Questões:

1)

  1. Determine a função de densidade de X \[\small \begin{array}{llll} f_X(x,a,b,c) = \left\{ \begin{array}{ll} \ 2\frac{(x-a)}{(b-a)(c-a)},se & a\leq x < c\\ \ 2\frac{(b-x)}{(b-a)(b-c)},se & c<x \leq b\\ \frac{2}{(b-a)},se & x = c\\ 0, & \mbox{caso contrário.} \end{array} \right. \end{array} \begin{array}{llll} \end{array} \small \begin{array}{llll} f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac4x,se & 0\leq x \leq 0,5;\\ \ 2,se &x = 0,5;\\ \\4-4x,se & 0,5\ < x \leq 1;\\ 0, & \mbox{caso contrário.} \end{array} \right. \end{array} \begin{array}{llll} &\mbox{} \end{array}\]

b)Determine a média e a variância com cálculos manuais

2)Considerando a distribuição Bernoulli,

a)Construa um problema com esta distribuição, em que é fornecido o valor de p Problema:Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes.Retira-se uma bola dessa urna. Seja X o número de bolas verdes.

Probabilidade da bola verde(sucesso) :

\[\small P(X)=\frac{30}{50}=0,4\]

Probabilidade da bola branca(fracasso) :

\[P(X)=\frac{20}{50}=0,6 \]

Construindo o gráfico da função de probabilidade:

C)Determinando a Média e a Variância com cálculos manuais:

3)Considerando distribuição exponencial: a)Construa um problema com esta distribuição, em que é fornecido o valor de λ Problema:Suponha que X tenha uma distribuição exponencial, com λ=2.Determine:

\[\begin{array}{lll} P(X \leq 1) &=&\int\limits_{0}^{1}2e^{-2x}dx\\ &=& -e^{-2x}|_0^1\\ &=& 1-e^{-2}\\ &=& 0,8647\\ \end{array}\]

b)Construindo o gráfico da função de distribuição desta distribuição:

4)Considerando as propriedades da função geradora de momentos:

a)Determine a f.g.m. da distribuição exponencial pelo apêndice do Mood:

f.g.m da exponencial:

λ/(λ-t), para t < λ

b)Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias independentes com parâmetro λ.Mostre que X1 + X2 tem distribuição Gamma e determine seus parâmetros :

Sabe-se que a soma de n variáveis aleatórias exponenciais com parâmetro λ resulta em uma distribuição Gamma ,com parâmetros r e λ. De acordo com apêndice B do Mood,temos que:

Se X1 ~ exp, Mx1(t)=λ/(λ-t)

Se X2 ~ exp, Mx1(t)=λ/(λ-t)

Mx1+x2(t)=E[e^t(x1+x2) ]

=E[etx1.etx2]

=E[e^tx1].E[e^tx2]

=Mx1(t).Mx2(t)

Mx1+x2(t)=[λ/(λ-t)].[λ/(λ-t)]

Mx1+x2(t)=[λ/(λ-t)]^2

Então a FGM da distribuição Gamma é:

[λ/(λ-t]^r, para t < λ

Comparando temos que:

[λ/(λ-t]^r = [λ/(λ-t)]^2

X1+X2 ~ Gamma(2,λ)

Também podemos chegar nesse resultado pelas propiedades da esperânça ou da integral da função conjunta :

\[\begin{array}{lll} f_{X+Y}(z)&=& \int \limits_0^z f_X(x).f_Y(z-x)dx, \mbox{com } 0\leq z <\infty\\ &=& \int \limits_0^z \lambda \exp[-\lambda.x] .\lambda \exp[-\lambda.(z-x)]dx\\ &=& \int \limits_0^z \lambda^2 \exp[-\lambda.z] .dx\\ &=& \lambda^2 \exp[-\lambda.z] \int \limits_0^z dx\\ &=& \lambda^2 \exp[-\lambda.z] \left.x\right|_0^z \\ &=& \lambda^2 \exp[-\lambda.z] z \\ &&\therefore X+Y \sim \mbox{Gamma}(\lambda,r=2) \end{array} \]