MOSAIC CALCULUS BAB 4
2023-10-02
4 Memvisualisasikan fungsi
Pada Bab 1 , kami mendorong Anda untuk memikirkan suatu fungsi dalam kaitannya dengan ruang masukan yang mungkin—domain—dan ruang keluaran lainnya. Dalam bab ini, kami memperkenalkan cara untuk memvisualisasikan ruang masukan dan keluaran suatu fungsi secara bersamaan.
Mari kita mulai dengan ruang yang cocok untuk mewakili kuantitas tunggal. Tentu saja itu adalah garis bilangan yang familiar.
https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/www/number-line2.png
Garis bilangan hanyalah garis horizontal. Tanda centang vertikal, seperti -7 , hanyalah alat bantu interpretasi manusia.
Pada garis bilangan, besaran tertentu adalah satu titik. Misalnya, gunakan garis bilangan untuk menunjukkan dua besaran 6.3 Dan -4.5.
https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/www/number-line3.png
Suatu fungsi menghubungkan setiap titik di ruang masukan ke titik yang bersesuaian di ruang keluaran. Gambar Gambar 4.1 memberikan sketsa fungsi arbitrer dimana ruang input dan output ditampilkan satu di atas yang lain. Panah digambar untuk beberapa nilai masukan, menunjukkan ke mana nilai tersebut dipetakan dalam ruang keluaran. (Ada lebih banyak anak panah yang bisa ditarik di antara panah-panah yang ditampilkan, namun grafiknya menjadi tidak terbaca.)
https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/www/number-line-function.png
Gambar 4.1: Fungsi adalah pemetaan dari ruang masukan ke ruang keluaran. Gambar 4.1 memberikan informasi tentang fungsi tersebut, namun formatnya hampir mustahil untuk diinterpretasikan. Renė Descartes (1596–1650) mengusulkan visualisasi yang lebih baik: tempatkan ruang input dan output pada sudut kanan satu sama lain dan, alih-alih menggunakan kepala dan ekor panah yang menghubungkan posisi terkait pada ruang input dan output, gunakan kepala dan nilai ekor sebagai koordinat dalam ruang masukan/keluaran gabungan. Pengaturan ini ditunjukkan pada Gambar 4.2 dan disebut, seperti yang Anda ketahui, grafik fungsi .
Dalam percakapan sehari-hari, kata “grafis” mengacu pada gambar apa pun. Dalam matematika, “grafik” adalah gambar yang dibuat pada bidang Kartesius, dengan nilai masukan ditandai dengan sumbu horizontal dan keluaran fungsi ditandai dengan sumbu vertikal.
Gambar 4.2: Pemetaan dari Gambar 4.1 diterjemahkan ke dalam bentuk grafik. Ruang masukan ditandai dengan sumbu horizontal dan ruang keluaran ditandai dengan sumbu vertikal. Masing-masing anak panah pada Gambar 4.1 diwakili oleh sebuah titik, yang koordinat x-nya adalah posisi ekor panah di ruang masukan dan koordinat y-nya adalah posisi kepala panah di ruang keluaran. Ini adalah grafik fungsinya.
Keuntungan utama dari format ini adalah bahwa keluaran fungsi dapat ditampilkan tidak hanya pada kumpulan nilai masukan yang terpisah, namun pada setiap titik dalam ruang masukan kontinu. Gambar 4.2 menunjukkan satu fungsi yang konsisten dengan titik-titik diskrit, namun ada banyak fungsi seperti itu. Artinya, panah diskrit yang ditunjukkan pada Gambar 4.1 tidak sepenuhnya menentukan fungsi unik.
Matematika di dunia
Sel saraf berkomunikasi melalui tegangan dan arus listrik. Untuk komunikasi jarak jauh (jarak lebih panjang dari sekitar 1 mm) sinyalnya berbentuk pulsa tegangan yang terjadi berulang-ulang dengan kecepatan berbeda. Pembentukan pulsa ini, yang disebut “potensial aksi,” adalah subjek dari proyek penelitian ekstensif pada tahun 1950-an yang melibatkan penyisipan elektroda kecil ke dalam sel saraf yang relatif besar (“raksasa”) yang memediasi reaksi pelarian cumi-cumi. Eksperimen tipikal melibatkan pengaturan tegangan artifisial melintasi membran sel. Melalui eksperimen ini, para ilmuwan—John Eccles, Alan Hodgkin, dan Andrew Huxley—mampu menggambarkan secara matematis hubungan antara tegangan membran dan arus yang melintasi membran. Model kalkulus yang dibangun dari hubungan memberikan gambaran singkat tentang biofisika potensial aksi. Hadiah Nobel tahun 1963 dianugerahkan untuk karya ini.
