1. Deux balles de même masse sont projetées d’une hauteur de 1 m du sol. Dans un cas, la balle est projetée horizontalement avec une vélocité de 12 m/s. Dans l’autre cas, la balle est lâchée verticalement sans qu’aucune vélocité ne lui soit transmise. Quelle balle touchera le sol en premier ?
Solution
Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser les équations du mouvement uniformément accéléré pour calculer le temps que chaque balle prend pour atteindre le sol, puis comparer les temps.
Pour la balle lancée horizontalement, la vitesse verticale est nulle, donc nous pouvons utiliser l’équation:
\[h = \frac{1}{2}gt^2\]
Où \(h\) est la hauteur initiale (1 m) et \(g\) est l’accélération due à la gravité (-9,8 m/s\(^2\)). En résolvant pour \(t\), nous avons:
\[t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 1 m}{9,8 m/s^2}} \approx 0,45 s\]
Pour la balle lâchée verticalement, nous pouvons utiliser la même équation, mais cette fois la vitesse initiale est nulle:
\[h = \frac{1}{2}gt^2\]
En résolvant pour \(t\), nous avons:
\[t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 1 m}{9,8 m/s^2}} \approx 0,45 s\]
Par conséquent, les deux balles atteindront le sol en même temps, après environ 0,45 secondes.
Trouvez le temps d’envol.
Trouvez la hauteur maximale atteinte par la balle.
Solution
Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser les équations du mouvement uniformément accéléré (MUA).
\[t = \frac{2v_{0x}}{g}\]
Où \(v_{0_x}\) est la vitesse initiale dans la direction horizontale et \(g\) est l’accélération due à la gravité.
La vitesse initiale dans la direction horizontale est donnée par:
\[v_{0_x} = v_0 \cos \theta\]
Où \(v_0\) est la vitesse initiale et \(\theta\) est l’angle de lancement.
En remplaçant les valeurs, nous avons:
\[v_{0_x} = 25 m/s \cos 45° = 17,68 m/s\]
\[t = \frac{2 \times 17,68 m/s}{9,81 m/s^2} = 3,61 s\]
Par conséquent, le temps de vol est de 3,61 secondes.
\[h = \frac{v_{0_y}^2}{2g}\]
Où \(v_{0_y}\) est la composante verticale de la vitesse initiale.
La composante verticale de la vitesse initiale est donnée par:
\[v_{0_y} = v_0 \sin \theta\]
En remplaçant les valeurs, nous avons:
\[v_{0_y} = 25 m/s \sin 45° = 17,68 m/s\]
\[h = \frac{(17,68 m/s)^2}{2 \times 9,81 m/s^2} \approx 16 m\]
Par conséquent, la balle atteint une hauteur maximale de environt 16 mètres.
3. Sur une plate-forme de plongeon de 10 m, un plongeur réalise un triple périlleux et demie groupé. Sachant que sa vitesse de projection est égale à 5 m/s et que l’angle de projection du corps équivaut à 60 degrés, calculez :
La vitesse verticale au moment de la projection.
La vitesse horizontale au moment de la projection.
Le temps total du mouvement soit du point d’envol au point d’entrée à l’eau.
Solution
\[ V_{y} = V_{0} \cdot \sin(\theta) \]
Où \(V_{y}\) est la vitesse verticale, \(V_{0}\) est la vitesse de projection et \(\theta\) est l’angle de projection. En substituant les valeurs connues :
\[ V_{y} = 5 \cdot \sin(60^\circ) \]
\[ V_{x} = V_{0} \cdot \cos(\theta) \]
Où \(V_{x}\) est la vitesse horizontale, \(V_{0}\) est la vitesse de projection et \(\theta\) est l’angle de projection. En substituant les valeurs connues :
\[ V_{x} = 5 \cdot \cos(60^\circ) \]
Pour résoudre cette question, nous pouvons la diviser en deux parties : d’abord, nous calculons le temps que le plongeur met pour atteindre la hauteur maximale,
\[ v_{y_f}=v_{y_i}-at \Rightarrow t=\frac{v_{y_i}}{a}=\frac{5\cdot sin(60^\circ)}{9,81}=0,44 s \]
puis nous calculons le temps qu’il met du point le plus haut jusqu’à entrer dans la piscine. Pour cela, nous calculons d’abord la hauteur maximale atteinte par le plongeur, puis nous calculons le temps de descente :
\[ y_f=y_i + v_yt + \frac{1}{2}at^2 \Rightarrow y_f= 10 + 5\cdot sin(60^\circ)\cdot 0,44-0,5\cdot9,81\cdot0,44^2 \approx 11m \]
En calculant maintenant le temps de descente,
\[ y_f=\frac{1}{2}\cdot at^2 \Rightarrow t=\sqrt{\frac{11}{9,81\cdot0,5}}\approx 1,5s\]
En additionnant les deux temps,
\[ t=0,44+1,5=1,94s\]
L’accélération négative à laquelle le pilote a été soumis.
La distance parcourue pendant la décélération.
