Pendugaan Parameter, Diagnostik Model, dan Peramalan
2023-09-30
Packages
library(ggplot2)
library(tsibble)##
## Attaching package: 'tsibble'## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, unionlibrary(tseries)## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
## method from
## as.zoo.data.frame zoolibrary(MASS)
library(forecast)
library(TSA)## Registered S3 methods overwritten by 'TSA':
## method from
## fitted.Arima forecast
## plot.Arima forecast##
## Attaching package: 'TSA'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## acf, arima## The following object is masked from 'package:utils':
##
## tarlibrary(TTR)
library(aTSA)##
## Attaching package: 'aTSA'## The following object is masked from 'package:forecast':
##
## forecast## The following objects are masked from 'package:tseries':
##
## adf.test, kpss.test, pp.test## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## identifylibrary(graphics)Data Bangkitan
Pembangkitan Data
Data yang akan dibangkitkan adalah data dengan model MA(2) sebagai berikut.
set.seed(99)
ma2 <- arima.sim(list(order = c(0,0,2), ma = c(0.55,0.65)), n = 175)Data kemudian dibagi menjadi data latih dan data uji. Pembagian kali ini dilakukan dengan proporsi / perbandingan, yaitu 80:20.
ma2 <- ma2[-c(1:25)]
ma2.train <- ma2[1:120]
ma2.test <- ma2[121:150]Eksplorasi Data
Sebelum masuk dalam tahap pemodelan, dilakukan eksplorasi data dengan plot deret waktu untuk melihat pola data.
#--PLOT TIME SERIES--#
plot(ma2.train,
col = "navyblue",
lwd = 1,
type = "o",
xlab = "Time",
ylab = "Data")
Berdasarkan plot data deret waktu di atas, terlihat data cenderung stasioner dalam rataan dan ragam. Data stasioner dalam rataan karena menyebar/bergerak di sekitar nilai tengahnya (0) dan dikatakan stasioner dalam ragam karena memiliki lebar pita yang cenderung sama. Selain dengan plot data deret waktu, akan dilakukan pengecekan stasioneritas data dengan plot ACF dan uji ADF.
#--CEK KESTASIONERAN---#
acf(ma2.train, main="ACF", lag.max=20)
Berdasarkan plot ACF di atas, dapat dilihat bahwa plot cuts off pada lag ke-2. Hal ini sesuai dengan proses pembangkitan model MA(2).
adf.test(ma2.train) ## Augmented Dickey-Fuller Test
## alternative: stationary
##
## Type 1: no drift no trend
## lag ADF p.value
## [1,] 0 -4.91 0.01
## [2,] 1 -4.89 0.01
## [3,] 2 -5.65 0.01
## [4,] 3 -3.57 0.01
## [5,] 4 -3.43 0.01
## Type 2: with drift no trend
## lag ADF p.value
## [1,] 0 -4.99 0.01
## [2,] 1 -4.95 0.01
## [3,] 2 -5.78 0.01
## [4,] 3 -3.69 0.01
## [5,] 4 -3.59 0.01
## Type 3: with drift and trend
## lag ADF p.value
## [1,] 0 -5.10 0.0100
## [2,] 1 -5.04 0.0100
## [3,] 2 -6.02 0.0100
## [4,] 3 -3.99 0.0123
## [5,] 4 -3.96 0.0138
## ----
## Note: in fact, p.value = 0.01 means p.value <= 0.01#stasioner\(H_0\) : Data tidak stasioner dalam rataan
\(H_1\) : Data stasioner dalam rataan
Berdasarkan uji ADF tersebut, didapat p-value sebesar 0.01358 yang lebih kecil dari taraf nyata 5% sehingga tolak \(H_0\) dan menandakan bahwa data stasioner dalam rataan. Hal ini sesuai dengan hasil eksplorasi menggunakan plot time series dan plot ACF.
Spesifikasi Model
#---SPESIFIKASI MODEL---#
par(mfrow = c(1,2))
acf(ma2.train, main="ACF", lag.max=20) #ARIMA(0,0,2)
pacf(ma2.train, main="PACF", lag.max=20) #ARIMA(1,0,0)
par(mfrow = c(1,1))Berdasarkan Plot ACF, terlihat cuts off pada lag ke-2 sehingga dapat kita asumsikan model yang terbentuk adalah ARIMA(0,0,2). Selanjutnya, berdasarkan plot PACF, terlihat cuts off pada lag pertama sehingga model yang terbentuk adalah ARIMA(1,0,0). Selain dengan plot ACF dan PACF, penentuan spesifikasi model dilakukan dengan extended ACF (EACF) berikut ini.
eacf(ma2.train) ## AR/MA
## 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
## 0 x x o o o o o o o o o o o o
## 1 o x x o o o o o o o o o o o
## 2 x x x o o o o o o o o o o o
## 3 x x x o o o o o o o o o o o
## 4 o o o x o o o o o o o o o o
## 5 x o o x o o o o o o o o o o
## 6 x o o o o o o o x o o o o o
## 7 o o o o o x o o o o o o o o#ARIMA(0,0,2) #ARIMA(1,0,3) #ARIMA(2,0,3) #ARIMA(3,0,3)
#Terdapat 5 model tentatifMenggunakan plot EACF, dapat diambil beberapa model dengan melihat ujung segitiga yang terbentuk, antara lain ARIMA(0,0,2), ARIMA(1,0,3), ARIMA(2,0,3), dan ARIMA(3,0,3).
