mosaic calculus 5

5 Fungsi buku pola

Dalam Bab ini, kami memperkenalkan fungsi buku pola — daftar singkat fungsi matematika dasar yang menyediakan sebagian besar alat untuk merepresentasikan dunia nyata sebagai objek matematika. Bayangkan item-item dalam daftar buku pola sebagai aktor-aktor yang berbeda, yang masing-masing terampil dalam menggambarkan karakter dasar: pahlawan, penjahat, kekasih, bodoh, pelawak. Sebuah drama menyatukan tokoh-tokoh yang berbeda, mendandaninya, dan menghubungkannya satu sama lain melalui dialog atau cara lain.

Model matematika adalah sejenis cerita; seorang pemodel matematika adalah sejenis penulis naskah drama. Dia menggabungkan tipe karakter matematika untuk menceritakan sebuah kisah tentang hubungan. Kita hanya memerlukan sedikit fungsi matematika, analogi karakter aktor dalam drama dan komedi untuk membuat sketsa model. Dalam membuat model matematika, Anda mendandani para aktor agar sesuai dengan zaman dan lokasi serta menyusunnya dalam harmoni atau perselisihan.

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/www/theatrical-pattern-book.jpg

Gambar 5.1: Buku pola kostum teater Desainer kostum menggunakan imajinasi mereka, sering kali ditingkatkan dengan merujuk pada koleksi pola yang diterbitkan dan menyesuaikannya dengan kebutuhan yang ada. Referensi ini terkadang disebut “buku pola.” (Lihat Gambar 5.1 .)

Demikian pula, kita akan memulai dengan serangkaian pola fungsi yang telah dikumpulkan dari pengalaman beberapa generasi. Untuk mengingatkan kita akan peranannya dalam pemodelan, kita akan menyebutnya fungsi buku pola . Fungsi buku pola ini berguna dalam mendeskripsikan beragam aspek dunia nyata dan memiliki sifat sederhana terkait kalkulus yang membuatnya relatif mudah untuk ditangani. Hanya ada segelintir fungsi buku pola yang dapat digunakan untuk membangun fungsi pemodelan yang berguna dalam jumlah tak terhitung. Menguasai kalkulus sebagian adalah dengan membiasakan diri dengan hubungan matematis di antara fungsi-fungsi buku pola. (Anda akan melihatnya pada waktunya.)

Berikut adalah daftar fungsi buku pola kami yang ditulis secara tradisional dan dalam R:

Daftar fungsi buku pola pendek. Anda harus menghafal nama-nama tersebut dan dapat dengan mudah mengasosiasikan setiap nama dengan notasi tradisional. Nama pola Notasi tradisional Notasi R

eksponensial e^x exp(x) logaritma (“log natural”) ln(x) log(x) sinusoidal sin(x) sin(x) persegi x^2 x^2 sebanding x x satu 1 1 timbal-balik 1/x atau x^-1 1/x gaussian dnorm(x) dnorm(x) sigmoid pnorm(x) pnorm(x)

Nama input yang digunakan dalam tabel,x, sepenuhnya sewenang-wenang. Anda dapat (dan akan)menggunakan fungsi buku pola dengan besaran lain—y,z,t, dan seterusnya, bahkan zebra jika Anda mau.

Selain nama fungsi buku pola, Anda juga harus bisa menggambar bentuknya dengan mudah. Tabel 11.1 memberikan panduan praktis.

Bentuk fungsi buku pola

Fungsi buku pola ini dapat diterapkan secara luas. Namun tak seorang pun akan bingung antara gambar di buku pola dengan kostum yang siap dipakai. Setiap pola harus disesuaikan agar sesuai dengan aktor dan disesuaikan dengan tema, latar, dan aksi cerita. Kita akan mempelajari bagaimana hal ini dilakukan mulai dari Bab Bab 8 .

5.1 Pola dan bentuk

Fungsi-fungsi buku pola saling berkaitan erat satu sama lain namun masing-masing mempunyai bentuk yang khas. Variasi bentuk membuat kumpulan kecil fungsi buku pola cocok untuk berbagai tugas pemodelan.

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-constant-pb-1.png

Gambar 5.2: Output dari fungsi konstanta selalu 1, apapun inputnya.

