2.1 Modelo teórico e especificação

Considere uma função de produção Cobb-Douglas:

\[Y(t) = K(t)^\alpha(A(t)L(t))^{1-\alpha} \hspace{1cm} 0<\alpha<1.\] em que \(K\) é o capital físico, \(A\) é o nível tecnológico e \(L\), a força de trabalho.

Supomos que \(L\) e \(A\) crescem de forma exógena à taxas \(n\) e \(g\), respectivamente:

\[L(t) = L(0) e^{nt}\] \[A(t) = A(0)e^{gt}\] Supomos que uma fração constante da produção, \(s\), é investida e convertida em capital e, que uma fração \(\delta\) do estoque de capital deprecia a cada período. Fazendo alguma álgebra, podemos expressar a evolução do capital por trabalhador efetivo \(k(t)\) como:

\[\begin{eqnarray} \dot k(t) &=& s y(t) - (n+g+\delta)k(t) \\ &=&sk(t)^{\alpha}-(n+g+\delta)k(t) \end{eqnarray}\]

O capital de steady state é dado por:

\[k^{\star} = [s/(n+g+\delta)]^{1/(1-\alpha)}\] Substituindo a equação acima na função de produção e tirando log, o produto por trabalhador efetivo \(y(t)\) de steady state é dado por:

\[\ln (y(t)) = \ln A(0) + gt + \frac{\alpha}{1-\alpha}\ln (s) - \frac{\alpha}{1-\alpha}\ln(n+g+\delta)\] São supostos \(g\) e \(\delta\) constantes entre os países. Note que \(g\) reflete os avanços no conhecimento, o que não é específico de um país e não há motivos para acreditar que a depreciação seja diferente entre os países.

Já o nível tecnológico inicial $A(0) reflete não apenas tecnologia, mas também, recursos naturais, clima, instituições e etc.; podendo diferir entre os países. Supomos então: \[\ln A(0) = a + \epsilon\] em que \(a\) é uma constante e \(\epsilon\) um choque específico do país (i.i.d.).

Portanto, o log do produto por trabalhador efetivo em um período \(t\) (\(t=0\) por simplicidade) é dado por: \[\ln (y(t)) = a + \frac{\alpha}{1-\alpha}\ln (s) - \frac{\alpha}{1-\alpha}\ln(n+g+\delta) + \epsilon.\]

A equação acima é a especificação utilizada nessa seção para estudar diferenças no produto por trabalhador efetivo entre os países.

2.2 Analisando diferenças no produto por trabalhador efetivo por meio do modelo de Solow

Supondo que os países estejam em seus equilíbrios de steady state, o modelo de Solow prevê que as diferenças no produto por trabalhador efetivo entre os países é explicado pelo nível de poupança/investimento e pelo crescimento da população (visto que estamos supondo \(g\) e \(\delta\) iguais para todas os países).

Seguindo Mankiw, Romer e Weil (1992) supomos \(\alpha = 1/3\) e \(g + \delta = 0.05\). Além disso, excluímos da análise os países petroleiros ( oils ), que segundo os autores, não devem ser contabilizados visto que seu PIB refletirá a extração de recursos naturais e não valor adicionado. Desta forma, não se esperaria que modelos de crescimento padrão representem tais países.

Além dos não-petroleiros, mais duas amostras são analisadas no trabalho: os Intermediate – países com mais de 1 milhão de habitantes; e os países da OCDE.

Para medir produto por trabalhador, utilizaremos as variáveis PIB real sob a ótica do produto, \(RGPD^O\), e, força de trabalho, \(EMP\). Para medir taxa de poupança utilizaremos a parcela da formação bruta de capital físico, \(CSH_i\). Todas presentes na PWT.

