Sistem bilangan dalam kalkulus mencakup penggunaan bilangan riil dan kompleks untuk menganalisis fungsi, turunan, integral, dan konsep matematika lainnya. Ini termasuk penerapan bilangan dalam limit, kontinuitas, dan penghitungan yang memainkan peran penting dalam pemahaman kalkulus. Sistem bilangan ini merupakan fondasi matematika yang vital, membentuk dasar untuk berbagai cabang matematika dan aplikasinya dalam ilmu pengetahuan dan teknologi. Sistem bilangan mencakup berbagai jenis bilangan yang membentuk dasar matematika. Berikut adalah penjelasan tentang bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan riil:

A. Bilangan Asli

Bilangan asli adalah angka bulat non-negatif yang dimulai dari 1 dan terus bertambah hingga tak terbatas. Contoh bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Karakteristik utama bilangan asli adalah tidak memiliki pecahan, desimal, atau komponen lain selain angka bulat positif. Digunakan untuk menghitung jumlah, mengidentifikasi posisi dalam urutan, atau mewakili objek atau entitas yang dapat dihitung secara diskrit.

  1. Contoh Bilangan Asli:
  1. 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
  2. Jumlah buah apel dalam keranjang adalah 10, maka jumlahnya direpresentasikan oleh bilangan asli 10.
  1. Rumus Bilangan Asli:

Bilangan asli dapat direpresentasikan dengan notasi matematika yang sederhana: N = {1, 2, 3, 4, 5,…..} Di sini, N adalah simbol untuk himpunan bilangan asli.

  1. Sifat-sifat Bilangan Asli:
  1. Tidak Terbatas: Bilangan asli tidak memiliki batas atas. Mereka dapat terus bertambah tanpa batas.
  2. Tidak Memiliki Angka Nol (0): Bilangan asli dimulai dari 1 dan terus bertambah, sehingga tidak ada angka nol dalam himpunan bilangan asli.
  3. Bentuk Ascending: Urutan bilangan asli selalu meningkat secara berurutan.

Bilangan asli digunakan dalam berbagai konteks, termasuk perhitungan aritmatika dasar, mengukur kuantitas, menghitung umur, dan banyak lagi. Contoh penerapannya meliputi jumlah siswa di sebuah kelas, jumlah hari dalam sebulan, atau nomor urut dalam sebuah barisan.

B. Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari angka bulat positif, negatif, dan nol. Bilangan bulat tidak memiliki pecahan atau angka desimal. Bilangan bulat positif adalah angka lebih dari nol, misalnya 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan bulat negatif adalah angka kurang dari nol, misalnya -1, -2, -3, dan seterusnya. Nol adalah angka netral yang tidak positif maupun negatif. Bilangan bulat dapat digunakan untuk mengukur kuantitas, seperti jumlah barang, suhu di bawah titik nol, atau utang. Operasi matematika yang dapat dilakukan dengan bilangan bulat meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Bilangan bulat juga dapat diurutkan dalam bilangan terbesar (positif) ke terkecil (negatif).

  1. Contoh bilangan bulat adalah: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … dan sebagainya.
  2. Sifat Bilangan Bulat:
  1. Tertutup terhadap Penjumlahan dan Pengurangan: Penjumlahan atau pengurangan dua bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat lainnya.
  2. Komutatif terhadap Penjumlahan dan Pengurangan: A + B = B + A dan A - B ≠ B - A.
  3. Asosiatif terhadap Penjumlahan dan Pengurangan: (A + B) + C = A + (B + C) dan (A - B) - C = A - (B - C).
  4. Distributif terhadap Perkalian: A × (B + C) = (A × B) + (A × C) dan A × (B - C) = (A × B) - (A × C).
  5. Tidak Komutatif terhadap Perkalian: A × B ≠ B × A.
  6. Tidak Asosiatif terhadap Perkalian: (A × B) × C ≠ A × (B × C).
  7. Pembagian tidak selalu Tertutup: Pembagian dua bilangan bulat tidak selalu menghasilkan bilangan bulat. Misalnya, 5 dibagi 2 menghasilkan 2.5, bukan bilangan bulat.
  8. Hukum Nol: A + 0 = A dan A × 0 = 0 untuk setiap bilangan bulat A.
  9. Hukum Satu: A × 1 = A untuk setiap bilangan bulat A.
  10. Sifat Invers Additif: Setiap bilangan bulat A memiliki bilangan bulat negatif -A sehingga A + (-A) = 0.
  11. Urutan Bilangan: Bilangan bulat dapat diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar atau sebaliknya pada garis bilangan.
  12. Bilangan Ganjil dan Genap: Bilangan bulat dapat dibagi menjadi dua kelompok, yaitu ganjil (bilangan yang tidak habis dibagi 2) dan genap (bilangan yang habis dibagi 2).
  13. Bilangan Prima: Beberapa bilangan bulat hanya dapat dibagi oleh 1 dan diri sendiri, disebut bilangan prima (contoh: 2, 3, 5, 7, dst.).
  14. Bilangan Negatif dari Bilangan Prima: Bilangan prima negatif juga bisa menjadi bilangan prima jika dianggap sebagai bilangan bulat negatif (misalnya -2, -3, -5, dst.).

C. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah jenis bilangan yang dapat diwakili sebagai pecahan a/b, di mana a dan b adalah bilangan bulat (b dengan nilai tidak sama dengan nol). Dalam representasi ini, a disebut pembilang (numerator) dan b disebut penyebut (denominator).

Karakteristik utama dari bilangan rasional adalah bahwa mereka dapat diungkapkan sebagai pecahan dengan pembilang dan penyebut berupa bilangan bulat. Misalnya, 3/4, 5/2, dan -7/3 adalah contoh bilangan rasional.

a.Beberapa sifat penting dari bilangan rasional adalah:

  1. Operasi Aritmetik: Bilangan rasional dapat dioperasikan menggunakan operasi aritmetika standar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
  2. Pengurangan Pecahan: Dua bilangan rasional dapat dikurangkan dengan menyetaraan penyebut dan kemudian mengurangkan pembilang.
  3. Perkalian dan Pembagian Pecahan: Untuk mengalikan atau membagi bilangan rasional, cukup dikalikan atau dibagi pembilang dan penyebut masing-masing.
  4. Pembagian Nol: Tidak ada pembagian dengan nol dalam bilangan rasional, penyebut tidak boleh nol.
  5. Pengulangan Desimal: Bilangan rasional juga dapat diekspresikan sebagai desimal yang berakhir atau berulang, misalnya, 1/3 sebagai 0.3333… yang berulang.
  6. Pengurangan Eksponen: Bilangan rasional juga dapat memiliki eksponen dalam bentuk a^b/c, di mana a adalah bilangan rasional, dan b dan c adalah bilangan bulat. Penting untuk diingat bahwa bilangan rasional adalah salah satu jenis bilangan di dalam himpunan bilangan matematika. Himpunan bilangan matematika juga mencakup bilangan bulat, bilangan real, dan bilangan kompleks.

D. Bilangan Riil

Bilangan riil adalah kelas dari semua bilangan yang dapat diwakili pada garis bilangan, termasuk bilangan bulat, bilangan pecahan (rasional), dan bilangan irasional. Secara formal, bilangan riil adalah himpunan semua titik pada garis bilangan yang dapat diwakili sebagai bilangan desimal atau sebagai akar dari suatu persamaan. Bilangan riil membentuk lapangan, yang berarti mereka memenuhi operasi aritmetika standar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, dan mematuhi properti seperti asosiatif, distributif, dan komutatif. Berikut adalah jenis-jenis bilangan yang termasuk dalam bilangan riil:

  1. Bilangan Bulat: Bilangan positif atau negatif yang tidak memiliki pecahan atau desimal.Contoh: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, dan seterusnya.
  2. Bilangan Pecahan (Rasional): Bilangan yang dapat diwakili dalam bentuk pecahan.
  3. Bilangan Irasional : Bilangan yang tidak dapat diwakili sebagai pecahan dan memiliki representasi desimal yang tidak berulang atau berakhir. Contoh: \(\pi\), \(\sqrt{2}\), \(e\), dan sebagainya.
  4. Bilangan Transenden: Bilangan yang tidak dapat menjadi solusi dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Contoh: \(\pi\) dan \(e\) adalah contoh bilangan transenden.

Bilangan riil adalah fundamental dalam matematika dan digunakan secara luas dalam berbagai cabang matematika, ilmu fisika, teknik, ekonomi, dan ilmu komputer. Garis bilangan riil adalah alat matematis yang penting untuk memvisualisasikan dan memahami hubungan antarbilangan riil.