Kalkulus
2023-10-01
library(mosaicCalc)## Loading required package: mosaic## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
## method from
## fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2##
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add
## additional features. The original behavior of these functions should not be affected by this.##
## Attaching package: 'mosaic'## The following objects are masked from 'package:dplyr':
##
## count, do, tally## The following object is masked from 'package:Matrix':
##
## mean## The following object is masked from 'package:ggplot2':
##
## stat## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
## quantile, sd, t.test, var## The following objects are masked from 'package:base':
##
## max, mean, min, prod, range, sample, sum## Loading required package: mosaicCore##
## Attaching package: 'mosaicCore'## The following objects are masked from 'package:dplyr':
##
## count, tally## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
## (status 2 uses the sf package in place of rgdal)##
## Attaching package: 'mosaicCalc'## The following object is masked from 'package:stats':
##
## DGaris bilangan adalah garis horizontal. Tanda centang vertikal, hanyalah alat bantu interpretasi manusia.
Suatu fungsi menghubungkan setiap titik di ruang masukan ke titik yang bersesuaian di ruang keluaran. Panah digambar untuk beberapa nilai masukan, menunjukkan ke mana nilai tersebut dipetakan dalam ruang keluaran. (Ada lebih banyak anak panah yang bisa ditarik di antara panah-panah yang ditampilkan, namun grafiknya menjadi tidak terbaca.)
Grafik seperti Gambar 4.5 dan Gambar 4.3 adalah cara yang baik untuk menunjukkan hubungan. Kita bahkan dapat melakukan perhitungan hanya dengan menggunakan grafik tersebut. Letakkan jari Anda pada titik grafik berbentuk S dan Anda dapat membaca dari sumbu pasangan nilai tegangan dan arus yang diperbolehkan. Letakkan jari Anda pada suatu titik pada sumbu vertikal. Memindahkannya ke kurva akan mengungkapkan arus apa yang terkait dengan tegangan tersebut.
Fungsi, seperti grafik, adalah cara untuk merepresentasikan hubungan. Terlepas dari segala kelebihannya sebagai alat komunikasi, grafik memiliki keterbatasan. Dengan grafik, yang dapat dilakukan hanyalah menunjukkan hubungan antara dua besaran atau antara tiga besaran. Fungsi dapat melibatkan lebih banyak kuantitas. Misalnya fungsi luas segitiga
“Rumus Luas Segitiga”
memberikan hubungan antara empat besaran: luas dan panjang ketiga sisi segitiga.
Di sisi lain, fungsi tidak bisa mewakili semua jenis hubungan. Misalnya, kurva pada Gambar 4.3 menunjukkan hubungan antara arus dan tegangan pada sel saraf. Tetapi tidak ada fungsi matematika tegangan (arus) yang sesuai dengan hubungan tersebut. Alasannya adalah fungsi matematika dapat mempunyai satu dan hanya satu keluaran untuk setiap masukan tertentu. Ada tiga nilai wajar untuk tegangan membran yang secara eksperimental konsisten dengan arus nol, bukan hanya satu.
Kehati-hatian perlu diberikan dalam menggunakan fungsi untuk merepresentasikan hubungan. Untuk hubungan arus-tegangan sel saraf, misalnya, kita dapat membuat fungsi arus(tegangan) untuk merepresentasikan hubungan tersebut. Hal ini karena untuk setiap nilai tegangan tertentu hanya terdapat satu arus yang bersesuaian. Tetapi tidak ada fungsi tegangan (arus), meskipun mengetahui arus memberi tahu Anda banyak hal tentang tegangan.
4.1 Grafik fungsi dalam R/mosaik
Dengan adanya suatu fungsi, mudah untuk menggambar hubungan terkait dalam bentuk grafik. Bagian ini menjelaskan cara melakukan hal tersebut untuk fungsi yang memiliki satu atau dua input. Tugas umum lainnya—mengingat suatu hubungan, merepresentasikannya menggunakan fungsi—biasanya tidak mudah dan memerlukan teknik pemodelan yang akan kita kembangkan di Blok 1.