Gambar 4.3: Data (simulasi) dari percobaan akson raksasa cumi-cumi. Kurva halus ditarik melalui titik-titik data. Dalam setiap percobaan yang dijalankan, tegangan membran ditetapkan pada tingkat tertentu (katakanlah, -50 mV) dan arus diukur. Gambar 4.3 menunjukkan seperti apa datanya, setiap titik menunjukkan hasil dari satu percobaan yang dijalankan.
Titik data itu sendiri dapat digambarkan secara metaforis sebagai “awan” yang menunjukkan “langit” tegangan vs arus. Awan di dunia nyata sering kali menunjukkan pola seperti bentuk binatang atau negara. Kita dapat mengatakan bahwa awan menyerupai kelinci. Demikian pula, awan data menunjukkan pola antara arus dan tegangan. Misalnya, kita dapat menggambarkan hubungan arus-tegangan sebagai bentuk S. Atau, daripada menggunakan huruf “S” kita dapat menggambar kurva melalui titik-titik untuk meringkas dan menyederhanakan hubungan.
Kurva halus pada Gambar 4.3 menggambarkan hubungan antara arus dan tegangan secara kuantitatif. Misalnya, jika Anda mengetahui arusnya 0, Anda dapat menggunakan kurva untuk mengetahui berapa tegangan yang akan terjadi di sekitar -90 mV atau -50 mV atau -10 mV. Tetapi ketika arusnya 0, tegangannya tidak akan menjadi, katakanlah, -75 atau -150.
Grafik seperti Gambar 4.5 dan Gambar 4.3 adalah cara yang baik untuk menunjukkan hubungan. Kita bahkan dapat melakukan perhitungan hanya dengan menggunakan grafik tersebut. Letakkan jari Anda pada titik grafik berbentuk S dan Anda dapat membaca dari sumbu pasangan nilai tegangan dan arus yang diperbolehkan. Letakkan jari Anda pada suatu titik pada sumbu vertikal. Memindahkannya ke kurva akan mengungkapkan arus apa yang terkait dengan tegangan tersebut.
Fungsi, seperti grafik, adalah cara untuk merepresentasikan hubungan. Terlepas dari segala kelebihannya sebagai alat komunikasi, grafik memiliki keterbatasan. Dengan grafik, yang dapat dilakukan hanyalah menunjukkan hubungan antara dua besaran atau antara tiga besaran. Fungsi dapat melibatkan lebih banyak kuantitas. Misalnya fungsi luas segitiga
A (a,b,c) = 1/4 /4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2
memberikan hubungan antara empat besaran: luas dan panjang ketiga sisi segitiga.
Di sisi lain, fungsi tidak bisa mewakili semua jenis hubungan. Misalnya, kurva pada Gambar 4.3 menunjukkan hubungan antara arus dan tegangan pada sel saraf. Tetapi tidak ada fungsi matematika tegangan (arus) yang sesuai dengan hubungan tersebut. Alasannya adalah fungsi matematika dapat mempunyai satu dan hanya satu keluaran untuk setiap masukan tertentu. Ada tiga nilai wajar untuk tegangan membran yang secara eksperimental konsisten dengan arus nol, bukan hanya satu.
Kehati-hatian perlu diberikan dalam menggunakan fungsi untuk merepresentasikan hubungan. Untuk hubungan arus-tegangan sel saraf, misalnya, kita dapat membuat fungsi arus(tegangan) untuk merepresentasikan hubungan tersebut. Hal ini karena untuk setiap nilai tegangan tertentu hanya terdapat satu arus yang bersesuaian. Tetapi tidak ada fungsi tegangan (arus), meskipun mengetahui arus memberi tahu Anda banyak hal tentang tegangan.
4.1 Grafik fungsi dalam R/mosaik
Dengan adanya suatu fungsi, mudah untuk menggambar hubungan terkait dalam bentuk grafik. Bagian ini menjelaskan cara melakukan hal tersebut untuk fungsi yang memiliki satu atau dua input. Tugas umum lainnya—mengingat suatu hubungan, merepresentasikannya menggunakan fungsi—biasanya tidak mudah dan memerlukan teknik pemodelan yang akan kita kembangkan di Blok 1.
Praktek kontemporer adalah menggambar grafik fungsi menggunakan komputer. R/mosaic menyediakan beberapa fungsi untuk melakukan hal ini, Anda hanya perlu mempelajari cara menggunakannya.