Pendugaan Parameter
Selanjutnya akan dilakukan pendugaan parameter kelima model ARIMA
yang terbentuk sebelumnya. Pendugaan dilakukan dengan fungsi
Arima() yang dilanjutkan dengan melihat nilai AIC pada
ringkasan data dan melihat signifikansi parameter.
#---PENDUGAAN PARAMETER MODEL---#
model1.ma2=Arima(ma2.train, order=c(0,0,2),method="ML")
summary(model1.ma2) #AIC=326.87## Series: ma2.train
## ARIMA(0,0,2) with non-zero mean
##
## Coefficients:
## ma1 ma2 mean
## 0.6953 0.5349 -0.2082
## s.e. 0.0829 0.0673 0.1841
##
## sigma^2 = 0.8497: log likelihood = -159.44
## AIC=326.87 AICc=327.22 BIC=338.02
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
## Training set -0.004254881 0.910219 0.73195 -767.1756 938.3389 0.852277
## ACF1
## Training set 0.05965759lmtest::coeftest(model1.ma2) #seluruh parameter signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ma1 0.695312 0.082903 8.3871 < 2.2e-16 ***
## ma2 0.534929 0.067337 7.9441 1.957e-15 ***
## intercept -0.208236 0.184115 -1.1310 0.258
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1model2.ma2=Arima(ma2.train, order=c(1,0,0),method="ML")
summary(model2.ma2) #AIC=340.47## Series: ma2.train
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean
##
## Coefficients:
## ar1 mean
## 0.6428 -0.2185
## s.e. 0.0690 0.2450
##
## sigma^2 = 0.9625: log likelihood = -167.24
## AIC=340.47 AICc=340.68 BIC=348.84
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
## Training set -0.002975587 0.9728552 0.7723112 -1335.017 1507.476 0.8992733
## ACF1
## Training set 0.06622426lmtest::coeftest(model2.ma2) #seluruh parameter signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1 0.642823 0.069023 9.3131 <2e-16 ***
## intercept -0.218485 0.245000 -0.8918 0.3725
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1model3.ma2=Arima(ma2.train, order=c(1,0,3),method="ML")
summary(model3.ma2) #AIC=329.22## Series: ma2.train
## ARIMA(1,0,3) with non-zero mean
##
## Coefficients:
## ar1 ma1 ma2 ma3 mean
## 0.0610 0.684 0.6137 0.0934 -0.2082
## s.e. 0.4257 0.416 0.3263 0.2714 0.2083
##
## sigma^2 = 0.8518: log likelihood = -158.61
## AIC=329.22 AICc=329.96 BIC=345.94
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
## Training set -0.004465851 0.9034798 0.725319 -548.3662 713.5294 0.844556
## ACF1
## Training set 0.005156424lmtest::coeftest(model3.ma2) #tidak ada yang signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1 0.060970 0.425686 0.1432 0.88611
## ma1 0.684021 0.415962 1.6444 0.10009
## ma2 0.613727 0.326319 1.8808 0.06001 .
## ma3 0.093411 0.271412 0.3442 0.73072
## intercept -0.208191 0.208338 -0.9993 0.31765
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1model4.ma2=Arima(ma2.train, order=c(2,0,3),method="ML")
summary(model4.ma2) #AIC=330.6## Series: ma2.train
## ARIMA(2,0,3) with non-zero mean
##
## Coefficients:
## ar1 ar2 ma1 ma2 ma3 mean
## 0.2670 -0.1935 0.4749 0.6454 0.0524 -0.2075
## s.e. 0.4227 0.1744 0.4136 0.3050 0.2587 0.1916
##
## sigma^2 = 0.8538: log likelihood = -158.3
## AIC=330.6 AICc=331.6 BIC=350.11
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
## Training set -0.004511346 0.9006288 0.7299239 -174.2871 339.1512 0.8499178
## ACF1
## Training set 0.006394934lmtest::coeftest(model4.ma2) #hanya ma2 yang signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1 0.267023 0.422731 0.6317 0.52761
## ar2 -0.193470 0.174380 -1.1095 0.26723
## ma1 0.474856 0.413641 1.1480 0.25097
## ma2 0.645418 0.304955 2.1164 0.03431 *
## ma3 0.052372 0.258742 0.2024 0.83960
## intercept -0.207543 0.191625 -1.0831 0.27878
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1model5.ma2=Arima(ma2.train, order=c(3,0,3),method="ML")
summary(model5.ma2) #AIC=329.87## Series: ma2.train
## ARIMA(3,0,3) with non-zero mean
##
## Coefficients:
## ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 mean
## -0.3810 0.2176 -0.2170 1.1432 0.7306 0.3543 -0.2053
## s.e. 0.3026 0.1535 0.1541 0.2896 0.3056 0.2426 0.1890
##
## sigma^2 = 0.8418: log likelihood = -156.93
## AIC=329.87 AICc=331.16 BIC=352.17
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
## Training set -0.004402562 0.8903241 0.70915 -674.9739 835.0008 0.8257288
## ACF1
## Training set 0.01679809lmtest::coeftest(model5.ma2) #hanya ma1 dan ma2 yang signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1 -0.38103 0.30264 -1.2590 0.2080
## ar2 0.21757 0.15355 1.4170 0.1565
## ar3 -0.21701 0.15408 -1.4084 0.1590
## ma1 1.14318 0.28962 3.9472 7.909e-05 ***
## ma2 0.73062 0.30555 2.3911 0.0168 *
## ma3 0.35428 0.24258 1.4605 0.1442
## intercept -0.20530 0.18897 -1.0864 0.2773
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#model yang dipilih adalah model 1, yaitu ARIMA(0,0,2)Berdasarkan pendugaan parameter di atas, nilai AIC terkecil dimiliki oleh model ARIMA(0,0,2) dan parameter model ARIMA(0,0,2) juga seluruhnya signifikan sehingga model yang dipilih adalah model ARIMA(0,0,2).
