Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Kelas : (B) Calculus

NIM : 230605110046

Sebelumnya sudah pernah membahas tentang diferensial yang menggunakan konsep turunan fungsi, mempelajari perilaku dan laju tentang bagaimana besaran yang berbeda berubah. Sedangkan, integral merupakan proses kebalikan dari diferensial memiliki kaitan dengan konsep anti-turunan. Membahas tentang akibat yang ditimbulkan dari perubahan laju tersebut. Integrasi adalah proses mengevaluasi integral.

Integrasi dibagi menjadi dua konteks yang berbeda yaitu : 1. Integral Tak Tentu (Anti-turunan) yaitu sebuah fungsi f yang turunannya adalah fungsi f. Nilai X dari fungsi tidak ditentukan sehingga dapat menghasilkan nilai fari fungsi tersebut yang banyak. 2. Integral Tertentu yaitu integral yang mana nilai X dari fungsi telah ditentukan, sehingga nilai dari fungsi integral terbatas pada nilai x yang ditetapkan.

Berikut cara membuat fungsi Integral bisa dengan makeFun :

library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
f <- makeFun( A * x ^  2 ~ x, A = 2.5)
f(1)
## [1] 2.5
f(2)
## [1] 10
f(3)
## [1] 22.5
f(4)
## [1] 40
df <- D(f(x) ~ x)
df(1)
## [1] 5
df(2)
## [1] 10
df(3)
## [1] 15
df(4)
## [1] 20

Cara membuat grafik fungsi asli f(x) dan fungsi baru df(x) atau turunan dari fungsi f(x) :

slice_plot(f(x) ~ x, domain(x = -1:1), color = " navy ") %>%
  gf_labs(title = "Original function f(x)")

slice_plot(df(x) ~ x, domain(x =-1:1), color = "green") %>%
  gf_labs(title = "New function df(x), the derivative of f(x)")

membentuk seperti kurva tersenyum dan turunannya df(x) membentuk garis miring.

Anti-turunan Yaitu df(x) dan fungsi DF(x) dimana turunan dari DF(x) adalah f(x). Dengan menerapkan kebalikan dari operator D() ke fungsi df(x) menghasilkan f() atau yang mirip.

Operator terbalik ini diterapkan dalam R/ mosaicCalc sebagai fungsi antiD(). Untuk akhiran anti, antiD() membatalkan apa yang D() lakukan. Seperti di bawah ini:

library(mosaicCalc)
DF <- antiD((x) ~ x)
DF(1)
## [1] 0.5
DF(2)
## [1] 2
DF(3)
## [1] 4.5
DF(4)
## [1] 8
DF(3.5)
## [1] 6.125

Cara membuat grafik fungsidf(x) dan anti-turunannya DF(x)

slice_plot(df(x) ~ x, domain(x=-1:1), color = "purple") %>%
  gf_labs(title = "Original function df(x)")

slice_plot(DF(5) ~ x, domain(x=-1:1), color = "orange") %>%
  gf_labs(title = "New function DF(x), the anti-derivative of df(x)")

dibuat oleh anti-diferensiasi bukan f tapi df sehubungan dengan x. Hasilnya adalah fungsi yang hanya ‘seperti’ f. Karena nilai-nilai dari DF sama dengan nilai aslinya f.

Tetapi, bisa juga memakai cara lain yaitu anti diferensiasi sebuah fungsi dan kemudian mengambil turunannya untuk kembali ke fungsi aslinya.

library(mosaicCalc)
dh <- antiD((x) ~ x)
dh(1)
## [1] 0.5
h <- antiD( f(x) ~ x )
dh <- D(f(x) ~ x )
dh(5.5)
## [1] 27.5
dh(10)
## [1] 50
dh(11.5)
## [1] 57.5
dh(5.5)
## [1] 27.5

2.Satu Variabel menjadi 2 Argumen Fungsi yang menggambarkan turunan dari beberapa fungsi yang tidak diketahui dan ingin menemukan fungsi yang tidak diketahui disebut dengan “integrasi”. Fungsi yang dihasilkan oleh proses umumnya disebut “integral”. Anti-turunan membatalkan turunan memiliki sifat terdistribusi dari suatu fungsi: tidak hanya nilai pada suatu titik, tetapi nilai yang terakumulasi pada seluruh rentang poin.

