1. Problema

La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuito con un área igual a π/4 , está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria n puntos dentro del cuadrado . La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4 . Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la estimación de π/4. De este último resultado se encontrar una aproximación para el valor de π.

2. Objetivo

Estimar el valor de π utilizando una simulación. Para hacer esto, vamos a realizar un proceso de muestreo aleatorio dentro del cuadrado y observar cuántos puntos caen dentro del círculo inscrito.

3. Proceso

En este problema, estamos trabajando con un cuadrado de lado 1 centrado en el origen (0,0), y un círculo inscrito en ese cuadrado con centro también en el origen (0,0) y radio 0.5.

La distancia desde cualquier punto (x, y) en el plano hasta el centro del círculo en el origen (0, 0) se puede calcular utilizando la fórmula de la distancia euclidiana en dos dimensiones:

Distancia = √((x - x_centro)^2 + (y - y_centro)^2)

En este caso, el centro del círculo está en (0, 0), por lo que x_centro = 0 y y_centro = 0. Simplificando, la fórmula se convierte en:

Distancia = √(x^2 + y^2)

Sin embargo, dado que el círculo tiene un radio de 0.5, solo estamos interesados en los puntos que están dentro del círculo. Por lo tanto, solo nos importan los puntos que cumplen con la siguiente condición:

x^2 + y^2 <= (radio^2)

Sustituyendo el valor del radio (0.5) en la ecuación, obtenemos:

x^2 + y^2 <= 0.25

Esta es la condición que usaremos para verificar si un punto (x, y) está dentro del círculo de radio 0.5 centrado en el origen.

En resumen, la fórmula de la distancia √((x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2) que se mencionó anteriormente es una manera de calcular la distancia desde un punto (x, y) en el plano hasta el centro del círculo en el origen, que nos permite verificar si el punto cae dentro del círculo inscrito en el cuadrado.

3. Desarrollo

Desarrollaremos una funcion en R llamada simulate_pi_estimation el cual realiza una simulación para estimar el valor de π. En cada simulación, se generan coordenadas aleatorias dentro de un cuadrado unitario y se calcula la distancia de cada punto al centro de dicho cuadrado. Luego, se determina cuántos puntos caen dentro de un círculo inscrito en el cuadrado, cuyo radio es la mitad del lado del cuadrado. Utilizando la proporción de puntos dentro del círculo con respecto al total de puntos generados, se estima el área del círculo y, por extensión, el valor de π. La función crea una gráfica que muestra los puntos dentro y fuera del círculo, así como el círculo y una leyenda descriptiva. También genera una tabla que muestra el número de puntos dentro y fuera del círculo, el porcentaje de puntos dentro del círculo, la distancia promedio de los puntos al centro, el porcentaje de error en la estimación de π y la propia estimación de π obtenida. El número de puntos de la simulación puede ser ajustado como parámetro de entrada para analizar el impacto de la precisión de la estimación en función del tamaño de la muestra.

NumeroDePuntos

puntosDentro

puntosFuera

PorcentajePuntosDentro

PorcentajePuntosFuera

PorcentajeError

PiEstimate

1,000

794

206

79.400

20.600

1.0952199

3.17600

10,000

7,816

2,184

78.160

21.840

0.4835972

3.12640

100,000

78,696

21,304

78.696

21.304

0.1988592

3.14784

4. Conclusión

Los resultados evidenciados en la tabla reflejan una tendencia clara: a medida que se incrementa el número de puntos utilizados en el cálculo, la estimación del valor de pi se vuelve más precisa. Esto destaca la importancia de recopilar una cantidad significativa de datos para obtener estimaciones matemáticas más confiables. Los resultados demuestran cómo una mayor cantidad de información puede conducir a una mejor aproximación de constantes matemáticas como pi.