Analisis Sisaan
Model terbaik hasil identifikasi kemudian dicek asumsi sisaannya. Sisaan model ARIMA harus memenuhi asumsi normalitas, kebebasan, dan kehomogenan ragam. Diagnostik model dilakukan secara eksplorasi dan uji formal.
Eksplorasi Sisaan
#Eksplorasi
sisaan.ma2 <- model1.ma2$residuals
par(mfrow=c(2,2))
qqnorm(sisaan.ma2)
qqline(sisaan.ma2, col = "blue", lwd = 2)
plot(c(1:length(sisaan.ma2)),sisaan.ma2)
acf(sisaan.ma2)
pacf(sisaan.ma2)
par(mfrow = c(1,1))Berdasarkan plot kuantil-kuantil normal, secara eksplorasi ditunjukkan sisaan menyebar normal mengikuti garis \(45^{\circ}\). Kemudian dapat dilihat juga lebar pita sisaan yang cenderung sama menandakan bahwa sisaan memiliki ragam yang homogen. Akan tetapi, plot ACF dan PACF sisaan ARIMA(0,0,2) signifikan pada lag ke-6 sehingga sisaan tidak saling bebas. Kondisi ini akan diuji lebih lanjut dengan uji formal.
Uji Formal
#1) Sisaan Menyebar Normal
ks.test(sisaan.ma2,"pnorm") ##
## Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: sisaan.ma2
## D = 0.043157, p-value = 0.9788
## alternative hypothesis: two-sided#tak tolak H0 > sisaan menyebar normalSelain dengan eksplorasi, asumsi tersebut dapat diuji menggunakan uji formal. Pada tahapan ini uji formal yang digunakan untuk normalitas adalah uji Kolmogorov-Smirnov (KS). Hipotesis pada uji KS adalah sebagai berikut.
\(H_0\) : Sisaan menyebar normal
\(H_1\) : Sisaan tidak menyebar normal
Berdasarkan uji KS tersebut, didapat p-value sebesar 0.9788 yang lebih besar dari taraf nyata 5% sehingga tak tolak \(H_0\) dan menandakan bahwa sisaan menyebar normal. Hal ini sesuai dengan hasil eksplorasi menggunakan plot kuantil-kuantil normal.
#2) Sisaan saling bebas/tidak ada autokorelasi
Box.test(sisaan.ma2, type = "Ljung") ##
## Box-Ljung test
##
## data: sisaan.ma2
## X-squared = 0.43785, df = 1, p-value = 0.5082#tak tolak H0 > sisaan saling bebasSelanjutnya akan dilakukan uji formal untuk kebebasan sisaan menggunakan uji Ljung-Box. Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut.
\(H_0\) : Sisaan saling bebas
\(H_1\) : Sisaan tidak tidak saling bebas
Berdasarkan uji Ljung-Box tersebut, didapat p-value sebesar 0.5082 yang lebih besar dari taraf nyata 5% sehingga tak tolak \(H_0\) dan menandakan bahwa sisaan saling bebas. Hal ini berbeda dengan eksplorasi.
#3) Sisaan homogen
Box.test((sisaan.ma2)^2, type = "Ljung") ##
## Box-Ljung test
##
## data: (sisaan.ma2)^2
## X-squared = 2.4711, df = 1, p-value = 0.116#tak tolak H0 > sisaan homogenHipotesis yang digunakan untuk uji kehomogenan ragam adalah sebagai berikut.
\(H_0\) : Ragam sisaan homogen
\(H_1\) : Ragam sisaan tidak homogen
Berdasarkan uji Ljung-Box terhadap sisaan kuadrat tersebut, didapat p-value sebesar 0.116 yang lebih besar dari taraf nyata 5% sehingga tak tolak \(H_0\) dan menandakan bahwa ragam sisaan homogen.
#4) Nilai tengah sisaan sama dengan nol
t.test(sisaan.ma2, mu = 0, conf.level = 0.95) ##
## One Sample t-test
##
## data: sisaan.ma2
## t = -0.050994, df = 119, p-value = 0.9594
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -0.1694719 0.1609621
## sample estimates:
## mean of x
## -0.004254881#tak tolak h0 > nilai tengah sisaan sama dengan 0Terakhir, dengan uji-t, akan dicek apakah nilai tengah sisaan sama dengan nol. Hipotesis yang diujikan sebagai berikut.
\(H_0\) : nilai tengah sisaan sama dengan 0
\(H_1\) : nilai tengah sisaan tidak sama dengan 0
Berdasarkan uji-ttersebut, didapat p-value sebesar 0.9594 yang lebih besar dari taraf nyata 5% sehingga tak tolak \(H_0\) dan menandakan bahwa nilai tengah sisaan sama dengan nol. Hal ini berbeda dengan eksplorasi.