Ada cara lain untuk “membatalkan” turunan. Perhatikan fungsi berikut, yang masing-masing berbeda:

f1 <- makeFun(sin(x ^ 2) ~ x)
f2 <- makeFun(sin(x ^ 2)  +  3 ~ x)
f3 <- makeFun(sin(x ^ 2)  -  100 ~ x)
f1(1)
## [1] 0.841471
f2(1)
## [1] 3.841471
f3(1)
## [1] -99.15853
antiD(f(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## (x^3 * A)/3 + C
antiD(df(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## A * x^2 + C

Kenyataannya fungsi f1(x), f2(x), f3(x) memang berbeda tetapi mereka memiliki turunan yang sama.

library(mosaicCore)
df1 = D(f1(x) ~ x)
df2 = D(f2(x) ~ x)
df3 = D(f3(x) ~ x)
df1(1)
## [1] 1.080605
df2(1)
## [1] 1.080605
df3(1)
## [1] 1.080605

Integral

Bahwa turunan dari f itu sendiri adalah fungsi, dan fungsi itu memiliki argumen yang sama dengan f. Jadi, sejak itu didefinisikan untuk memiliki argumen bernama, fungsi yang dibuat juga memiliki argumen bernama (dan parameter lain yang terlibat): f(x) x D(f(x) ~ x)

f
## function (x, A = 2.5) 
## A * x^2
## <bytecode: 0x7f8ea1696b08>
df
## function (x, A = 2.5) 
## 2 * A * x
## <bytecode: 0x7f8ea0f21158>

Perhitungan integral tertentu/pasti melibatkan 2 aplikasi anti-turunan. Interval tertentu adalah perbedaan antara anti-derivatif yang dievaluasi dan anti-derivatif yang dievaluasi.

Di dalam perangkat memilih untuk menggunakan nilai default C = 0

fun = antiD( x^2 ~ x )
fun
## function (x, C = 0) 
## x^3/3 + C

Mengevaluasi fungsi pada nilai numerik tertentu untuk argumen tersebut, berakhir dengan “integral pasti”:

fun(x = 4) - fun(x = -2)
## [1] 24

Hal-hal penting yang perlu diingat:

1.Fungsi akan menghitung anti-turunan. antiD(x^2 ~ x) x X.

2.Anti-turunan selalu diambil sehubungan dengan variabel. Integral sehubungan dengan antiD(x^2 ~ x) x X.

3.Integral pasti adalah fungsi dari variabel integrasi. Variabel integrasi muncul sebagai argumen dalam 2 guises karena integral melibatkan 2 evaluasi: (1) X = to dan X = from. Batas-batas yang didefinisikan disebut “wilayah integrasi”.

Integralnya adalah tentang sifat “global” atau “terdistribusi” dari suatu fungsi, “keseluruhan”. Turunannya adalah tentang properti “lokal”.

Menggunakan fungsi dalam statistik dan fisika adalah Gaussian, yang memiliki grafik berbentuk lonceng:

gaussian <- 
  makeFun((1/sqrt(2*pi*sigma^2)) * 
            exp( -(x-mean)^2/(2*sigma^2)) ~ x,
          mean=2, sigma=2.5)
slice_plot(gaussian(x) ~ x, domain(x = -5:10)) %>%
  slice_plot(gaussian(x, mean=0, sigma=1) ~ x, color="red")

erf <- antiD(gaussian(x, mean=m, sigma=s) ~ x)
erf
## function (x, C = 0, m, s) 
## {
##     F <- makeF(gaussian(x, mean = m, sigma = s))
##     evalFun(F, x = x, m = m, s = s, .const = C)
## }
## <environment: 0x7f8ea5d40a38>

Dalam matematika, nama sesuatu disebut Fungsi ERror, sama seperti nama fungsi sinus. 1.∫^1 0 erf(x,m = 0,s = 1)dx

erf(x = 1, m=0, s=1) - erf(x = 0, m=0, s=1)
## [1] 0.3413447

2.∫^2 0 f(x,m = 0,s = 1)dx

erf(x = 2, m=0, s=1) - erf(x = 0, m=0, s=1)
## [1] 0.4772499

3.∫^2 0 f(x,m = 0,s = 2)dx

erf(x = 0, m=0, s=2) - erf(x = 2, m=0, s=2)
## [1] -0.3413447

4.∫^3 -∞ f(x,m = 3,s = 10)dx

erf(x = -Inf, m=3, s=10) - erf(x = 3, m=3, s=10)
## [1] -0.5