Praktek kontemporer adalah menggambar grafik fungsi menggunakan komputer. R/mosaic menyediakan beberapa fungsi untuk melakukan hal ini, Anda hanya perlu mempelajari cara menggunakannya.
Ada dua argumen penting yang dimiliki oleh semua fungsi R/mosaik yang menggambar grafik:
‘Simbol gelombang’
Fungsi yang ingin dibuat grafiknya. Ini harus ditulis sebagai ekspresi R tilde . Beberapa contoh ekspresi tilde ditunjukkan pada tabel di bawah. Ciri penting dari ekspresi tilde adalah tanda, yang disebut “tilde”, yang berfungsi sebagai tanda baca yang memisahkan sisi kiri ekspresi dari sisi kanan. Batasannya . _ Domain dari banyak fungsi mencapai tak terhingga, namun layar komputer kita tidak begitu besar! Membuat grafik memerlukan pemilihan interval berhingga untuk setiap besaran masukan. Ekspresi tilde untuk fungsi dengan satu masukan hanya akan memiliki satu nama di sisi kanan . Spesifikasi interval domain harus menggunakan nama yang sama:
Ekspresi gelombang Spesifikasi interval domain x^2 ~ x bounds(x = -3:3) y * exp(y) ~ y bounds(y = 0:10) log(y) / exp(y) ~ y bounds(y = -5:5) sin(z) / z ~ z bounds(y = -3pi:3pi)
4.1.1 Plot irisan
Untuk menggambar grafik suatu fungsi dengan satu masukan, gunakan slice_plot(). Ekspresi tilde adalah argumen pertama; spesifikasi interval domain adalah argumen kedua. Contohnya,
Ingat situasi yang terlihat pada Gambar 4.3 yang menunjukkan ruang dua dimensi dari semua kemungkinan pasangan (tegangan, arus) untuk sel-sel saraf. Data eksperimen mengidentifikasi banyak kemungkinan pasangan—ditandai dengan titik-titik pada Gambar 4.3 —yang konsisten dengan hubungan sistem sel saraf.
Hal yang sama juga berlaku pada Gambar 4.4 , grafik suatu fungsi dengan masukan tunggal. Ruang dua dimensi yang ditunjukkan pada Gambar 4.4 berisi pasangan (input, output), hanya sebagian kecil yang konsisten dengan hubungan yang dijelaskan oleh fungsi tersebut. Titik-titik dalam pecahan kecil itu dapat ditandai dengan titik-titik individual, namun alih-alih titik-titik, kita menggambar kurva kontinu yang menghubungkan titik-titik tersebut. Setiap titik pada kurva konsisten dengan hubungan antara masukan dan keluaran yang diwakili oleh fungsi tersebut.
4.1.2 Plot Kontur
Fungsi dengan dua input dapat ditampilkan dengan contour_plot(). Tentu saja, ekspresi tilde yang mendefinisikan fungsi akan memiliki dua nama di sisi kanan ~ . Demikian pula, spesifikasi domain akan memiliki dua argumen, satu untuk masing-masing nama dalam ekspresi tilde.
contour_plot(exp(-z)*sin(y) ~ y & z, bounds(y=-6:6, z=0:2))
Plot kontur akan menjadi format pilihan untuk menampilkan fungsi dengan
dua masukan. Alasan utama memilih plot kontur adalah kemudahan dalam
mengidentifikasi lokasi titik-titik dalam ruang masukan dan kemampuan
membaca nilai keluaran tanpa banyak kesulitan.
