)}}{\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^n}{n!}} \\&= h_{1}h_{2}\cdots h_{n} \frac{n!}{t^n}\end{align*} \]

Recopilando

\[\frac{P(t_i < S_i \leq t_i+h_i, \quad i=1,2,\ldots,n\Big|N(t)=n)}{h_1\ldots h_n} = \frac{n!}{t^n}\]

Permitiendo que cada \(h_{i} \rightarrow 0\) para \(i=1,2, \cdots n\), tenemos que la función de densidad conjunta de la variable aleatoria \((S_{1}, S_{2},\cdots, S_{n})\Big| N(t)=n\) viene dada por

\[f\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\Big|N(t)=n\right) = \frac{n!}{t^n} \]

para \(\quad 0 < t_{1} < \ldots < t_n\).

Esta función de densidad se conoce como la función de densidad conjunta de \((U_{(1)},U_{(2)},\cdots, U_{(n)})\) los estadísticos de orden de la sucesión de variables aleatorias independientes \(U_{1}, U_{2}, \cdots, U_{n}\sim U(0,t)\)

\[\{(S_1,\ldots,S_n)|N(t)=n\} \sim (U_{(1)},\ldots, U_{(n)})\]