Fungsi konstanta sangat sederhana sehingga Anda mungkin cenderung menyangkal bahwa itu adalah sebuah fungsi. Output dari fungsi konstanta selalu berupa angka 1, apa pun inputnya. Oleh karena itu, grafiknya adalah garis horizontal.

Anda mungkin bertanya-tanya mengapa harus bersusah payah membuat fungsi yang keluarannya selalu sama. Lagi pula, dalam rumus, ia hanya muncul sebagai angka 1, tidak tampak seperti fungsi sama sekali. Namun rumus bukanlah satu-satunya cara untuk merepresentasikan fungsi. Misalnya, di Blok III kita akan menggunakan struktur matematika yang disebut “vektor” untuk merepresentasikan fungsi yang konstanta fungsinya tidak hanya berupa angka 1.

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-proportional-pb-1.png

Gambar 5.3: Output dari fungsi proporsional adalah berapa pun nilai inputnya.

Fungsi proporsionalnya juga sederhana. Apapun masukannya akan menjadi keluaran. (Nama lain yang sesuai untuk fungsi proporsional adalah “fungsi identitas” karena keluarannya sama dengan masukannya.) Grafik fungsi proporsional adalah garis lurus yang melalui (0,0) dengan kemiringan 1.

Meskipun fungsi proporsionalnya sederhana, fungsi ini banyak digunakan dalam pemodelan. Dalam rumus, fungsi proporsional muncul sebagai x atau y atau apa pun nama masukannya. Hal ini dapat membuat sulit untuk mengingat bahwa ini memang sebuah fungsi.

Fungsi buku pola lainnya semuanya memiliki bentuk melengkung.

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-gaussian-pb-1.png

Gambar 5.4: Fungsi Gaussian “berbentuk lonceng”.

Fungsi * Gaussian berbentuk seperti gunung atau, dalam banyak deskripsi, seperti garis lonceng. Ketika masukan menjadi lebih besar—baik dalam arah positif atau negatif—output semakin mendekati nol tetapi tidak pernah menyentuh nol secara tepat.

Fungsi Gaussian sangat sering muncul dalam pemodelan sehingga memiliki nama lain yang banyak digunakan: fungsi normal . Namun “normal” mempunyai arti tambahan dalam matematika, jadi kami tidak akan menggunakan nama itu dalam buku ini.

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-sigmoid-pb-1.png

Gambar 5.5: Fungsi sigmoid memberikan transisi yang mulus dari nol ke satu.

Fungsi sigmoid memodelkan transisi yang mulus. Untuk masukan negatif yang besar, keluarannya (hampir) nol. Untuk masukan positif yang besar, keluarannya (hampir) satu. Sigmoid berkerabat dekat dengan Gaussian. Saat Anda maju dalam kalkulus, hubungannya akan menjadi jelas.

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-exponential-pb-1.png

Gambar 5.6: Output dari fungsi eksponensial tumbuh semakin cepat seiring dengan meningkatnya input.

Fungsi eksponensial memiliki penerapan penting dalam ilmu pengetahuan, teknologi, dan perekonomian. Untuk masukan negatif yang besar, nilainya sangat mendekati nol sama seperti fungsi Gaussian atau sigmoid. Namun keluarannya meningkat semakin cepat seiring dengan semakin besarnya masukan. Perhatikan bahwa keluaran fungsi eksponensial tidak pernah negatif untuk masukan apa pun.

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-logarithm-pb-1.png

Gambar 5.7: Logaritma didefinisikan hanya untuk input yang lebih besar dari nol.

Fungsi logaritma didefinisikan hanya untuk masukan positif. Ketika masukan meningkat dari sedikit di atas nol, keluaran t terus bertambah tetapi dengan laju yang semakin lambat. Itu tidak pernah seimbang.

Fungsi eksponensial dan logaritmik sangat erat hubungannya. Anda dapat melihat hubungannya dengan mengambil grafik logaritma, dan memutarnya 90 derajat, lalu membalik ke kiri ke kanan seperti pada Gambar 5.8 . (Perhatikan pada Gambar 5.8 bahwa grafik ditampilkan seolah-olah dicetak pada transparansi yang kita lihat dari belakang.)

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/www/log-flipped.png

Gambar 5.8: Fungsi eksponensial sama dengan logaritma tetapi—dan ini merupakan fungsi yang besar—membalikkan peran input dan output. Secara visual, pembalikan peran tersebut sama saja dengan membalikkan grafik.

