Estimación del valor de π

La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuíto con un área igual a π/4,está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria 100 puntos dentro del cuadrado. La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la pracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4. Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, que es 79 para obtener la estimación de π/4≈0.76. De este último resultado se concluye que π≈4(0.79)=3.14. Este ejercicio presenta un experimento de simulación que fue diseñado para estimar el valor de π al generar 1000 puntos en el cuadrado.

Punto A

Genere 1000 coordenadas x: X1,…,X1000.Utilice la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1. La distribución uniforme genera variables aleatorias que tienen la misma probabilidad de venir de cualquier parte del intervalo (0,1) (Se muestran 10 como ejemplo)

 [1] 0.9718018 0.5902956 0.2909631 0.2522294 0.2023315 0.8804905 0.6773042
 [8] 0.5533260 0.9380457 0.4867569

Punto B

Genere 1000 coordenadas y: Y1,…,Y1000.Utilice la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1.La distribución uniforme genera variables aleatorias que tienen la misma probabilidad de venir de cualquier parte del intervalo (0,1) (Se muestran 10 como ejemplo)

 [1] 0.6144034 0.1278417 0.7460563 0.1069397 0.8315372 0.1302473 0.9878801
 [8] 0.4854755 0.5425559 0.6529373

Punto C

Cada punto (Xi,Yi) se encuentra dentro del círculo si su distancia desde el centro (0.5,0.5)es menor a 0.5. Para cada par (Xi,Yi) determine si la distancia desde el centro es menor a 0.5. Esto último se puede realizar al calcular el valor (Xi−0.5)2+(Yi−0.5)^2, que es el cuadrado de la distancia, y al determinar si es menor que 0.25. (Se muestran las 10 primeras como ejemplo)

Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 1 ): 0.04188221 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 2 ): 0.08363763 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 3 ): 0.1044418 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 4 ): 0.1665224 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 5 ): 0.1259364 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 6 ): 0.3613984 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 7 ): 0.4552718 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 8 ): 0.3121815 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 9 ): 0.20757 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 10 ): 0.3335416 

Punto D

¿Cuántos de los puntos están dentro del círculo? ¿Cuál es su estimación de π? Nota: Con sólo 1000 puntos, es probable que su estimación sea inferior por 0.05 o más.Una simulación con 10000 y 100000 puntos tiene mayores probabilidades de dar como resultado una estimación muy cercana al valor verdadero.

La proporción de puntos dentro del círculo es: 0.757 

Estimación de π: 3.028 

Con 1000 puntos generados:1000

Puntos dentro del círculo: 778