Bootstap

1. Problema

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1 . Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2 , regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n , X∗1, X∗2, X∗2,X∗n, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯ , obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5.

Existen dos métodos para estimarlo:

• Método 1 (P2.5;P97.5)

• Método 2 (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

2. Objetivo

Estimar un intervalo de confianza del 95% para la media de la eficiencia de combustible (medida en millas por galón) de una población de camiones utilizando el método bootstrap, dada una muestra de datos proporcionada.

3. Proceso

Muestreo Bootstrap:

• Tomar la muestra original de eficiencias de combustible de los camiones (7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, y 4.45).
• Realizar un muestreo con reemplazo de esta muestra original muchas veces (en este caso, 1000 veces) para obtener muestras bootstrap.
• De cada muestra bootstrap, calcular la media.

Calculo del Intervalo de Confianza:

• Utilizando las medias calculadas en el paso anterior, identificar los percentiles P2.5 y P97.5 de las medias.
• Método 1: Establecer el intervalo de confianza directamente con los valores de P2.5 y P97.5.
• Método 2: Calcular el intervalo de confianza utilizando la fórmula que involucra la media de la muestra original y los percentiles obtenidos.

4. Desarrollo

# Datos de eficiencia de combustible
datos <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

# Función que calcula la media de una muestra bootstrap
media_muestra <- function(data, indices) {
  return(mean(data[indices]))
}

# Realizar bootstrap para obtener 10000 réplicas de la media
set.seed(123)  # Establecer una semilla para reproducibilidad
resultados_bootstrap <- boot(data = datos, statistic = media_muestra, R = 10000)

# Calcular intervalos de confianza usando ambos métodos

# Método 1: Usar percentiles directamente
ic_metodo_1 <- quantile(resultados_bootstrap$t, c(0.025, 0.975))

# Método 2: Usar la fórmula basada en la media de la muestra original
media_original <- mean(datos)
ic_metodo_2 <- c(2*media_original - ic_metodo_1[2], 2*media_original - ic_metodo_1[1])

# Imprimir resultados
print(paste("Intervalo de confianza Método 1: [", ic_metodo_1[1], ", ", ic_metodo_1[2], "]"))

## [1] "Intervalo de confianza Método 1: [ 4.71 ,  6.44442857142857 ]"

print(paste("Intervalo de confianza Método 2: [", ic_metodo_2[1], ", ", ic_metodo_2[2], "]"))

## [1] "Intervalo de confianza Método 2: [ 4.62414285714286 ,  6.35857142857143 ]"

#Crear un histograma de las medias bootstrapped utilizando las funciones base de R
hist(resultados_bootstrap$t, breaks = 30, main = "Histograma de Medias Bootstrapped", 
     xlab = "Media", col = "lightblue", border = "black")
abline(v = ic_metodo_1, col = "red", lty = 2) # Líneas rojas indican el intervalo de confianza del Metodo 01
abline(v = ic_metodo_2, col = "orange", lty = 2) # Líneas rojas indican el intervalo de confianza del Metodo 02

5. Observaciones

Intervalo de confianza Método 1: [4.71, 6.44442857142857]

Intervalo de confianza Método 2: [4.62414285714286, 6.35857142857143]

• Similitud: Ambos intervalos son bastante similares en términos de su rango, lo que indica que ambos métodos, a pesar de sus diferentes aproximaciones, proporcionan estimaciones consistentes para el intervalo de confianza de la media de la eficiencia de combustible.

• Cobertura: Ambos intervalos cubren un rango similar de valores, y el intervalo del Método 2 es ligeramente más estrecho que el del Método 1. Esto podría sugerir que el Método 2 proporciona una estimación ligeramente más precisa, pero también podría ser más susceptible a errores de tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera).

• Centrado en la muestra: El intervalo del Método 2, que está basado en una corrección que utiliza la media de la muestra original, parece estar ligeramente desplazado hacia valores más bajos en comparación con el Método 1.

6. Conclusión

Los intervalos de confianza obtenidos por ambos métodos son bastante similares en su rango, sugiriendo que proporcionan estimaciones consistentes de la media real de la eficiencia de combustible. Aunque el intervalo del Método 2 es ligeramente más estrecho y desplazado hacia valores más bajos, ambos intervalos reflejan una estimación confiable basada en la técnica bootstrap. En la práctica, la elección entre usar uno u otro dependerá del nivel de precisión deseado y del contexto específico del estudio. Dado que ambos intervalos son coherentes entre sí, es razonable tener confianza en estas estimaciones. Sin embargo, siempre es vital considerar otros factores como el tamaño de la muestra y las posibles fuentes de sesgo al tomar decisiones basadas en estos resultados.