Keluaran fungsi sinusoida berosilasi seiring perubahan masukan. Ini adalah fungsi periodik , artinya pola tersebut berulang secara identik dari kiri ke kanan pada grafik.

Jika Anda mempelajari trigonometri, Anda mungkin terbiasa dengan sinus suatu sudut dalam konteks segitiga siku-siku. Itulah asal mula ide tersebut secara historis. Untuk tujuan kita, anggap sinusoida hanya sebagai fungsi yang mengambil masukan dan mengembalikan keluaran. Dimulai pada awal tahun 1800-an, fungsi osilasi banyak diterapkan dalam merepresentasikan fenomena seperti difusi panas melalui material padat dan, pada akhirnya, komunikasi radio.

Dalam trigonometri, sinus memiliki kosinus sebagai pasangannya. Namun kedua fungsi tersebut sin() Dan cos() sangat erat hubungannya sehingga kita tidak perlu sering-sering membedakannya, dengan menyebut keduanya hanya “sinusoid”.

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-sinusoid-pb-1.png

Gambar 5.9: Keluaran fungsi sinusoida berosilasi seiring bertambahnya masukan.

5.2 Eksponensial & waktu penggandaan

Fungsi eksponensial mempunyai sifat karakteristik yang menjadikannya sangat penting dalam model banyak fenomena: Nilainya berlipat ganda dalam waktu yang konstan . Ungkapan “berganda dalam waktu konstan” mungkin tidak jelas, jadi mari kita lihat secara cermat dengan mengacu pada grafik fungsi eksponensial.

Gambar 5.10 adalah grafik fungsi eksponensial, dianotasi dengan sekumpulan garis vertikal yang berjarak sama. Perpotongan setiap garis vertikal dengan fungsi telah ditandai dengan titik untuk memudahkan pembacaan keluaran eksponensial jika masukan memiliki nilai yang ditandai oleh garis vertikal. Misalnya, salah satu garis vertikal ada di t = 0. Dari situ Anda bisa memastikannya exp(t = 0) = 1. Melihat garis vertikal di t = 1 x 0.693 Anda dapat memastikannya exp(t = 0.693) = 2. Demikian pula exp(t = 2 x 0.693) = 4 Dan exp(t = 3 x 0.693) = 8.

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-exp-doubling-time-1.png

Gambar 5.10: Fungsi eksponensial berlipat ganda dalam waktu yang konstan.

Dengan kata lain, keluaran fungsi eksponensial menjadi dua kali lipat setiap kali masukan dinaikkan sebesar 0,693. Demikian pula, menurunkan input sebesar 0,693 akan mengurangi setengah output. Tidak ada fungsi lain selain eksponensial yang memiliki sifat bahwa perubahan konstan pada masukan (yaitu, 0,693) menyebabkan dua kali lipat keluaran. Jadi, 0,693 adalah “waktu konstan” yang menyebabkan penggandaan.

5.3 Keluarga penguasa

Empat dari fungsi buku pola —1,1/x,x,x^2— milik keluarga tak terbatas yang disebut fungsi hukum kekuasaan . Beberapa contoh lain dari fungsi power-law adalah x^3,x4,…sebaik x^1/2 (juga ditulis /x),x^1.36, dan seterusnya. Beberapa di antaranya juga memiliki nama khusus (walaupun jarang digunakan), namun semua fungsi hukum kekuasaan dapat ditulis sebagai x^p, Di mana x adalah masukan dan p adalah sebuah angka.

Dalam keluarga power-law, akan sangat membantu jika kita mengetahui dan mampu membedakan beberapa kelompok:

1.Monomial . _ Ini adalah fungsi hukum kekuasaan seperti m0(x) = x^0,m1(x) = x^1,m2(x) = x^2,…,mp(x) = x^p,…, Di mana p adalah bilangan bulat (yaitu bilangan bulat non-negatif). Tentu saja,m0() sama dengan fungsi konstanta, karena x^0 = 1. Juga,m1(x) sama dengan fungsi identitas sejak itu x^1 = x. Sedangkan sisanya, mereka hanya memiliki dua bentuk umum: kedua lengan terangkat untuk kekuatan genap p (seperti di x^2 , parabola); satu tangan ke atas dan yang lainnya ke bawah untuk kekuatan ganjil p (seperti di x^3 , satu kubik). Memang bisa dilihat pada Gambar 5.17 itu x^4 memiliki bentuk yang mirip dengan x^2 dan itu x^5 bentuknya mirip dengan x^3. Oleh karena itu, monomial tingkat tinggi jarang diperlukan dalam praktiknya.