4.1.3 Plot Permukaan
Ada cara lain untuk memikirkan tentang grafik fungsi dengan dua masukan. Dalam situasi seperti ini, ada tiga kuantitas yang terlibat dalam hubungan tersebut. Dua di antaranya merupakan masukan, dan yang ketiga adalah keluaran. Ruang tiga dimensi terdiri dari semua kemungkinan tripel koordinat; hubungan antara masukan dan keluaran ditandai dengan mengesampingkan hampir semua potensi tripel dan menandai titik-titik dalam ruang yang sesuai dengan fungsinya.
ruang semua kemungkinan (y, z, keluaran) adalah tiga dimensi, namun sangat sedikit kemungkinan yang konsisten dengan fungsi yang akan digambarkan. Anda dapat membayangkan kita meletakkan titik-titik pada semua titik yang konsisten dengan fungsinya, atau kita menggambar banyak sekali kurva kontinu melalui titik-titik tersebut, namun kumpulan titik-titik tersebut membentuk suatu permukaan ; awan titik-titik yang terus menerus melayang di atas ruang masukan (y, z).
Gambar 4.7 menampilkan permukaan ini. Karena gambar digambar pada layar dua dimensi, kita harus menggunakan teknik perspektif dan bayangan pelukis. Dalam versi plot yang interaktif, Anda dapat memindahkan sudut pandang gambar sehingga memberi banyak orang pemahaman yang lebih kuat tentang permukaannya.
4.2 Menafsirkan plot kontur
Mungkin diperlukan beberapa latihan untuk belajar membaca plot kontur dengan lancar, namun ini adalah keterampilan yang bermanfaat untuk dimiliki. Perhatikan bahwa bingkai grafis adalah ruang Cartesian dari dua masukan. Outputnya disajikan sebagai garis kontur . Setiap garis kontur memiliki label yang memberikan nilai numerik dari keluaran fungsi. Masing-masing pasangan nilai masukan pada garis kontur tertentu berhubungan dengan keluaran pada tingkat yang memberi label pada garis kontur tersebut. Untuk mencari keluaran pasangan masukan yang tidak berada pada garis kontur, Anda perlu melakukan interpolasi di antara kontur di kedua sisi titik tersebut.
Seringkali, nilai numerik tertentu pada suatu titik bukanlah kepentingan utama. Sebaliknya, kita mungkin tertarik pada seberapa curam fungsi tersebut pada suatu titik, yang ditunjukkan oleh jarak antar kontur. Jika jarak konturnya berdekatan, lereng bukitnya curam. Bila konturnya berjauhan, lereng bukitnya tidak terjal, bahkan mungkin datar.
Tugas umum lainnya dalam menafsirkan plot kontur adalah menemukan pasangan masukan yang berada pada titik tertinggi atau terendah lokal: puncak bukit atau dasar cekungan. Titik-titik tersebut masing-masing disebut argmax lokal atau argmin lokal . Keluaran fungsi pada argmax lokal disebut maksimum lokal ; Demikian pula untuk argumen lokal, yang keluarannya disebut minimum lokal .
Untuk mengilustrasikannya, misalkan sistem sebenarnya melibatkan hubungan antara tiga besaran, yang kita nyatakan dalam bentuk fungsi dua masukan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.8 . (Kuantitas ketiga dalam hubungan tersebut adalah output dari fungsi tersebut.)
Bentuk irisan yang paling umum melibatkan pembuatan fungsi sederhana yang memiliki satu masukan tetapi tidak masukan lainnya. Misalnya, fungsi sederhana kita mungkin mengabaikan masukan 22. Ada berbagai cara untuk menciutkan fungsi dua masukan menjadi fungsi satu masukan. Cara yang sangat berguna dalam kalkulus adalah dengan mengambil fungsi dua masukan dan menetapkan salah satu masukan ke nilai konstan .
Misalnya, kita menetapkan input 22 ke nilai konstanta 1,5. Artinya kita dapat mempertimbangkan nilai apa pun dari masukan 1, tetapi masukan 2 telah digantikan oleh 1,5. Pada Gambar 4.9 , kita telah menandai dengan warna merah titik-titik pada plot kontur yang memberikan keluaran fungsi yang disederhanakan.
4.3 Bor
4.4 Latihan