Ada dua argumen penting yang dimiliki oleh semua fungsi R/mosaik yang menggambar grafik:
https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/www/tilde-medium.png
Sebuah gelombang pasang. Pastikan Anda dapat menemukannya di keyboard Anda.
1.Fungsi yang ingin dibuat grafiknya. Ini harus ditulis sebagai ekspresi R tilde . Beberapa contoh ekspresi tilde ditunjukkan pada tabel di bawah. Ciri penting dari ekspresi tilde adalah tanda, yang disebut “tilde”, yang berfungsi sebagai tanda baca yang memisahkan sisi kiri ekspresi dari sisi kanan. 2.Batasannya . _ Domain dari banyak fungsi mencapai tak terhingga, namun layar komputer kita tidak begitu besar! Membuat grafik memerlukan pemilihan interval berhingga untuk setiap besaran masukan. Ekspresi tilde untuk fungsi dengan satu masukan hanya akan memiliki satu nama di sisi kanan . Spesifikasi interval domain harus menggunakan nama yang sama:
Ekspresi gelombang Spesifikasi interval domain
x^2 ~ x bounds(x = -3:3) y * exp(y) ~ y bounds(y = 0:10) log(y) / exp(y) ~ y bounds(y = -5:5) sin(z) / z ~ z bounds(y = -3pi:3pi)
4.1.1 Plot irisan
Untuk menggambar grafik suatu fungsi dengan satu masukan, gunakan slice_plot(). Ekspresi tilde adalah argumen pertama; spesifikasi interval domain adalah argumen kedua. Contohnya,
library(mosaicCalc)## Loading required package: mosaic## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
## method from
## fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2##
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add
## additional features. The original behavior of these functions should not be affected by this.##
## Attaching package: 'mosaic'## The following objects are masked from 'package:dplyr':
##
## count, do, tally## The following object is masked from 'package:Matrix':
##
## mean## The following object is masked from 'package:ggplot2':
##
## stat## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
## quantile, sd, t.test, var## The following objects are masked from 'package:base':
##
## max, mean, min, prod, range, sample, sum## Loading required package: mosaicCore##
## Attaching package: 'mosaicCore'## The following objects are masked from 'package:dplyr':
##
## count, tally## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
## (status 2 uses the sf package in place of rgdal)##
## Attaching package: 'mosaicCalc'## The following object is masked from 'package:stats':
##
## Dslice_plot(t * exp(t) ~ t, bounds(t=0:10))
Gambar 4.4: Grafik fungsi f(t) = tet.
Ingat situasi yang terlihat pada Gambar 4.3 yang menunjukkan ruang dua dimensi dari semua kemungkinan pasangan (tegangan, arus) untuk sel-sel saraf. Data eksperimen mengidentifikasi banyak kemungkinan pasangan—ditandai dengan titik-titik pada Gambar 4.3 —yang konsisten dengan hubungan sistem sel saraf.
Hal yang sama juga berlaku pada Gambar 4.4 , grafik suatu fungsi dengan masukan tunggal. Ruang dua dimensi yang ditunjukkan pada Gambar 4.4 berisi pasangan (input, output), hanya sebagian kecil yang konsisten dengan hubungan yang dijelaskan oleh fungsi tersebut. Titik-titik dalam pecahan kecil itu dapat ditandai dengan titik-titik individual, namun alih-alih titik-titik, kita menggambar kurva kontinu yang menghubungkan titik-titik tersebut. Setiap titik pada kurva konsisten dengan hubungan antara masukan dan keluaran yang diwakili oleh fungsi tersebut.
Bingkai grafis pada Gambar 4.4 merupakan area 2 dimensi untuk menggambar. Fungsi yang digambarkan dalam bingkai, f(t) = ye^y , mempunyai domain yang terdiri dari seluruh garis bilangan, yaitu ruang semua bilangan real. Namun plotnya hanya menunjukkan interval yang terbatas 0 <= t <= 10 dari domain itu.
4.1.2 Plot kontur
https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/www/CO2-phases.png
Gambar 4.5: Diagram fase untuk CO_2_. Sumber Ben Finney, Mark Jacobs, CC0, melalui Wikimedia Commons
Contoh CO_2 Padat
Terdapat minat yang besar terhadap cara menghilangkan CO_2 dari atmosfer dan menyimpannya secara permanen di bawah tanah. Sulit untuk menyimpan gas dalam jumlah besar yang diperlukan untuk mitigasi perubahan iklim. Namun penyimpanan CO_2_ adalah bagian dari sistem yang mencakup suhu, tekanan, dan afinitas kimia.