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-monomial-graphs-1.png

Gambar 5.11: ?(keterangan)

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-monomial-graphs-2.png

Gambar 5.12: ?(keterangan)

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-monomial-graphs-3.png

Gambar 5.13: ?(keterangan)

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-monomial-graphs-4.png

Gambar 5.14: ?(keterangan)

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-monomial-graphs-5.png

Gambar 5.15: ?(keterangan)

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-monomial-graphs-6.png

Gambar 5.16: ?(keterangan)

Gambar 5.17: Monomial X^0,X1,X^2,X3,X^4,X5. Yang putus-putus magenta garis menandai keluaran nol.

2.Kekuatan negatif . Ini adalah fungsi hukum kekuasaan dimana p < 0, seperti f(x) = x^-1,g(x) = x^-2,h(x) = x^-1.5. Untuk pangkat negatif, besarnya keluaran berbanding terbalik dengan besarnya masukan. Dengan kata lain, bila masukannya besar ( tidak mendekati nol) maka keluarannya kecil, dan bila masukannya kecil (mendekati nol), keluarannya sangat besar. Perilaku ini terjadi karena eksponen negatif suka x^-2 dapat ditulis ulang menjadi 1/x^2; masukannya dibalik dan menjadi penyebutnya, sehingga disebut “berbanding terbalik”.

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-negative-graphs-1.png

Gambar 5.18: ?(keterangan)

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-negative-graphs-2.png

Gambar 5.19: ?(keterangan)

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-negative-graphs-3.png

Gambar 5.20: ?(keterangan)

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-negative-graphs-4.png

Gambar 5.21: ?(keterangan)

Gambar 5.22: Grafik fungsi hukum pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif. Tanda panah menunjukkan output menjadi sangat besar ketika x mendekati nol.

3.Pangkat non -integer , mis f(x) = / x,g(x) = x^PI, dan seterusnya. Kapan p adalah pecahan atau bilangan irasional (seperti PI), fungsi hukum kekuasaan yang bernilai riil x^p hanya dapat mengambil angka non-negatif sebagai input. Dengan kata lain, domain dari x^p adalah 0 ke (8) Kapan p bukan bilangan bulat. Anda mungkin pernah mengalami pembatasan domain ini saat menggunakan hukum kekuasaan p = 1/2 sejak f(x) = x^1/2 = /x, dan akar kuadrat suatu bilangan negatif bukanlah bilangan real . Anda mungkin pernah mendengar tentang bilangan imajiner yang memungkinkan Anda mengambil akar kuadrat dari suatu bilangan negatif, namun untuk saat ini, Anda hanya perlu memahami bahwa ketika bekerja dengan fungsi hukum pangkat bernilai riil dengan eksponen non-bilangan bulat, inputnya harus non-negatif. (Ceritanya sedikit lebih rumit karena, secara aljabar, eksponen rasional seperti itu 1/3 atau 1/5 dengan penyebut bernilai ganjil dapat diterapkan pada bilangan negatif. Namun, aritmatika komputer tidak mengenal pengecualian ini.)

https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/05-pattern-book-functions_files/figure-html/fig-non-integer-graphs-1.png

Gambar 5.23: Domain fungsi hukum pangkat dengan pangkat bukan bilangan bulat adalah 0 <= x <= (8).

5.3.1 Catatan komputasi

Ketika suatu fungsi seperti ^3/ ditulis sebagai x^1/3 pastikan untuk menyertakan eksponen dalam tanda kurung pengelompokan: x^(1/3). Demikian pula, nanti di buku ini Anda akan menemukan fungsi hukum pangkat yang eksponennya ditulis sebagai rumus. Yang paling umum adalah fungsi hukum kekuasaan tertulis x^n-1 atau x^n+1. Dalam menerjemahkannya ke dalam notasi komputer, pastikan untuk meletakkan rumus di dalam tanda kurung pengelompokan, misalnya x^(n-1)atau x^(n+1).