Solution
L’accélération (ou dans ce cas, la décélération) peut être calculée à l’aide de la formule :
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\]
Où \(\Delta v\) est le changement de vitesse et \(\Delta t\) est le changement de temps. La vitesse initiale est de 632 mi/h, qui doit être convertie en m/s :
\[632 \text{ mi/h} = 632 \text{ mi/h} \times 1.6 \text{ km/mi} \times 1000 \text{ m/km} \times \frac{1}{3600} \text{ h/s} = 281.6 \text{ m/s}\]
Comme le véhicule s’est arrêté, la vitesse finale est \(0 \text{ m/s}\). Par conséquent, le changement de vitesse est \(\Delta v = 0 \text{ m/s} - 281.6 \text{ m/s} = -281.6 \text{ m/s}\). Le changement de temps est \(\Delta t = 1.4 \text{ s}\). Par conséquent :
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-281.6 \text{ m/s}}{1.4 \text{ s}} = -201.1 \text{ m/s}^2\]
Par conséquent, l’accélération négative à laquelle le pilote a été soumis était d’environ \(-201.1 \text{ m/s}^2\).
La distance parcourue pendant la décélération peut être calculée à l’aide de la formule :
\[d = v_i \times t + 0.5 \times a \times t^2\]
Où \(v_i\) est la vitesse initiale, \(t\) est le temps et \(a\) est l’accélération. En remplaçant les valeurs connues, nous avons :
\[d = 281.6 \text{ m/s} \times 1.4 \text{ s} + 0.5 \times -201.1 \text{ m/s}^2 \times (1.4 \text{ s})^2 = 394.24 \text{ m} - 197.12 \text{ m} = 197.12 \text{ m}\]
Par conséquent, la distance parcourue pendant la décélération était d’environ \(197.12 \text{ mètres}\).
Temps de vol
Vitesse initiale
Vitesse à l’arrivée au sol
Vitesse 0,15 seconde après avoir quitté la table.
Solution
Le temps de vol (\(t\)) peut être calculé en utilisant l’équation du mouvement vertical sous l’accélération due à la gravité (\(g = 9,8 \, \text{m/s}^2\)) :
\[h = 0,5 \times g \times t^2\]
Où \(h\) est la hauteur de la table. En isolant \(t\), nous avons :
\[t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\left(\frac{2 \times 1,25}{9,8}\right)} = 0,506 \, \text{s}\]
La vitesse initiale (\(v_0\)) peut être calculée en utilisant l’équation du mouvement horizontal :
\[d = v_0 \times t\]
Où \(d\) est la distance que la balle parcourt horizontalement. En isolant \(v_0\), nous avons :
\[v_0 = \frac{d}{t} = \frac{1,75}{0,506} = 3,46 \, \text{m/s}\]
La vitesse en arrivant au sol (\(v\)) peut être calculée en utilisant l’équation du mouvement vertical :
\[v = g \times t = 9,8 \times 0,506 = 4,96 \, \text{m/s}\]
La vitesse après 0,15 s (\(v_1\)) peut être calculée en utilisant la même équation du mouvement vertical :
\[v_1 = g \times t_1 = 9,8 \times 0,15 = 1,47 \, \text{m/s}\]
Cependant, cela ne représente que la composante verticale de la vitesse. La composante horizontale de la vitesse reste constante et égale à la vitesse initiale (\(3,46 \, \text{m/s}\)). Par conséquent, la vitesse totale est la somme vectorielle de ces deux composantes :
\[v_{\text{total}} = \sqrt{v_0^2 + v_1^2} = \sqrt{(3,46 \, \text{m/s})^2 + (1,47 \, \text{m/s})^2} = 3,71 \, \text{m/s}\] —– —– —–
Joana et Pedro vont faire une course de voitures. Au départ avec les voitures à l’arrêt, Pedro démarre en laissant Joana derrière lui. Joana ne démarre qu’un seconde plus tard que Pedro. Pedro se déplace avec une accélération de 3,5 m/s\(^2\) tandis que Joana se déplace avec une accélération de 4,9 m/s\(^2\). Déterminer :
À quel instant t Joana a dépassé Pedro.
La distance que Joana parcourt pour rattraper Pedro.
La vitesse des deux voitures au moment où Joana dépasse Pedro.
Solution
Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser les équations du mouvement.
Pour Pedro, l’équation est \(d_{\text{Pedro}} = 0,5 \times a_{\text{Pedro}} \times t^2 = 0,5 \times 3,5 \times t^2\).
Pour Joana, l’équation est \(d_{\text{Joana}} = 0,5 \times a_{\text{Joana}} \times (t-1)^2 = 0,5 \times 4,9 \times (t-1)^2\), car elle commence 1 seconde plus tard.
En égalant les deux équations, nous avons :
\[0,5 \times 3,5 \times t^2 = 0,5 \times 4,9 \times (t-1)^2\]
En résolvant l’équation ci-dessus pour \(t\), nous obtenons \(t \approx 6,46\) secondes, donc le temps de Joana est 6,46-1 = 5,46 s
\[d_{\text{Joana}} = 0,5 \times 4,9 \times (6,46-1)^2 \approx 73.04 \text{ mètres}\].
Pour Pedro, \(v_{\text{Pedro}} = 3,5 \times 6,46 = 22.6 \, \text{m/s}\).
Pour Joana, \(v_{\text{Joana}} = 4,9 \times (6,46-1) = 26.74 \, \text{m/s}\).