Vamos então ao código em R:

library(tidyverse)
library(readxl)
library(stargazer)
library(msm)
theme_set(theme_bw())

# Funções
`%notin%` <- Negate(`%in%`)

g_delta <- 0.05
first_year <- 1960
last_year <- 2019

# Países petroleiros
oils <- c('Bahrain', 'Gabon', 'Iran (Islamic Republic of)', 'Iraq', 'Kuwait', 
          'Oman', 'Saudi Arabia', 'United Arab Emirates', 'Lesotho')

# Identificando os países com dados no ano inicial:
with_data <- filter(pwt, year == first_year, !is.na(rgdpo), !is.na(emp))$country


# Ajeitando os dados para os resultados do trabalho
pwt_solow <- pwt |>
  select(year, country, rgdpo, pop, emp, csh_i, hc) |>
  filter(year <= last_year, country %notin% oils, country %in% with_data) |>
  group_by(country) |>
  mutate(
    gdp_pw = rgdpo/emp,
    log_gdp_pw = log(gdp_pw),
    n = mean((emp - lag(emp))/lag(emp), na.rm=T),
    investment = mean(csh_i, na.rm = T),
    restricted1 = log(investment) - log(n + g_delta)
  ) |>
  ungroup() |>
  filter(year == last_year)

pwt_solow |>
  ggplot(aes(y = log_gdp_pw, x = 1/2*log(investment)-1/2*log(n+g_delta))) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = 'lm', se = F)+
  labs(
    title = 'PIB per capita, taxas de poupança e diluição do capital',
    y = 'log(y)',
    x = '1/2 log(s) - 1/2 log(n+g+δ)'
  )

Nas primeiras linhas são carregados os pacotes utilizados. Na sequência, alguns parâmetros são definidos como o ano inicial (1960) e o final (2019) além do \(g+\delta = 5\%\) e dos países petroleiros (para serem excluídos da análise). Os países sem dados em 1960 são identificados em with_data. Por fim é criado o objeto pwt_solow selecionando apenas as variáveis utilizadas na análise e filtradas as observações indesejadas. Algumas variáveis são criadas como o PIB por trabalhador gdp_pw, a taxa de crescimento populacional n e a taxa de investimento/poupança investment. Com esse objeto criado, geramos uma Figura.

Na Figura acima, cada ponto representa informações de um país no ano mais recente da PWT (2019). No eixo vertical, temos o log do PIB per capita e, no eixo horizontal, a diferença entre o log da taxa de poupança e o log das taxas de crescimento populacional e tecnólogico, e depreciação. As variáveis do eixo horizontal são multiplicadas por 1/2, que é o valor de \(\alpha/(1-\alpha)\) para \(\alpha = 1/3\).

Como vemos na Figura, há uma correlação positiva entre o nível do produto e a diferença entre poupança e o somatório de crescimento populacional, crescimento tecnológico e depreciação, conforme previsto pelo modelo de Solow.

Para termos noções mais precisas das relação entre as variáveis explicativas e o PIB per capita, além do poder explicativo do modelo, vamos fazer uma regressão linear utilizando a especificação apresentada na seção anterior.

# Membros da OCDE
OECD <- c('Australia', 'Austria', 'Belgium', 'Canada', 'Chile', 'Czech Republic', 
          'Denmark', 'Estonia', 'Finland', 'France', 'Germany', 'Greece', 'Hungary', 
          'Iceland', 'Ireland', 'Israel', 'Italy', 'Japan', 'Republic of Korea', 'Latvia', 
          'Lithuania', 'Luxembourg', 'Mexico', 'Netherlands', 'New Zealand', 'Norway', 'Poland',
          'Portugal', 'Slovakia', 'Slovenia', 'Spain', 'Sweden', 'Switzerland',
          'Turkey', 'United Kingdom', 'United States')

mod <- log_gdp_pw ~ log(investment) + log(n + g_delta)


reg1.1 <- lm(mod, pwt_solow)
reg2.1 <- lm(mod, filter(pwt_solow, pop > 1))
reg3.1 <- lm(mod, filter(pwt_solow, country %in% OECD))


regressions1 <- list(reg1.1, reg2.1, reg3.1)

stargazer(regressions1, type = 'html', dep.var.caption = 'ln(GDP per worker)',
          align = T, no.space = F, column.labels = c('Non-oil', 'Intermediate', 'OECD'), 
          covariate.labels = c('ln(s)', 'ln(n+g+&delta;)', 'Constant'),
          keep.stat = c('n', 'adj.rsq'),
          table.layout = "=lmc-t-as=n")

Nas primeiras linhas, identificamos os países membros da OCDE. Então atribuímos à mod, um objeto do tipo fórmula, utilizado nas regressões. As últimas linhas rodam a regressão para cada uma das três amostras. Por fim, uma tabela é gerada e editada usando o pacote stargazer.