5.3.2 Beberapa hubungan kekuasaan-hukum

Anda telah menggunakan fungsi hukum pangkat sejak awal pendidikan matematika dan sains Anda. Beberapa contoh: 1

Contoh hubungan kekuasaan-hukum

Pengaturan Rumus fungsi eksponen

Keliling lingkaran C(r) = 2PIr 1 Luas lingkaran A(r) = PIr^2 2 Volume sebuah bola V(r) = 4/3 PIr^3 3 Jarak yang ditempuh benda jatuh d(t) = 1/2 gt^2 2 Tekanan gas versus volume P(V) = nRT/V -1 …mungkin kurang familiar…
Jarak yang ditempuh oleh gas yang menyebar X(t) = D /t 1/2 Umur hewan (di alam liar) versus massa tubuh L(M) = aM^0.25 0,25 Aliran darah versus massa tubuh F(M) = bM^0.75 0,75

Salah satu alasan mengapa fungsi hukum pangkat sangat penting dalam sains berkaitan dengan logika besaran fisika seperti panjang, massa, waktu, luas, volume, gaya, daya, dan sebagainya. Kita akan membahas hal ini secara panjang lebar nanti dalam kursus ini dan prinsip-prinsipnya akan muncul di seluruh kalkulus.

5.4 Domain fungsi buku pola

Masing-masing fungsi pemodelan dasar kita, dengan dua pengecualian, memiliki domain yang merupakan garis bilangan keseluruhan -(8) < x < (8) . Tidak peduli seberapa besar atau kecil nilai masukannya, fungsi tersebut mempunyai keluaran. Fungsi seperti ini sangat bagus karena kita tidak perlu khawatir inputnya akan keluar batas.

Dua pengecualiannya adalah:

1.fungsi logaritma, yang didefinisikan hanya untuk 0 < x. 2.beberapa fungsi hukum kekuasaan:x^p. .Kapan p negatif, output dari fungsi tersebut tidak terdefinisi kapan x = 0. Anda dapat melihat alasannya dengan contoh sederhana:g(x) = x^-2 . Sebagian besar siswa telah mengetahui bahwa “pembagian dengan nol adalah ilegal,” dan g(0) = 1/0 1/0, pelanggar hukum ganda. .Kapan p bukan bilangan bulat, yaitu p /= 1,2,3,… domain fungsi hukum pangkat tidak mencakup masukan negatif. Untuk mengetahui alasannya, pertimbangkan fungsinya h(x) = x^1/3.

5.5 Manipulasi simbolik

Beberapa fungsi buku pola begitu sering muncul dalam Kalkulus MOSAIK sehingga ada baiknya meninjau kembali cara memanipulasinya secara simbolis. Sebagai contoh, perhatikan fungsinya

g(x) = e^x e^x.

Ini adalah cara yang sangat bagus untuk mendefinisikan g(), namun akan sangat membantu jika kita menyadari bahwa definisi berikut ini benar-benar setara

f(x) = e^x+x h(x) = e^2x.

Manipulasi simbolik yang kita bahas dalam bab ini melibatkan kemampuan mengingat dan menerapkan kesetaraan tersebut. kita hanya memerlukan sebagian kecil saja, semua atau sebagian besarnya dapat ditemukan dalam pelajaran aljabar sekolah menengah.

Mengapa beberapa fungsi memiliki tanda kurung dan fungsi lainnya tidak?

Kenapa beberapa nama fungsi, seperti sin() ditulis dengan tanda kurung lain, sedangkan yang lain seperti e^x sudahkah nama masukan ditampilkan?

Itu x dalam nama e^x adalah pengganti. Nama yang lebih baik, jika lebih panjang exp(), yang menandakan bahwa yang kami maksud adalah konsep abstrak dari fungsi eksponensial, dan bukan fungsi yang diterapkan pada masukan bernama x.