Overfitting
Tahapan selanjutnya adalah overfitting dilakukan dengan menaikkan orde AR(p) dan MA(q) dari model ARIMA(0,0,2) untuk melihat apakah terdapat model lain yang lebih baik dari model saat ini. Kandidat model overfitting adalah ARIMA(1,0,2) dan ARIMA(0,0,3).
#---OVERFITTING---#
model1a.ma2=Arima(ma2.train, order=c(1,0,2),method="ML")
summary(model1a.ma2) #327.31## Series: ma2.train
## ARIMA(1,0,2) with non-zero mean
##
## Coefficients:
## ar1 ma1 ma2 mean
## 0.1990 0.5451 0.5029 -0.2083
## s.e. 0.1412 0.1239 0.0836 0.2093
##
## sigma^2 = 0.8453: log likelihood = -158.65
## AIC=327.31 AICc=327.84 BIC=341.25
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
## Training set -0.004448537 0.9039253 0.7240135 -642.4808 808.051 0.8430358
## ACF1
## Training set 0.007803042lmtest::coeftest(model1a.ma2) #ar1 tidak signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1 0.199039 0.141222 1.4094 0.1587
## ma1 0.545109 0.123914 4.3991 1.087e-05 ***
## ma2 0.502936 0.083609 6.0153 1.795e-09 ***
## intercept -0.208276 0.209264 -0.9953 0.3196
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1model1b.ma2=Arima(ma2.train, order=c(0,0,3),method="ML")
summary(model1b.ma2) #327.24## Series: ma2.train
## ARIMA(0,0,3) with non-zero mean
##
## Coefficients:
## ma1 ma2 ma3 mean
## 0.7415 0.656 0.1286 -0.2084
## s.e. 0.0878 0.118 0.0997 0.2067
##
## sigma^2 = 0.8446: log likelihood = -158.62
## AIC=327.24 AICc=327.77 BIC=341.18
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
## Training set -0.004403296 0.9035497 0.7261616 -518.1374 683.3745 0.8455371
## ACF1
## Training set 0.007516805lmtest::coeftest(model1b.ma2) #ma3 tidak signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ma1 0.741488 0.087816 8.4436 < 2.2e-16 ***
## ma2 0.656016 0.118034 5.5579 2.731e-08 ***
## ma3 0.128647 0.099655 1.2909 0.1967
## intercept -0.208355 0.206722 -1.0079 0.3135
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#model yang dipilih adalah model awal, yaitu ARIMA(0,0,2)Berdasarkan kedua model hasil overfitting di atas, model ARIMA(1,0,2) dan ARIMA(0,0,3) memiliki AIC yang lebih besar dibandingkan dengan model ARIMA(0,0,2) dan parameter kedua model ARIMA(1,0,2) dan ARIMA(0,0,3) tidak seluruhnya signifikan. Oleh karena itu, model ARIMA(0,0,2) akan tetap digunakan untuk melakukan peramalan.
Peramalan
Peramalan dilakukan menggunakan fungsi forecast() .
Contoh peramalan berikut ini dilakukan untuk 30 hari ke depan.
#---FORECAST---#
ramalan <- forecast::forecast(model1.ma2, h = 30)
ramalan## Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95
## 121 -0.5618735 -1.743227 0.6194795 -2.368597 1.244850
## 122 -0.3214588 -1.760315 1.1173975 -2.522000 1.879082
## 123 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 124 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 125 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 126 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 127 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 128 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 129 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 130 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 131 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 132 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 133 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 134 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 135 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 136 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 137 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 138 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 139 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 140 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 141 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 142 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 143 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 144 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 145 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 146 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 147 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 148 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 149 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187
## 150 -0.2082361 -1.779750 1.3632776 -2.611659 2.195187data.ramalan <- ramalan$mean
plot(ramalan)
Berdasarkan hasil plot ramalan di atas, dapat dilihat bahwa ramalan ARIMA(0,0,2) cenderung meningkat di awal periode dan stabil hingga akhir periode. Selanjutnya, dapat dicari nilai akurasi antara hasil ramalan dengan data uji sebagai berikut.
perbandingan<-matrix(data=c(ma2.test, data.ramalan),
nrow = 30, ncol = 2)
colnames(perbandingan)<-c("Aktual","Hasil Forecast")
perbandingan## Aktual Hasil Forecast
## [1,] -0.28783640 -0.5618735
## [2,] -0.64432058 -0.3214588
## [3,] 1.32792863 -0.2082361
## [4,] -1.28736112 -0.2082361
## [5,] -0.51769396 -0.2082361
## [6,] -0.04258320 -0.2082361
## [7,] 1.61687328 -0.2082361
## [8,] 2.11543361 -0.2082361
## [9,] 0.36342978 -0.2082361
## [10,] 0.02669402 -0.2082361
## [11,] 0.06572631 -0.2082361
## [12,] 2.41852142 -0.2082361
## [13,] 2.45760770 -0.2082361
## [14,] 1.78313790 -0.2082361
## [15,] -0.22320740 -0.2082361
## [16,] 0.73861434 -0.2082361
## [17,] -0.09887757 -0.2082361
## [18,] -0.98072544 -0.2082361
## [19,] -2.10125376 -0.2082361
## [20,] -1.02837992 -0.2082361
## [21,] 0.09943497 -0.2082361
## [22,] 1.53945885 -0.2082361
## [23,] -0.38934482 -0.2082361
## [24,] 1.28958884 -0.2082361
## [25,] -0.74746774 -0.2082361
## [26,] 1.06698088 -0.2082361
## [27,] 0.48742994 -0.2082361
## [28,] -0.09244800 -0.2082361
## [29,] 0.68000318 -0.2082361
## [30,] -1.17136609 -0.2082361accuracy(data.ramalan, ma2.test)## ME RMSE MAE MPE MAPE
## Test set 0.5059314 1.242369 0.9656338 103.712 151.7162Data Asli
Digunakan data kurs yang dalam hal ini hanya digunakan data 500 periode awal
library(rio)
datakurs<-import("https://raw.githubusercontent.com/rizkynurhambali/Praktikum-MPDW-2324/main/Pertemuan%2067/kurs.csv")
datakurs <- datakurs[1:500,]
datakurs.ts<-ts(datakurs)Eksplorasi Data
Plot Data Penuh
plot.ts(datakurs.ts, lty=1, xlab="waktu", ylab="Kurs", main="Plot Data Kurs")
Berdasarkan plot data deret waktu, terlihat bahwa data cenderung memiliki trend yang naik. Berdasarkan pola data, pembagian data latih dan data uji ditetapkan dengan proporsi 86%:14%.