Gambar 4.5 menunjukkan hubungan antara bentuk fisik CO_2_ murni dan suhu serta tekanan gas. Salah satu cara untuk menyajikan hubungan dalam bentuk fungsional adalah dengan memperlakukan suhu dan tekanan sebagai dua masukan. Output dari fungsi ini adalah salah satu dari beberapa nilai diskrit : cair, gas, padat, fluida superkritis. Gambaran keseluruhannya adalah domain fungsi, ruang dua dimensi yang ditentukan oleh dua besaran tekanan dan suhu, dipecah menjadi daerah yang tidak tumpang tindih.
Fungsi yang akan kita kerjakan memiliki keluaran yang berkelanjutan. Untuk menggambar plot kontur keluaran, kita memplot keluaran dengan membaginya menjadi beberapa interval yang berurutan, katakanlah, 0 hingga 10, 10 hingga 20, 20 hingga 30, dan seterusnya. Hal ini secara efektif membagi domain ke dalam zona-zona, misalnya, satu zona yang mencakup seluruh titik dalam ruang masukan yang keluarannya antara 10 dan 20, zona lain yang keluarannya 20 hingga 30, dan seterusnya. Batas antar zona disebut dengan garis kontur .
Fungsi dengan dua input dapat ditampilkan dengan contour_plot(). Tentu saja, ekspresi tilde yang mendefinisikan fungsi akan memiliki dua nama di sisi kanan ~ . Demikian pula, spesifikasi domain akan memiliki dua argumen, satu untuk masing-masing nama dalam ekspresi tilde.
contour_plot(exp(-z)*sin(y) ~ y & z, bounds(y=-6:6, z=0:2))
Gambar 4.6: Plot kontur suatu fungsi dengan dua masukan g(y,z) = e^-2
sin(y)
Plot kontur akan menjadi format pilihan untuk menampilkan fungsi dengan dua masukan. Alasan utama memilih plot kontur adalah kemudahan dalam mengidentifikasi lokasi titik-titik dalam ruang masukan dan kemampuan membaca nilai keluaran tanpa banyak kesulitan.
4.1.3 Plot permukaan
Ada cara lain untuk memikirkan tentang grafik fungsi dengan dua masukan. Dalam situasi seperti ini, ada tiga kuantitas yang terlibat dalam hubungan tersebut. Dua di antaranya merupakan masukan, dan yang ketiga adalah keluaran. Ruang tiga dimensi terdiri dari semua kemungkinan tripel koordinat; hubungan antara masukan dan keluaran ditandai dengan mengesampingkan hampir semua potensi tripel dan menandai titik-titik dalam ruang yang sesuai dengan fungsinya.
ruang semua kemungkinan (y, z, keluaran) adalah tiga dimensi, namun sangat sedikit kemungkinan yang konsisten dengan fungsi yang akan digambarkan. Anda dapat membayangkan kita meletakkan titik-titik pada semua titik yang konsisten dengan fungsinya, atau kita menggambar banyak sekali kurva kontinu melalui titik-titik tersebut, namun kumpulan titik-titik tersebut membentuk suatu permukaan ; awan titik-titik yang terus menerus melayang di atas ruang masukan (y, z).
Gambar 4.7 menampilkan permukaan ini. Karena gambar digambar pada layar dua dimensi, kita harus menggunakan teknik perspektif dan bayangan pelukis. Dalam versi plot yang interaktif, Anda dapat memindahkan sudut pandang gambar sehingga memberi banyak orang pemahaman yang lebih kuat tentang permukaannya.
surface_plot(exp(-z)*sin(y) ~ y & z, bounds(y=-6:6, z=0:2))Gambar 4.7: Menampilkan g(y,z) = e^-2 sin(y)sebagai plot permukaan yang dianotasi dengan garis kontur.
Perhatikan bahwa plot permukaan dibuat dengan R/mosaic surface_plot(), yang mengambil argumen dengan cara yang sama seperti contour_plot().
4.2 Menafsirkan plot kontur
Mungkin diperlukan beberapa latihan untuk belajar membaca plot kontur dengan lancar, namun ini adalah keterampilan yang bermanfaat untuk dimiliki. Perhatikan bahwa bingkai grafis adalah ruang Cartesian dari dua masukan. Outputnya disajikan sebagai garis kontur . Setiap garis kontur memiliki label yang memberikan nilai numerik dari keluaran fungsi. Masing-masing pasangan nilai masukan pada garis kontur tertentu berhubungan dengan keluaran pada tingkat yang memberi label pada garis kontur tersebut. Untuk mencari keluaran pasangan masukan yang tidak berada pada garis kontur, Anda perlu melakukan interpolasi di antara kontur di kedua sisi titik tersebut.