Vemos, na Tabela acima, que nas três amostras, a taxa de poupança tem um valor positivo e significativo e a “diluição+depreciação” do capital tem efeito negativo e significativo. Sendo a especificaçaõ em log-log, em média, 1% de aumento na taxa de poupança está associado à 1.2% de aumento no PIB per capita na amostra dos não-petroleiros. Já a “diluição+depreciação” tem um valor maior em magnitude: 1% de aumento está associado à uma redução de 3.2% no PIB per capita para os não-petroleiros. Valores parecidos para a segunda amostra.

Contudo, o modelo de Solow prevê pesos iguais para a taxa de poupança e a “diluição+depreciação”. Note que quando \(\alpha = 1/3\), o modelo prevê pesos iguais à 1/2. Podemos assim forçar uma restrição ao modelo e testar se ele permance robusto.

Na próxima tabela é imposta a restrição de pesos iguais para as variáveis explicativas do modelo. Para o caso dos não-petroleiros, 1% de aumento na diferença entre poupança e “diluição + depreciação” está associado a um aumento de 1.5% no PIB per capita. Utilizando os parâmetros estimados, o \(\alpha\) implicado pela regressão seria de 0.544, o que não se aproxima do \(\alpha = 1/3\) normalmente suposto na literatura. Note, porém, que a hipótese de que as economias estejam no steady state pode ser forte. Vamos deixar essa hipótese de lado na seção 4, quando falarmos de convergência.

mod_restricted <- log_gdp_pw ~ restricted1

reg1.2 <- lm(mod_restricted, pwt_solow)
reg2.2 <- lm(mod_restricted, filter(pwt_solow, pop > 1))
reg3.2 <- lm(mod_restricted, filter(pwt_solow, country %in% OECD))

regressions2 <- list(reg1.2, reg2.2, reg3.2)

stargazer(regressions2, type = 'html', dep.var.caption = 'ln(GDP per worker)', 
          align = T, no.space = F, column.labels = c('Non-oil', 'Intermediate', 'OECD'), 
          covariate.labels = c('ln(s) - ln(n+g+&delta;)', 'Constant'),
          keep.stat = c('n', 'adj.rsq'),
          add.lines = list(c('Implied Alpha', sapply(regressions1, implied_alpha))),
          table.layout = "=lmc-t-as=n")

2.3 Modelo de Solow Aumentado

Capital humano é um importante fator para o processo de crescimento. Ignorá-lo, pode levar à conclusões incorretas. Nesta seção, o modelo de Solow é modificado para incluir capital humano.

Considere a seguinte função de produção: \[Y(t) = K(t)^\alpha H(t)^\beta (A(t)L(t))^{1-\alpha-\beta}\]

em que \(H\) é o estoque de capital humano.

Sendo \(s_k\) a fração da renda investida em capital físico e \(s_h\) a fração investida em capital humano, a evolução do capital físico por trabalhador efetivo e a evolução do capital humano por trabalhador efetivo são dadas por: \[\dot k(t) = s_k y(t) - (n+g+\delta) k(t)\] \[\dot h(t) = s_h y(t) - (n+g+\delta) h(t)\] Supomos que \(\alpha+\beta<1\), de forma que a função de produção apresenta retorno decrescente para todo capital.