Plot Data Latih
kurstrain<-datakurs[1:430]
train.ts<-ts(kurstrain)
plot.ts(train.ts, lty=1, xlab="waktu", ylab="Kurs", main="Plot Kurs Train")
Berdasarkan plot data deret waktu pada data latih, terlihat bahwa data cenderung memiliki trend yang naik dan cenderung tidak bergerak pada nilai tengah tertentu. Hal ini mengindikasikan bahwa data tidak stasioner dalam rataan.
Plot Data Uji
kurstest<-datakurs[431:500]
test.ts<-ts(kurstest)
plot.ts(test.ts, lty=1, xlab="waktu", ylab="Kurs", main="Plot Kurs Test")
Uji Stasioneritas Data
Plot ACF
acf(train.ts)
Berdasarkan plot ACF, terlihat bahwa plot ACF data menurun secara perlahan (tails of slowly). Hal ini juga menjadi indikasi bahwa data tidak stasioner dalam rataan
Uji ADF
tseries::adf.test(train.ts)##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: train.ts
## Dickey-Fuller = -2.0526, Lag order = 7, p-value = 0.5553
## alternative hypothesis: stationary\(H_0\) : Data tidak stasioner dalam rataan
\(H_1\) : Data stasioner dalam rataan
Berdasarkan uji ADF tersebut, didapat p-value sebesar 0.5553 yang lebih besar dari taraf nyata 5% sehingga tak tolak \(H_0\) dan menandakan bahwa data tidak stasioner dalam rataan. Hal ini sesuai dengan hasil eksplorasi menggunakan plot time series dan plot ACF, sehingga ketidakstasioneran model kedepannya harus ditangani
Plot Box-Cox
index <- seq(1:430)
bc = boxcox(train.ts~index, lambda = seq(5,10,by=1))
#Nilai Rounded Lambda
lambda <- bc$x[which.max(bc$y)]
lambda## [1] 6.616162#SK
bc$x[bc$y > max(bc$y) - 1/2 * qchisq(.95,1)]## [1] 5.656566 5.707071 5.757576 5.808081 5.858586 5.909091 5.959596 6.010101
## [9] 6.060606 6.111111 6.161616 6.212121 6.262626 6.313131 6.363636 6.414141
## [17] 6.464646 6.515152 6.565657 6.616162 6.666667 6.717172 6.767677 6.818182
## [25] 6.868687 6.919192 6.969697 7.020202 7.070707 7.121212 7.171717 7.222222
## [33] 7.272727 7.323232 7.373737 7.424242 7.474747 7.525253 7.575758 7.626263
## [41] 7.676768Plot Boxcox menunjukkan nilai rounded value (\(\lambda\)) optimum sebesar 6,64 dan pada selang kepercayaan 95% nilai memiliki batas bawah 0,48 dan batas atas 5,27. Selang tersebut memuat nilai satu sehingga dapat dikatakan bahwa data bangkitan stasioner dalam ragam.
Penanganan Ketidakstasioneran Data
train.diff<-diff(train.ts,differences = 1)
plot.ts(train.diff, lty=1, xlab="waktu", ylab="Data Difference 1 Kurs", main="Plot Difference Kurs")
Berdasarkan plot data deret waktu, terlihat bahwa data sudah stasioner dalam rataan ditandai dengan data bergerak pada nilai tengah tertentu (tidak terdapat trend ataupun musiman pada data)
Plot ACF
acf(train.diff)
Berdasarkan plot tersebut, terlihat bahwa plot ACF cuts off pada lag ke 1. Hal ini menandakan data sudah stasioner dalam rataan dan ketidakstasioneran data telah berhasil tertangani.
Uji ADF
tseries::adf.test(train.diff)## Warning in tseries::adf.test(train.diff): p-value smaller than printed p-value##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: train.diff
## Dickey-Fuller = -6.3673, Lag order = 7, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary\(H_0\) : Data tidak stasioner dalam rataan
\(H_1\) : Data stasioner dalam rataan
Berdasarkan uji ADF tersebut, didapat p-value sebesar 0.01 yang lebih kecil dari taraf nyata 5% sehingga tolak \(H_0\) atau data stasioner dalam rataan. Hal ini sesuai dengan hasil eksplorasi menggunakan plot time series dan plot ACF, sehingga dalam hal ini ketidakstasioneran data sudah berhasil ditangani dan dapat dilanjutkan ke pemodelan
Identifikasi Model
Plot ACF
acf(train.diff)
Berdasarkan plot tersebut, terlihat bahwa plot ACF cenderung cuts off pada lag ke 1, sehingga jika plot PACF dianggap tails of, maka model tentatifnya adalah ARIMA(0,1,1).