Hal yang sama berlaku untuk fungsi seperti x atau 1/t atau z^2. Jika konsistensi mutlak dari notasi adalah tujuan utama, kita dapat menulis buku ini dengan gaya yang memberi nama pada setiap fungsi buku pola dalam gaya nama/tanda kurung. Sesuatu seperti ini:

library(mosaicCalc)

## Loading required package: mosaic

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

## Loading required package: mosaicCore

## 
## Attaching package: 'mosaicCore'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally

## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)

## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

reciprocal <- makeFun(1/t ~ t)
one <- makeFun(1 ~ z)
square <- makeFun(x^2 ~ x)

Ini akan digunakan dengan cara biasa, misalnya:

reciprocal(7)

## [1] 0.1428571

## [1] 0.1428571
one(123.67)

## [1] 1

## [1] 1
square(19)

## [1] 361

## [1] 361

Menulis timbal balik(x) alih-alih 1/x bertele-tele, mungkin itulah sebabnya Anda tidak pernah melihatnya. Tapi ketika Anda melihat 1/x Anda harus menganggapnya sebagai fungsi yang diterapkan x dan bukan sebagai sedikit aritmatika.

Ngomong-ngomong… Saya menggunakan nama yang berbeda untuk masukan pada ketiga fungsi ini hanya untuk mengingatkan pembaca bahwa, untuk fungsi dengan satu masukan, nama tersebut tidak memiliki arti. Anda hanya perlu memastikan untuk menggunakan nama yang sama di sisi kiri dan kanan ekspresi tilde.

TAKE NOTE !

Kita akan membahas fungsi eksponensial dan hukum pangkat pada bab ini. Penting bagi Anda untuk menyadari bahwa ini adalah fungsi yang sangat berbeda.

Fungsi eksponensial, misalnya,e^x atau 2^x atau 10^x mempunyai besaran konstan yang dipangkatkan dengan masukan ke fungsi tersebut.

Fungsi hukum pangkat bekerja dengan cara sebaliknya: masukan dinaikkan ke besaran konstan, seperti pada x^2 atau x^1 0.

Frasa mnemonik untuk fungsi eksponensial adalah

Fungsi eksponensial miliki x dalam eksponen.

Tentu saja, fungsi eksponensial dapat mempunyai masukan dengan nama selain x, contohnya,f(y) = 2^y, tapi nama “x” merupakan aliterasi yang bagus dalam mnemonik.

5.5.1 Eksponensial dan logaritma

Pola simbolik dasar untuk eksponensial adalah (i) dan (ii)

e^x e^y <-> e^x+y . (ii) (e^x)y <-> e^xy

Eksponensial dengan basis selain e dapat diubah menjadi basis e.

2^x <-> e^ln(2)x = e^0.69315 x . (iv) 10^x <-> e^ln(10)x = e^2.30259 x

Untuk aritmatika mental, lebih mudah menggunakan basis 2 atau 10. Basis e = 2.718282 tidak kondusif untuk perhitungan seperti itu. Di Blok 2 kita akan membahas mengapa menulis fungsi eksponensial sebagai standar e^x.

Logaritma yang akan kita bahas kembali di Bab 15 adalah fungsi kebalikan dari eksponensial: Aturan(v).

(v).a ln (exp(x)) = x (v).b exp (ln(x)) = x

Salah satu tempat dimana kita akan menemukan aturan (ii) dan (v) adalah di Bab 8 ketika kita melihat “masa penggandaan” dan “waktu paruh.” Di sana kita akan membahas ekspresi seperti 2^x/r = e^ln(2)x/r.

Pola simbolik penting untuk logaritma adalah Aturan (vi) hingga (vii).

ln(x y) <-> ln(x) + ln(y)
ln(x/y) <-> ln(x) - ln(y)
ln(x^p) <-> p ln(x)$

TAKE NOTE !

Perhatikan bahwa pola simbolik untuk logaritma melibatkan perkalian, pembagian, dan eksponensial, tetapi tidak melibatkan penjumlahan :

ln (x+y) /= ln(x) + ln(y).

5.5.2 Fungsi hukum kekuasaan

Dalam fungsi hukum pangkat, kuantitas dalam eksponen adalah konstan: kita akan menyebutnya demikian m,n, atau p dalam contoh berikut.

x^m x^n <-> x^m+n
x^m / x^n <-> x^m-n
(xⁿ⁾p <-> x^n p
x^-n <-> 1/x^n
x^0 <-> 1

5.5.3 Sinusoida

sin(x) periodik dengan periode 2PI. Persimpangan nol dari sin(x)berada di x = …,-2PI,-PI,0,PI,2PI,…

Seperti yang kami sebutkan sebelumnya, kami akan memanggil keduanya sin() Dan cos() fungsi “sinusoid”. Mereka hanyalah versi yang bergeser satu sama lain:

cos(x) = sin(x + PI/2).

