Kuantitas,fungsi,ruang

1.2 Fungsi

Fungsi, dalam arti matematika dan komputasi mereka, adalah pusat kalkulus. Pengantar Blok Pendahuluan ini dimulai, “Kalkulus adalah tentang perubahan, dan perubahan adalah tentang hubungan.” Ide fungsi matematika memberikan perspektif yang pasti tentang hal ini. Hubungan yang diwakili oleh fungsi adalah antara input fungsi dan output fungsi. Input mungkin hari-tahun1 dan curah hujan kumulatif keluaran hingga hari itu. Setiap hari hujan, curah hujan kumulatif meningkat.

Fungsi adalah konsep matematika untuk mengambil satu atau lebih input dan mengembalikan output. Dalam kalkulus, kita akan berurusan terutama dengan fungsi yang mengambil satu atau lebih kuantitas sebagai input dan mengembalikan kuantitas lain sebagai output.

Tetapi kadang-kadang kita akan bekerja dengan fungsi yang mengambil fungsi sebagai input dan mengembalikan kuantitas sebagai output. Dan bahkan akan ada fungsi yang mengambil fungsi sebagai input dan mengembalikan fungsi sebagai output.

Dalam definisi seperti $f(x)\equiv \sqrt{x}$ ingat $x$ sebagai nama input. Sejauh menyangkut definisi, $x$ hanyalah sebuah nama. Kita bisa saja menggunakan nama lain; Hanya konvensi yang menuntun kita untuk memilih $x$ . Definisi itu bisa sama baiknya $f(y)\equiv \sqrt{y}$ atau $f(\text{zebra})\equiv \sqrt{\text{zebra}}$ .

Notasi seperti $f(x)$ juga digunakan untuk sesuatu yang sama sekali berbeda dari definisi. Secara khusus, $f(x)$ bisa berarti menerapkan fungsi $f()$ ke kuantitas bernama $x$ . Anda selalu dapat mengetahui mana yang dimaksudkan—definisi fungsi atau penerapan fungsi—dengan apakah $\equiv$ Tanda terlibat dalam ekspresi.

Salah satu tanda akrab menerapkan fungsi adalah ketika isi tanda kurung bukan nama simbolis tetapi angka. Misalnya, ketika kita menulis $\sin (7.3)$ Kami memberikan nilai numerik $7.3$ ke fungsi sinus. Fungsi sinus kemudian melakukan perhitungannya dan mengembalikan nilai 0,8504366. Dengan kata lain, $\sin (7.3)$ sama sekali setara dengan 0,8504366.

Sebaliknya, menggunakan nama di atasnya sendiri di dalam tanda kurung menunjukkan bahwa nilai spesifik untuk input sedang ditentukan di tempat lain. Misalnya, ketika mendefinisikan fungsi kita sering akan menggabungkan dua atau lebih fungsi, seperti ini: $$g(x)\equiv \exp (x)\sin (x)$$ atau $$h(y,z)\equiv \ln (z)(\sin (z)-\cos (y)).$$

Si$y$ dan $z$ Di sisi kiri definisi adalah nama-nama input untuk $h()$ .2 Sisi kanan menjelaskan bagaimana membangun output, yang sedang dilakukan dengan menerapkan $\ln ()$ , $\sin ()$ dan $\cos ()$ ke input. Menggunakan nama di sisi kanan memberi tahu kita fungsi mana yang diterapkan pada input mana. Kita tidak akan tahu apa nilai-nilai spesifik yang akan dimiliki input tersebut sampai fungsinya $h()$ sedang diterapkan pada input, seperti dengan $$h(y=1.7,z=3.2).$$

Setelah kita memiliki input spesifik, kita (atau komputer) dapat menghubungkannya ke sisi kanan definisi untuk menentukan output fungsi: $$\ln (3.2)(\sin (3.2)-\cos (1.7))=1.163(-0.0584+0.1288)=-0.2178.$$