Berapa nilai fungsi yang diplot di sini pada input (input1 = 0,input2 = 0)?
Pasangan masukan (0, 0)—yang ditandai dengan titik merah kecil—berada di antara kontur berlabel “20” dan “22.” Ini berarti keluaran yang sesuai dengan masukan (0, 0) berada di antara 20 dan 22. Titik tersebut lebih dekat dengan kontur berlabel “20”, sehingga masuk akal untuk melihat nilai keluaran sebesar 20,5. Tentu saja ini hanya perkiraan, tapi itulah sifat membaca angka dari grafik.
Seringkali, nilai numerik tertentu pada suatu titik bukanlah kepentingan utama. Sebaliknya, kita mungkin tertarik pada seberapa curam fungsi tersebut pada suatu titik, yang ditunjukkan oleh jarak antar kontur. Jika jarak konturnya berdekatan, lereng bukitnya curam. Bila konturnya berjauhan, lereng bukitnya tidak terjal, bahkan mungkin datar.
Tugas umum lainnya dalam menafsirkan plot kontur adalah menemukan pasangan masukan yang berada pada titik tertinggi atau terendah lokal: puncak bukit atau dasar cekungan. Titik-titik tersebut masing-masing disebut argmax lokal atau argmin lokal . Keluaran fungsi pada argmax lokal disebut maksimum lokal ; Demikian pula untuk argumen lokal, yang keluarannya disebut minimum lokal .
Kata “argmax” adalah kependekan dari “argumen maksimum”. Kita cenderung menggunakan kata “input” dibandingkan dengan “argumen”, tetapi kata “input ke suatu fungsi” memiliki arti yang sama dengan “argumen suatu fungsi”.
Untuk grafik kontur ini
https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/04-graphs-and-graphics_files/figure-html/dkskes-1.png
i.Temukan koordinat masukan yang fungsinya paling curam. ii.Temukan koordinat masukan untuk titik tinggi dan rendah fungsi tersebut.
Suatu fungsi paling curam jika garis konturnya diberi jarak berdekatan, artinya keluaran fungsi banyak berubah dengan perubahan masukan yang kecil. Hal ini berlaku di dekat masukan (x = 0,y = 1). Namun perhatikan bahwa kecuraman melibatkan arah . Di dekat (x = 0,y = 1), mengubah x nilai tidak menyebabkan perubahan besar pada keluaran, tetapi perubahan kecil pada nilai y menyebabkan perubahan besar dalam output. Dengan kata lain, fungsinya curam pada arah y tetapi tidak pada arah x.
Nilai keluaran tertinggi yang ditandai secara eksplisit pada grafik adalah 8. Kita dapat membayangkan dari bentuk kontur yang mengelilingi kontur 8 bahwa fungsi tersebut mencapai puncaknya di suatu tempat di tengah-tengah daerah yang dibatasi oleh kontur 8, dekat koordinat masukan (x = 0,y = -1.5).
Demikian pula, nilai keluaran terendah yang ditandai adalah -10. Di tengah area yang dikelilingi kontur -10 terdapat titik terendah lokal. Bahwa ada dua wilayah seperti itu, satu berpusat di dekat koordinat masukan (x = 1.5,y = 3.1), yang lainnya di (x = 1.5,y = 3.1).
Mengapa menyebut grafik fungsi satu masukan sebagai plot irisan , bukan sekadar grafik?
Mengatakan “grafik” untuk tampilan f(x) melawan x adalah benar dan masuk akal. Namun dalam Kalkulus MOSAIK kita mempunyai poin lain yang ingin disampaikan.
Hampir selalu, ketika memodelkan situasi atau fenomena dunia nyata secara matematis, kita tidak mencoba menangkap setiap nuansa dari setiap hubungan yang mungkin ada di dunia nyata. Kami meninggalkan beberapa hal. Penyederhanaan seperti itu membuat masalah pemodelan lebih mudah untuk ditangani dan mendorong kita untuk mengidentifikasi ciri-ciri terpenting dari hubungan yang paling penting.
Gambar 4.8: Hubungan hipotetis antara tiga besaran.