Plot PACF
pacf(train.diff)
Berdasarkan plot tersebut, terlihat bahwa plot PACF cenderung cuts off pada lag ke 1, sehingga jika plot ACF dianggap tails of, maka model tentatifnya adalah ARIMA(1,1,0).
Jika baik plot ACF maupun plot PACF keduanya dianggap tails of, maka model yang terbentuk adalah ARIMA(1,1,1)
Plot EACF
eacf(train.diff)## AR/MA
## 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
## 0 x o o o o o o o o o o o o o
## 1 x x o o o o o o o o o o o o
## 2 x x o o o o o o o o o o o o
## 3 x x o o o o o o o o o o o o
## 4 x x x o o o o o o o o o o o
## 5 x x o o o o o o o o o o o o
## 6 x x o o x x o o o o o o o o
## 7 x x o x x x x o o o o o o oIdentifikasi model menggunakan plot EACF dilakukan dengan melihat ujung segitiga pada pola segitiga nol. Dalam hal ini model tentatif yang terbentuk adalah ARIMA(0,1,2), ARIMA(1,1,2), ARIMA(2,1,2), dan ARIMA(3,1,2).
Pendugaan Parameter Model Tentatif
ARIMA(0,1,1)
model1.da=Arima(train.diff, order=c(0,1,1),method="ML")
summary(model1.da) #AIC=4753.18## Series: train.diff
## ARIMA(0,1,1)
##
## Coefficients:
## ma1
## -0.9879
## s.e. 0.0148
##
## sigma^2 = 3835: log likelihood = -2374.59
## AIC=4753.18 AICc=4753.21 BIC=4761.3
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
## Training set -0.6762224 61.78387 43.22489 NaN Inf 0.7363284 0.112352lmtest::coeftest(model1.da) #seluruh parameter signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ma1 -0.987941 0.014806 -66.727 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1ARIMA(1,1,0)
model2.da=Arima(train.diff, order=c(1,1,0),method="ML")
summary(model2.da) #AIC=4917.41## Series: train.diff
## ARIMA(1,1,0)
##
## Coefficients:
## ar1
## -0.3940
## s.e. 0.0444
##
## sigma^2 = 5676: log likelihood = -2456.7
## AIC=4917.41 AICc=4917.43 BIC=4925.52
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
## Training set -0.05787648 75.16292 54.08917 NaN Inf 0.9213996 -0.121856lmtest::coeftest(model2.da) #seluruh parameter signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1 -0.394037 0.044414 -8.8719 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1ARIMA(1,1,1)
model3.da=Arima(train.diff, order=c(1,1,1),method="ML")
summary(model3.da) #AIC=4761.39## Series: train.diff
## ARIMA(1,1,1)
##
## Coefficients:
## ar1 ma1
## 0.1207 -0.9966
## s.e. 0.0491 0.0210
##
## sigma^2 = 3782: log likelihood = -2371.6
## AIC=4749.21 AICc=4749.27 BIC=4761.39
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
## Training set -2.082868 61.28528 43.2876 -Inf Inf 0.7373967 0.006544589lmtest::coeftest(model3.da) #seluruh parameter signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1 0.120655 0.049064 2.4591 0.01393 *
## ma1 -0.996606 0.020970 -47.5253 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1ARIMA(0,1,2)
model4.da=Arima(train.diff, order=c(0,1,2),method="ML")
summary(model4.da) #AIC=4748.3## Series: train.diff
## ARIMA(0,1,2)
##
## Coefficients:
## ma1 ma2
## -0.8600 -0.1359
## s.e. 0.0512 0.0507
##
## sigma^2 = 3775: log likelihood = -2371.15
## AIC=4748.3 AICc=4748.35 BIC=4760.47
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
## Training set -2.059629 61.22216 43.24997 -Inf Inf 0.7367557 -0.009277841lmtest::coeftest(model4.da) #seluruh parameter signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ma1 -0.860021 0.051204 -16.796 < 2.2e-16 ***
## ma2 -0.135945 0.050725 -2.680 0.007361 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1ARIMA(1,1,2)
model5.da=Arima(train.diff, order=c(1,1,2),method="ML")
summary(model5.da) #AIC=4749.85 ## Series: train.diff
## ARIMA(1,1,2)
##
## Coefficients:
## ar1 ma1 ma2
## -0.1723 -0.6912 -0.3021
## s.e. 0.2443 0.2348 0.2305
##
## sigma^2 = 3782: log likelihood = -2370.92
## AIC=4749.85 AICc=4749.94 BIC=4766.08
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
## Training set -1.798497 61.21036 43.15664 -Inf Inf 0.7351659 -0.006549048lmtest::coeftest(model5.da) #terdapat parameter tidak signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1 -0.17233 0.24425 -0.7056 0.480467
## ma1 -0.69120 0.23481 -2.9436 0.003244 **
## ma2 -0.30214 0.23054 -1.3106 0.189995
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1ARIMA(2,1,2)
model6.da=Arima(train.diff, order=c(2,1,2),method="ML")
summary(model6.da) #AIC=4749.52## Series: train.diff
## ARIMA(2,1,2)
##
## Coefficients:
## ar1 ar2 ma1 ma2
## 0.4635 -0.1308 -1.3295 0.3386
## s.e. 0.3091 0.0565 0.3089 0.3073
##
## sigma^2 = 3777: log likelihood = -2369.76
## AIC=4749.52 AICc=4749.66 BIC=4769.81
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
## Training set -0.4957896 61.09641 43.1911 NaN Inf 0.7357528 -0.004047784lmtest::coeftest(model6.da) #terdapat parameter tidak signifikan##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1 0.463451 0.309061 1.4995 0.13373
## ar2 -0.130837 0.056523 -2.3148 0.02063 *
## ma1 -1.329455 0.308856 -4.3045 1.674e-05 ***
## ma2 0.338625 0.307281 1.1020 0.27046
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Berdasarkan pendugaan parameter di atas, nilai AIC terkecil dimiliki oleh model ARIMA(0,1,2) dan parameter model ARIMA(0,1,2) juga seluruhnya signifikan sehingga model yang dipilih adalah model ARIMA(0,1,2).
