Estimación del valor de π

La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuíto con un área igual a π/4,está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria 100 puntos dentro del cuadrado. La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la pracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4. Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, que es 79 para obtener la estimación de π/4≈0.76. De este último resultado se concluye que π≈4(0.79)=3.14. Este ejercicio presenta un experimento de simulación que fue diseñado para estimar el valor de π al generar 1000 puntos en el cuadrado.

Punto A

Genere 1000 coordenadas x: X1,…,X1000.Utilice la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1. La distribución uniforme genera variables aleatorias que tienen la misma probabilidad de venir de cualquier parte del intervalo (0,1) (Se muestran las 10 primeras como ejemplo)

 [1] 0.15271341 0.01764898 0.40004301 0.28040472 0.88542401 0.73335075
 [7] 0.98385487 0.44542767 0.11641029 0.81719163

Punto B

Genere 1000 coordenadas y: Y1,…,Y1000.Utilice la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1.La distribución uniforme genera variables aleatorias que tienen la misma probabilidad de venir de cualquier parte del intervalo (0,1) (Se muestran las 10 primeras como ejemplo)

 [1] 0.4062465 0.3434669 0.6975800 0.6439816 0.2888534 0.4773264 0.1703396
 [8] 0.6109309 0.3919933 0.2909186

Punto C

Cada punto (Xi,Yi) se encuentra dentro del círculo si su distancia desde el centro (0.5,0.5)es menor a 0.5. Para cada par (Xi,Yi) determine si la distancia desde el centro es menor a 0.5. Esto último se puede realizar al calcular el valor (Xi−0.5)2+(Yi−0.5)^2, que es el cuadrado de la distancia, y al determinar si es menor que 0.25. (Se muestran las 10 primeras como ejemplo)

Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 1 ): 0.1940292 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 2 ): 0.02066415 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 3 ): 0.04182758 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 4 ): 0.07596312 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 5 ): 0.1664504 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 6 ): 0.2995098 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 7 ): 0.03876521 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 8 ): 0.3769556 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 9 ): 0.09554393 
Cuadrado de la distancia desde el centro (Punto 10 ): 0.1057522 

Punto D

¿Cuántos de los puntos están dentro del círculo? ¿Cuál es su estimación de π? Nota: Con sólo 1000 puntos, es probable que su estimación sea inferior por 0.05 o más.Una simulación con 10000 y 100000 puntos tiene mayores probabilidades de dar como resultado una estimación muy cercana al valor verdadero.

La proporción de puntos dentro del círculo es: 0.778 

Estimación de π: 3.112