Dalam semangat ini, selalu berguna untuk berasumsi bahwa model kita mengabaikan sesuatu dan bahwa model yang lebih lengkap melibatkan fungsi dengan input lebih banyak daripada kandidat saat ini. Model kandidat yang ada saat ini harus dianggap sebagai bagian dari model yang lebih lengkap. Potongan kami menghilangkan satu atau lebih kuantitas masukan dalam model yang lebih lengkap.
Saat Anda sudah terbiasa membaca plot kontur, Anda mungkin lebih suka membaca plot ini dalam bentuk puncak bukit (diarsir kuning) berdampingan dengan lubang atau mangkuk (diarsir ungu), dengan sisi hijau yang hampir rata di tepi kiri dan kanan. bingkai.
Untuk mengilustrasikannya, misalkan sistem sebenarnya melibatkan hubungan antara tiga besaran, yang kita nyatakan dalam bentuk fungsi dua masukan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.8 . (Kuantitas ketiga dalam hubungan tersebut adalah output dari fungsi tersebut.)
Bentuk irisan yang paling umum melibatkan pembuatan fungsi sederhana yang memiliki satu masukan tetapi tidak masukan lainnya. Misalnya, fungsi sederhana kita mungkin mengabaikan masukan 22. Ada berbagai cara untuk menciutkan fungsi dua masukan menjadi fungsi satu masukan. Cara yang sangat berguna dalam kalkulus adalah dengan mengambil fungsi dua masukan dan menetapkan salah satu masukan ke nilai konstan .
Misalnya, kita menetapkan input 22 ke nilai konstanta 1,5. Artinya kita dapat mempertimbangkan nilai apa pun dari masukan 1, tetapi masukan 2 telah digantikan oleh 1,5. Pada Gambar 4.9 , kita telah menandai dengan warna merah titik-titik pada plot kontur yang memberikan keluaran fungsi yang disederhanakan.
Gambar 4.9: Kiri: Potongan (merah) melalui domain plot kontur. Kanan: Nilai fungsi sepanjang irisan merah disajikan sebagai grafik matematika, yang dihasilkan oleh slice_plot().
Setiap titik di sepanjang garis merah berhubungan dengan nilai input #1 tertentu. Dari kontur, kita dapat membaca keluaran yang sesuai dengan masing-masing nilai masukan #1. Hubungan keluaran versus masukan #1 ini dapat digambarkan sebagai grafik matematis (di sebelah kanan plot kontur). Pelajari grafik tersebut hingga Anda dapat melihat bagaimana naik dan turunnya bagian grafik sesuai dengan kontur yang dilintasi garis merah.
Irisan dapat diambil ke segala arah atau bahkan sepanjang jalur melengkung! Garis biru pada Gambar 4.10 menunjukkan irisan yang dibuat dengan membiarkan masukan 2 bervariasi dan menahan masukan 1 pada nilai konstan 0.
Gambar 4.10: Jalur (biru) untuk memotong irisan. Grafik dibuat dengan contour_plot(). Kanan: Iris plot di sepanjang jalur biru. Grafik dibuat dengan slice_plot().
4.3 Bor
Gambar 4.11: . Latihan 1 Mengingat fungsi yang ditunjukkan pada Gambar 4.11 , pada input manakah output fungsi tersebut mendekati nol?
(x = 0,y = 1) (x = 1,y = 5) (x = 0,y = 6) (x = -2,y = 6)
Latihan 2 Mengingat fungsi yang ditunjukkan pada Gambar 4.11 , pada input manakah output fungsi tersebut mendekati 1?
(x = 0,y = 1) (x = 1,y = 5) (x = 0,y = 6) (x = -2,y = 6)
Latihan 3 Manakah dari berikut ini yang merupakan persilangan nol positif g(t) Di mana
g(t) = sin (2pi/5 t - 3) ?
t = 15/2pi t = 2pi/15 t = 3 Bukan dari salah satu di atas
Latihan 4 Manakah dari berikut ini yang merupakan persilangan nol positif g(t) ?
sin (2pi/5 (t - 3))
t = -5 t = -3 t = 0 t = 3 t = 5
Gambar 4.12: .
Latihan 5 Input manakah yang merupakan titik persilangan nol negatif dari fungsi yang digambarkan pada Gambar 4.12 ?
t = -2.5 t = -1.25 t = 0 t = 1.25 t = 2.5
slice_plot(sin(2*pi*t/5) ~ t, bounds(t=c(-5.2,5.2))) %>%
gf_refine(scale_x_continuous(breaks = -5:5))
Gambar 4.13: .
