A soma de n variáveis aleatórias Exponenciais, cada uma com taxa igual a λ resulta em uma distribuição Gama com parâmetros λ e r. Considere 3 variáveis aleatórias independentes X1, X2 e X3, cada uma com distribuição exponencial com taxa igual a λ.

  1. Determine a média e a variância de X1, X2 e X3, diretamente do apêndice de distribuições (Mood).

De acordo com o apêndice do mood, temos:

\[ \begin{array}{llllllllll} Se \ X \ \sim \ Exp, \ E(X) \ = \frac{1}{\lambda} \\ Se \ X \ \sim \ Exp, \ Var(X) \ = \frac{1}{\lambda^2}\\ \end{array} \] Logo:

\[ \begin{array}{lllllll} E(X_1) \ = \ E(X_2) \ = \ E(X_3) \ = \ \frac{1}{\lambda}\\ Var(X_1) \ = \ Var(X_2) \ = Var(X_3) \ = \ \frac{1}{\lambda^2}\\ \end{array} \]

  1. Utilize as propriedades de média e variância da soma de variáveis aleatórias para calcular a média e a variância de X1 + X2 + X3.

De acordo com as propriedades de média e variância, temos:

\[ \begin{array}{llllll} E(X_1 \ + X_2 \ + X_3) \ = \ E(X_1) \ + \ E(X_2) \ + \ E(X_3); \\ Var(X_1 \ + X_2 \ + X_3) \ = \ Var(X_1) \ + \ Var(X_2) \ + \ Var(X_3); \end{array} \] A média:

\[ \begin{array}{lllllll} E(X_1 \ + X_2 \ + X_3) \ = \ E(X_1) \ + \ E(X_2) \ + \ E(X_3); \\ E(X_1 \ + X_2 \ + X_3) \ = \ \frac{1}{\lambda} \ + \frac{1}{\lambda} \ + \ \frac{1}{\lambda}; \\ E(X_1 \ + X_2 \ + X_3) \ = \ \frac{3}{\lambda};\\ \end{array} \]

A variância: \[ \begin{array}{lllllll} Var(X_1 \ + X_2 \ + X_3) \ = \ Var(X_1) \ + \ Var(X_2) \ + \ Var(X_3);\\ Var(X_1 \ + X_2 \ + X_3) \ = \frac{1}{\lambda^2} \ + \ \frac{1}{\lambda^2} \ + \ \frac{1}{\lambda^2};\\ Var(X_1 \ + X_2 \ + X_3) \ = \frac{3}{\lambda^2} \\ \end{array} \]

Verifique no apêndice do Mood que os valores calculados conferem.

De acordo com o apêndice do mood, temos que: \[ \begin{array}{llllllllllllllll} Se \ X \ \sim \ Gama, \ E(X) \ = \frac{r}{\lambda}; \\ Se \ X \ \sim \ Gama, \ Var(X) \ = \frac{r}{\lambda^2}\\ Lembrando \ que \ os \ parâmetros \ de \ uma \ Dist. \ Gama\ são: \ r > 0; \ \lambda > 0 \\ \end{array} \]

Comparando resultados,

A média:

\[ \begin{array}{llllllllllllllll} E(X_1 \ + X_2 \ + X_3) \ = \frac{r}{\lambda} \\ \frac{3}{\lambda} \ = \ \frac{r}{\lambda} \\ \end{array} \] A variância:

\[ \begin{array}{llllllllllllllll} Var(X_1 \ + X_2 \ + X_3) \ = \frac{r}{\lambda^2};\\ \frac{3}{\lambda^2} \ = \ \frac{r}{\lambda^2} \end{array} \]

Resolução: Para satisfazer as propriedades, r = 3. Logo:

\[ \begin{array}{llll} (X_1 \ + \ X_2 \ + \ X_3) \ \sim Gama \ (3 \ , \ \lambda) \ \\ \end{array} \]