As equações de movimento acima, implicam que a economia converge para o estado estacionário definido por \[k^\star = \left(\frac{s^{1-\beta}_ks^\beta_h}{n+g+\delta}\right)^{1/(1-\alpha-\beta)}\] \[h^\star = \left(\frac{s^{\alpha}_k s^{1-\alpha}_h}{n+g+\delta}\right)^{1/(1-\alpha-\beta)}\]

Substituindo as variáveis de estado estacionário acima na função de produção, e tirando o ln, chegamos à uma equação semelhante ao caso sem capital humano: \[\begin{eqnarray} \ln\left[\frac{Y(t)}{L(t)}\right] = \ln A(0) + gt - && \frac{\alpha+\beta}{1-\alpha-\beta}\ln(n+g+\delta)~ + \\ &&\frac{\alpha}{1-\alpha-\beta}\ln(s_k) + \frac{\beta}{1-\alpha-\beta}\ln(s_h) \end{eqnarray}\]

Para medir capital humano e manter o estudo apenas na PWT, utilizaremos o índice de capital humano \(HC\) que é baseado nos anos médios de escolaridade calculados em Barro e Lee (2012). As demais variáveis são medidas conforme a seção anterior.

Fazendo as regressões como na seção anterior, obtemos os resultados da Tabela a seguir. Notamos que a variável de escolaridade (índice da PWT) se mostra expressivo e significativo. A taxa de poupança perde significância. Note o aumento do \(R^2\), indicando que a inclusão de capital humano aumentou muito a capacidade do modelo em explicar a variabilidade dos dados. Isso confirma a importância desse fator de produção para o estudo do crescimento econômico.

# Augmented Solow model


mod_augmented <- log_gdp_pw ~ log(investment) + log(hc) + log(n + g_delta) 


reg1.3 <- lm(mod_augmented, pwt_solow)
reg2.3 <- lm(mod_augmented, filter(pwt_solow, pop > 1))
reg3.3 <- lm(mod_augmented, filter(pwt_solow, country %in% OECD))


regressions3 <- list(reg1.3, reg2.3, reg3.3)

stargazer(regressions3, type = 'html', dep.var.caption = 'ln(GDP per worker)',
          column.labels = c('Non-oil', 'Intermediate', 'OECD'), 
          covariate.labels = c('ln(s_{k})', 'ln(s_{h})', 'ln(n+g+&delta;)', 'Constant'),
          keep.stat = c('n', 'adj.rsq'),
          table.layout = "=lmc-t-as=n")

3.1 Convergência absoluta

Na Figura abaixo, visualizamos em um scatter plot a variação do ln da renda por trabalhador entre 1960 e 2019 (no eixo vertical) e o nível inicial (1960) da renda por trabalhador (no eixo horizontal). É possível traçar uma reta com uma inclinação ligeiramente negativa, indicando que há pouca evidência de convergencia absoluta.

pwt_converg <- pwt |>
  select(year, country, rgdpo, pop, emp, csh_i, hc) |>
  filter(year <= last_year, country %notin% oils, country %in% with_data) |>
  group_by(country) |>
  mutate(
    gdp_pw = rgdpo/emp,
    log_gdp_pw = log(gdp_pw),
    n = mean((lead(emp) - emp)/emp, na.rm=T),
    delta_lgdp = lead(log_gdp_pw, n = last_year-first_year) - log_gdp_pw,
    investment = csh_i
  ) |>
  ungroup() |>
  filter(year == first_year)

pwt_converg |>
  ggplot(aes(y = delta_lgdp, x = gdp_pw)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = 'lm', se = F)+
  labs(
    y = expression(ln(y[2019]) - ln(y[1960])),
    x = expression(ln(y[1960]))
    )

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

Para esse exercício de convergência, precisamos criar um novo objeto de dados. Em pwt_converg criamos uma nova variável: a variação do ln do produto por trabalhador delta_lgdp, além das outras já calculadas. Por fim, gera-se um gráfico de pontos.

Vamos tornar essa análise numericamente mais precisa. Considere o seguinte modelo: \[\ln (y(t)) - \ln(y(0)) = \gamma_0 \ln(Y(0)) + \gamma_1 \ln(s_k) + \gamma_2 \ln(s_h) + \gamma_3 \ln(n+g+\delta)\] Se fizermos \(\gamma_1 = \gamma_2 = \gamma_3 = 0\), estamos testando a convergência absoluta. Isto é, a depender do sinal, da magnitude e da significância estatística de \(\gamma_0\), podemos concluir alguma evidência de convergência absoluta.