Latihan 6 Masukan manakah yang merupakan titik perpotongan positif dari fungsi yang digambarkan pada Gambar 4.13 ?
t = -2.5 t = -1.25 t = 0 t = 1.25 t = 2.5
Latihan 7 Dengan mempertimbangkan fungsi yang digambarkan dalam ? fig-rev2-05 , input manakah yang merupakan output fungsi yang hampir sama? -1?
(x = 0,y = 1) (x = 1,y = 5) (x = 0,y = 6) (x = -2,y = 6)
Gambar 4.14: .
Latihan 8 Perintah manakah yang membuat plot ini pada Gambar 4.14 ?
a.slice_plot(x^2 ~ x, x=c(-3,3)) b.plot(x^2 ~ x, domain=c(-3,3)) c.slice_plot(x^2, bounds(x=c(-3,3))) d.Tak satu pun dari mereka sesuai dengan plotnya. e.slice_plot(x^2 ~ x, bounds(x=c(-3,3)))
Gambar 4.15: .
Latihan 9 Perintah manakah yang membuat plot pada Gambar 4.15 ?
a.Tak satu pun dari mereka sesuai dengan plotnya. b.slice_plot(pnorm(x) ~ x, bounds(x=(-4, 4)) c.slice_plot(pnorm(x) ~ x, bounds(x=c(-4, 4))) d.slice_plot(pnorm(x) ~ y, bounds(x=c(-4, 4)))
Latihan 10 Hanya satu dari perintah berikut yang berhasil menghasilkan grafik suatu fungsi. Yang mana?
a.slice_plot(dnorm(y)) ~ x, bounds(y=c(-3,3))) b.slice_plot(pnorm(x) ~ x, bounds(y=c(-4, 4))) c.slice_plot(exp(y) ~ y, bounds(y=c(-4, 4))) d.slice_plot(log(x) ~ x, bounds(x=c(0; 10)))
4.4 Latihan
Latihan 4.01
1.Isi tabel dengan nilai fungsi yang ditunjukkan pada grafik.
x f(x) -3
-2
-1
0
1
2
3
2.Isilah tabel tersebut dengan x nilai yang sesuai dengan nilai fungsi.
x f(x) 0
5
12.5
20
Latihan 4.02
Gambar interaktif menampilkan suatu fungsi, namun kami belum menunjukkan rumus apa pun untuk fungsi tersebut, hanya grafiknya.
Saat Anda menempatkan kursor pada suatu titik di permukaan, sebuah kotak akan menampilkan (x,y,z) koordinat ditampilkan.
1.Temukan tiga titik di permukaan di mana f(x,y) = 15 . (Tidak harus tepat 15, cukup mendekati.)
2.Temukan titik di mana f(x = 2,y) = 12.
3.Jelaskan mengapa Anda dapat menemukan beberapa titik masukan yang menghasilkan keluaran 15, tetapi hanya satu titik yang menghasilkan keluaran 15 f(x = 2,y) = 12.
Latihan 4.03
Segitiga terdiri dari tiga ruas garis yang dihubungkan: sisi-sisinya. Ia mempunyai sifat-sifat lain yang berhubungan dengan sisi dan satu sama lain, misalnya sudut antar sisi, keliling, atau luas yang dikelilingi segitiga.
Berikut uraian hubungan antar keliling p dan panjang sisinya,a,b,c, ditulis dalam bentuk fungsi:
p(a,b,c) = a + b + c.
Ekspresi matematis dari hubungan antar luas A diapit oleh segitiga dan panjang sisinya berasal dari setidaknya 2000 tahun yang lalu Heron dari Aleksandria (sekitar 10–70). Sebagai suatu fungsi, dapat ditulis
A(a,b,c) = 1/4 /4a2.b2 - (a2 + b2 - c2)2.
Kita tidak dapat dengan mudah memplot fungsi ini karena terdapat tiga masukan dan satu keluaran, dan tidak mungkin menggambar dalam ruang 4 dimensi. Tapi kita bisa menggambar irisan melalui ruang 4 dimensi.
Mari kita lakukan dengan menetapkan, katakanlah, a = 3 dan melihat luas sebagai fungsi dari panjang sisinya b Dan c.
Bagian A Tidak seluruh bingkai grafis diarsir. Ini adalah nilai-nilai b Dan c yang rumusnya melibatkan besaran negatif pada akar kuadrat. Kalau dipikir-pikir tentang sifat segitiga, kenapa akar kuadratnya negatif?
a.Sisi a Dan b terbalik. b.c tidak pernah bisa lebih dari b. c.c tidak pernah bisa lebih dari a + b. d.c tidak pernah bisa lebih dari a + b atau kurang dari b - a. e.c tidak pernah bisa lebih dari a + b tidak kurang dari b - a, tidak kurang dari a - b.