Analisis Sisaan
Model terbaik hasil identifikasi kemudian dicek asumsi sisaannya. Sisaan model ARIMA harus memenuhi asumsi normalitas, kebebasan sisaan, dan kehomogenan ragam. Diagnostik model dilakukan secara eksplorasi dan uji formal.
Eksplorasi Sisaan
#Eksplorasi
sisaan.da <- model4.da$residuals
par(mfrow=c(2,2))
qqnorm(sisaan.da)
qqline(sisaan.da, col = "blue", lwd = 2)
plot(c(1:length(sisaan.da)),sisaan.da)
acf(sisaan.da)
pacf(sisaan.da) 
par(mfrow = c(1,1))Berdasarkan plot kuantil-kuantil normal, secara eksplorasi ditunjukkan sisaan tidak menyebar normal ditandai dengan titik titik yang cenderung tidak mengikuti garis \(45^{\circ}\). Kemudian dapat dilihat juga lebar pita sisaan yang cenderung tidak sama menandakan bahwa sisaan memiliki ragam yang heterogen. Plot ACF dan PACF sisaan ARIMA(0,0,2) juga tidak signifikan pada 20 lag awal yang menandakan saling bebas. Kondisi ini akan diuji lebih lanjut dengan uji formal.
Uji Formal
#1) Sisaan Menyebar Normal
ks.test(sisaan.da,"pnorm") #tak tolak H0 > sisaan menyebar normal##
## Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: sisaan.da
## D = 0.46816, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sidedSelain dengan eksplorasi, asumsi tersebut dapat diuji menggunakan uji formal. Pada tahapan ini uji formal yang digunakan untuk normalitas adalah uji Kolmogorov-Smirnov (KS). Hipotesis pada uji KS adalah sebagai berikut.
\(H_0\) : Sisaan menyebar normal
\(H_1\) : Sisaan tidak menyebar normal
Berdasarkan uji KS tersebut, didapat p-value sebesar 0.00 yang kurang dari taraf nyata 5% sehingga tolak \(H_0\) dan menandakan bahwa sisaan tidak menyebar normal. Hal ini sesuai dengan hasil eksplorasi menggunakan plot kuantil-kuantil normal.
#2) Sisaan saling bebas/tidak ada autokorelasi
Box.test(sisaan.da, type = "Ljung") #tak tolak H0 > sisaan saling bebas##
## Box-Ljung test
##
## data: sisaan.da
## X-squared = 0.037186, df = 1, p-value = 0.8471Selanjutnya akan dilakukan uji formal untuk kebebasan sisaan menggunakan uji Ljung-Box. Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut.
\(H_0\) : Sisaan saling bebas
\(H_1\) : Sisaan tidak tidak saling bebas
Berdasarkan uji Ljung-Box tersebut, didapat p-value sebesar 0.8471 yang lebih besar dari taraf nyata 5% sehingga tak tolak \(H_0\) dan menandakan bahwa sisaan saling bebas. Hal ini berbeda dengan eksplorasi.
#3) Sisaan homogen
Box.test((sisaan.da)^2, type = "Ljung") #tak tolak H0 > sisaan homogen##
## Box-Ljung test
##
## data: (sisaan.da)^2
## X-squared = 29.906, df = 1, p-value = 4.536e-08Hipotesis yang digunakan untuk uji kehomogenan ragam adalah sebagai berikut.
\(H_0\) : Ragam sisaan homogen
\(H_1\) : Ragam sisaan tidak homogen
Berdasarkan uji Ljung-Box terhadap sisaan kuadrat tersebut, didapat p-value sebesar 0.000 yang kurang dari taraf nyata 5% sehingga tak tolak \(H_0\) dan menandakan bahwa ragam sisaan tidak homogen.
#4) Nilai tengah sisaan sama dengan nol
t.test(sisaan.da, mu = 0, conf.level = 0.95) #tak tolak h0 > nilai tengah sisaan sama dengan 0##
## One Sample t-test
##
## data: sisaan.da
## t = -0.69638, df = 428, p-value = 0.4866
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -7.872876 3.753619
## sample estimates:
## mean of x
## -2.059629Terakhir, dengan uji-t, akan dicek apakah nilai tengah sisaan sama dengan nol. Hipotesis yang diujikan sebagai berikut.