Na Tabela abaixo, temos o resultado dessa regressão para as três amostras de análise. Para os países não-petroleiros, há uma pequena evidência de convergência. Em média países com 1% a mais de renda per capita em 1960 estão associados à -0.24% de crescimento no período. Mas quando restringimos a amostra para os países com mais de 1 milhão de habitantes ( Intermediate ), esse efeito não é significativo. Por fim, para os países membros da OCDE, há uma evidência mais forte de convergência: 1% a mais de renda inicial está associado à quase -0.8% de crescimento. Este último resultado nos dá uma pista de que, comparando entre países semelhantes – os membros da OCDE, há evidência mais forte de convergência.

mod_converg <- delta_lgdp ~ log_gdp_pw


reg1.5 <- lm(mod_converg, pwt_converg)
reg2.5 <- lm(mod_converg, filter(pwt_converg, pop > 1))
reg3.5 <- lm(mod_converg, filter(pwt_converg, country %in% OECD))


regressions5 <- list(reg1.5, reg2.5, reg3.5)

stargazer(regressions5, type = 'html', dep.var.caption = '$\\Delta ln(GDP per worker)$',
          column.labels = c('Non-oil', 'Intermediate', 'OECD'), 
          covariate.labels = c('ln(Y_{1960})', 'Constant'),
          keep.stat = c('n', 'adj.rsq'),
          table.layout = "=lmc-t-as=n")

3.2 Convergência Condicional

Visto como o resultado da Tabela anterior sugere que países semelhantes possuem maior evidência de convergência, a próxima regressão é rodar o modelo com todos os \(\gamma\)’s. Ao fazermos isso, estamos condicionando aos países com características semelhantes de poupança e crescimento populacional.

Primeiramente, vamos considerar o exercício de convergência apenas com capital físico. Isto é, com \(\gamma_2 = 0\). Na Tabela a seguir, vemos que para todas as três amostras, o nível inicial da renda per capita \(\ln(Y_{1960})\) é maior, em termos absolutos comparado ao caso anterior. Notamos também que o \(R^2\) é mais expressivo, sugerindo que o modelo explica melhor a variabilidade dos dados.

mod2_converg <- delta_lgdp ~ log_gdp_pw + log(investment) + log(n + g_delta)

reg1.6 <- lm(mod2_converg, pwt_converg)
reg2.6 <- lm(mod2_converg, filter(pwt_converg, pop > 1))
reg3.6 <- lm(mod2_converg, filter(pwt_converg, country %in% OECD))

regressions6 <- list(reg1.6, reg2.6, reg3.6)

stargazer(regressions6, type = 'html', dep.var.caption = 'Delta ln(GDP per worker)',
          column.labels = c('Non-oil', 'Intermediate', 'OECD'), 
          covariate.labels = c('ln(Y_{1960})', 'ln(s_{k})', 'ln(n+g+&delta;)', 'Constant'),
          keep.stat = c('n', 'adj.rsq'),
          table.layout = "=lmc-t-as=n")

Por fim, vamos considerar o modelo de Solow com capital humano, isto é, permitindo \(\gamma_2\neq 0\). O resultado da regressão está na tabela a seguir. Novamente, o efeito do nível inicial da renda per capita é maior para todas as amostras, bem como o \(R^2\). Os resultados sugerem, portanto, que há evidência de convergência condicional, condizente com o modelo de Solow.

mod2_aug_converg <- delta_lgdp ~ log_gdp_pw + log(investment)+ log(hc) + log(n + g_delta) 

reg1.7 <- lm(mod2_aug_converg, pwt_converg)
reg2.7 <- lm(mod2_aug_converg, filter(pwt_converg, pop > 1))
reg3.7 <- lm(mod2_aug_converg, filter(pwt_converg, country %in% OECD))

regressions7 <- list(reg1.7, reg2.7, reg3.7)

stargazer(regressions7, type = 'html', dep.var.caption = 'Delta ln(GDP per worker)',
          column.labels = c('Non-oil', 'Intermediate', 'OECD'), 
          covariate.labels = c('ln(Y_{1960})', 'ln(s_{k})', 'ln(s_{h})', 'ln(n+g+d)' , 'Constant'),
          keep.stat = c('n', 'adj.rsq'),
          table.layout = "=lmc-t-as=n")