5.5.4 Fungsi garis lurus

Anda mungkin terbiasa dengan fungsi yang kami sebut “fungsi garis lurus”

line(x) = mx + b.

Nama tersebut berasal dari bentuk grafik line(x) melawan x, yang merupakan garis lurus. Anda mungkin terbiasa memanggil parameter m “kemiringan” garis, dan parameternya b “pencegatan”. (Secara umum, yang dimaksud dengan “intersep” adalah nilai keluaran fungsi ketika masukannya nol. Di sekolah menengah, hal ini sering disebut “perpotongan y.”)

Ada dua manipulasi simbolik sederhana yang akan sering Anda gunakan dalam Kalkulus MOSAIK :

1.Temukan masukannya x = x0 yang outputnya line (x = x0) = 0. Masukan ini memiliki banyak nama dalam matematika: “root”, “x-intercept,” “zero cross”, dll. Kita akan menyebut nilai masukan apa pun yang berhubungan dengan keluaran nol sebagai “nol dari fungsi tersebut.”

Untuk fungsi garis lurus, angka nol mudah ditemukan secara simbolis:

x0 = -b/m.

2.Tulis ulang fungsi garis lurus dalam formulir

line(x) = a(x-x0).

Di sini kemiringannya ditunjukkan dengan a. Dan tentu saja,x0 adalah nol dari fungsi tersebut, seperti yang Anda lihat dengan pengaturan

x = x0 : line (x = x0) = a(x - x0) | x = x0 = 0

Mengapa disebut “logaritma?”

Nama “logaritma” sama sekali tidak deskriptif. Nama tersebut diciptakan oleh penemunya, John Napier (1550-1617), untuk menekankan tujuan awal penemuannya: untuk menyederhanakan pekerjaan perkalian dan eksponensial. Nama ini berasal dari kata Yunani logos yang berarti “penalaran” atau “perhitungan” dan arithmos yang berarti “angka”. Istilah pemasaran yang menarik untuk penemuan baru, setidaknya bagi mereka yang berbicara bahasa Yunani!

Meskipun diciptakan untuk pekerjaan praktis penghitungan numerik, fungsi logaritma telah menjadi inti teori matematika serta disiplin ilmu modern seperti termodinamika dan teori informasi. Logaritma adalah kunci untuk pengukuran informasi dan besaran. Seperti yang Anda ketahui, ada satuan informasi yang digunakan khususnya untuk menggambarkan kapasitas penyimpanan informasi komputer: bit, byte, megabyte, gigabyte, dan sebagainya. Karena ada satuan panjang yang berbeda (cm, meter, kilometer, inci, mil,…), ada juga satuan informasi dan besaran yang berbeda. Untuk hampir semua hal yang diukur, kita berbicara tentang “satuan” pengukuran. Untuk logaritma, alih-alih “satuan”, menurut tradisi, kata lain digunakan: basisdari logaritma. Satuan yang paling umum di luar matematika teoretis adalah basis-2 (“ bit ”) dan basis-10 (“ dekade ”). Namun satuan yang paling mudah digunakan dalam notasi matematika adalah “basis e”, dimana e = 2.71828182845905. Ini benar-benar pilihan yang bagus untuk satuan logaritma, namun hal ini hampir tidak terlihat jelas bagi siapa pun yang baru pertama kali menemukannya. Untuk membuat pilihan lebih cocok, ini dipasarkan sebagai “basis logaritma natural.” Dalam buku ini, kita akan menggunakan logaritma natural ini sebagai logaritma buku pola resmi kita.

5.6 Bor

Latihan 1 Fungsi buku pola manakah yang memiliki nilai keluaran sangat mendekati nol di hampir seluruh domainnya?

ln() sin() dnorm() e^x

Latihan 2 Manakah dari fungsi pemodelan dasar berikut yang memiliki nilai sangat mendekati nol pada hampir separuh domainnya?

x^2 ln() pnorm() x^-1

Latihan 3 Manakah dari fungsi pemodelan dasar berikut yang memiliki nilai sangat mendekati nol pada hampir separuh domainnya?

x^2 ln() e^x x^-1

Latihan 4 Manakah dari fungsi buku pola berikut yang bukan monomial?

x^2 /x x

Latihan 5 Nilai mana yang hilang dari domain x^-1?