\(H_0\) : nilai tengah sisaan sama dengan 0
\(H_1\) : nilai tengah sisaan tidak sama dengan 0
Berdasarkan uji-ttersebut, didapat p-value sebesar 0.4866 yang lebih besar dari taraf nyata 5% sehingga tak tolak \(H_0\) dan menandakan bahwa nilai tengah sisaan sama dengan nol. Hal ini berbeda dengan eksplorasi.
Peramalan
Peramalan dilakukan menggunakan fungsi forecast() .
Contoh peramalan berikut ini dilakukan untuk 30 hari ke depan.
#---FORECAST---#
ramalan.da <- forecast::forecast(model4.da, h = 30)
ramalan.da## Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95
## 431 0.3239709 -78.42499 79.07294 -120.1122 120.7601
## 432 6.7730086 -72.74745 86.29346 -114.8430 128.3891
## 433 6.7730086 -72.74808 86.29410 -114.8440 128.3900
## 434 6.7730086 -72.74872 86.29473 -114.8450 128.3910
## 435 6.7730086 -72.74935 86.29537 -114.8459 128.3920
## 436 6.7730086 -72.74998 86.29600 -114.8469 128.3929
## 437 6.7730086 -72.75062 86.29664 -114.8479 128.3939
## 438 6.7730086 -72.75125 86.29727 -114.8489 128.3949
## 439 6.7730086 -72.75189 86.29790 -114.8498 128.3958
## 440 6.7730086 -72.75252 86.29854 -114.8508 128.3968
## 441 6.7730086 -72.75316 86.29917 -114.8518 128.3978
## 442 6.7730086 -72.75379 86.29981 -114.8527 128.3988
## 443 6.7730086 -72.75442 86.30044 -114.8537 128.3997
## 444 6.7730086 -72.75506 86.30108 -114.8547 128.4007
## 445 6.7730086 -72.75569 86.30171 -114.8556 128.4017
## 446 6.7730086 -72.75633 86.30234 -114.8566 128.4026
## 447 6.7730086 -72.75696 86.30298 -114.8576 128.4036
## 448 6.7730086 -72.75760 86.30361 -114.8586 128.4046
## 449 6.7730086 -72.75823 86.30425 -114.8595 128.4055
## 450 6.7730086 -72.75886 86.30488 -114.8605 128.4065
## 451 6.7730086 -72.75950 86.30552 -114.8615 128.4075
## 452 6.7730086 -72.76013 86.30615 -114.8624 128.4085
## 453 6.7730086 -72.76077 86.30678 -114.8634 128.4094
## 454 6.7730086 -72.76140 86.30742 -114.8644 128.4104
## 455 6.7730086 -72.76204 86.30805 -114.8653 128.4114
## 456 6.7730086 -72.76267 86.30869 -114.8663 128.4123
## 457 6.7730086 -72.76330 86.30932 -114.8673 128.4133
## 458 6.7730086 -72.76394 86.30996 -114.8683 128.4143
## 459 6.7730086 -72.76457 86.31059 -114.8692 128.4152
## 460 6.7730086 -72.76521 86.31122 -114.8702 128.4162data.ramalan.da <- ramalan.da$mean
plot(ramalan.da)
Berdasarkan hasil plot ramalan di atas, dapat dilihat bahwa ramalan ARIMA(0,012) cenderung stabil hingga akhir periode. Selanjutnya, dapat dicari nilai akurasi antara hasil ramalan dengan data uji sebagai berikut.
pt_1 <- train.ts[430] #nilai akhir data latih
hasil.forc.Diff <- data.ramalan.da
hasil <- diffinv(hasil.forc.Diff, differences = 1) + pt_1
#has.1 sama hasilnta dengan: cumsum(c(pt_1,hasil.forc.Diff))
ts.plot(train.ts,hasil)
perbandingan.da<-matrix(data=c(head(test.ts, n=30), hasil[-1]),
nrow = 30, ncol = 2)
colnames(perbandingan.da)<-c("Aktual","Hasil Forecast")
perbandingan.da## Aktual Hasil Forecast
## [1,] 12866 12813.32
## [2,] 12887 12820.10
## [3,] 12862 12826.87
## [4,] 12863 12833.64
## [5,] 12993 12840.42
## [6,] 12962 12847.19
## [7,] 12963 12853.96
## [8,] 13022 12860.74
## [9,] 12983 12867.51
## [10,] 13047 12874.28
## [11,] 13059 12881.05
## [12,] 13164 12887.83
## [13,] 13176 12894.60
## [14,] 13191 12901.37
## [15,] 13237 12908.15
## [16,] 13209 12914.92
## [17,] 13164 12921.69
## [18,] 13008 12928.47
## [19,] 13075 12935.24
## [20,] 13076 12942.01
## [21,] 12972 12948.78
## [22,] 12932 12955.56
## [23,] 13003 12962.33
## [24,] 13064 12969.10
## [25,] 13086 12975.88
## [26,] 13084 12982.65
## [27,] 13043 12989.42
## [28,] 13000 12996.20
## [29,] 12942 13002.97
## [30,] 12982 13009.74accuracy(ts(hasil[-1]), head(test.ts, n=30))## ME RMSE MAE MPE MAPE ACF1 Theil's U
## Test set 118.9674 156.6908 126.4518 0.9079581 0.9657541 0.7929994 2.646555