Potongan lainnya mungkin akan mengeras a = b, dalam hal ini kita akan menampilkan luas segitiga sama kaki.
Bagian B Gambarlah plot kontur luas segitiga kapan a = b. Merujuk pada grafik anda, berapakah luas segitiga sama kaki tersebut a = b = 4?
5 6 7 8 9
Latihan 4.04
Bagian A Manakah dari ekspresi R berikut yang membuat grafik fungsi sin(z) dengan domain grafis dari -4 <= z <= 5 ?
a.slice_plot(sin(x), bounds(x=-4:5)) b.slice_plot(sin(z) ~ x, bounds(x=-4:5)) c.slice_plot(sin(z), bounds(z=-4:5)) d.slice_plot(sin(z) ~ z, bounds(z=-4:5))
Petunjuk #1: Anda dapat mencoba menyalin dan menjalankan setiap ekspresi di konsol R untuk memeriksa jawaban Anda.
Latihan 4.05
Plot kontur di bawah ini ditandai dengan beberapa garis berwarna yang mewakili irisan permukaan. Tugas Anda adalah mencocokkannya dengan plot irisan yang disajikan di bawah.
Di plot irisan, input t mencerminkan posisi pada irisan. Pada t = 0, posisinya berada di titik paling kiri irisan, sedangkan di t = 0 posisinya berada di ujung kanan irisan.
Bagian A Garis warna manakah yang sesuai dengan irisan 1?
hitam/abu-abu solid/biru putus-putus panjang/coklat putus-putus/kuning putus-putus pendek/putus-putus
Bagian B Garis warna manakah yang sesuai dengan irisan 2?
hitam/abu-abu solid/biru putus-putus panjang/coklat putus-putus/kuning putus-putus pendek/putus-putus
Bagian C Garis warna manakah yang sesuai dengan irisan 3?
hitam/abu-abu solid/biru putus-putus panjang/coklat putus-putus/kuning putus-putus pendek/putus-putus
Bagian D Garis warna manakah yang sesuai dengan irisan 4?
hitam/abu-abu solid/biru putus-putus panjang/coklat putus-putus/kuning putus-putus pendek/putus-putus
Latihan 4.06
Pertimbangkan plot kontur interaktif ini:
1.Temukan nilai untuk masukan (x, y) yang keluaran fungsinya sekitar -0,35.
2.Temukan nilai untuk masukan (x, y) yang keluaran fungsinya sekitar 0,9.
3.Satu kontur melewati input A=(x=1.53, y=1.59). Kontur tetangga melewati B=(x=1.53, y=0.90). Berapakah keluaran fungsi di tengah-tengah kedua titik ini, pada masukan C=(x=1.53, y=1.25)? Bagaimana hubungan keluaran di C dengan keluaran di A dan B?
4.Pilih salah satu kontur dan lacak hasilnya saat Anda menggerakkan kursor di sepanjang kontur tersebut. Pola apa yang Anda lihat pada keluaran?
Latihan 4.07
Layanan Cuaca Nasional AS menyediakan grafik ini untuk menghitung “indeks panas”. Tautan sumber Outputnya adalah indeks panas, ditampilkan secara kuantitatif (label pada kontur) dan dengan warna.
https://dtkaplan.github.io/MC2/Preliminaries/Exercises/www/weather-service-heatindex.png
1.Berapa banyak variabel masukan yang ada?
2.Berapakah keluaran fungsi ketika suhu udara 90 F dan kelembapan 50%?
3.Benar atau salah: Dengan menjaga kelembapan tetap konstan, seiring dengan naiknya suhu udara, indeks panas juga meningkat.
4.Benar atau salah: Dengan menjaga suhu udara tetap konstan, seiring dengan meningkatnya kelembapan, indeks panas juga meningkat.
5.Benar atau salah: Indeks panas meningkat seiring suhu dengan laju yang berbeda ketika kelembapan rendah dibandingkan saat kelembapan tinggi.
6.Benar atau salah: Indeks panas meningkat seiring suhu paling cepat ketika kelembapan rendah.
7.Pertimbangkan pernyataan ini: “Ketika suhu udara 102 F dan kelembaban relatif 77%, suhu bola basah adalah sekitar 95 F.” Apakah “indeks panas” sama dengan “suhu bola basah?”