DefiniciĆ³n del problema

Cuando se extrae una muestra de una poblaciĆ³n que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los mĆ©todos de estimaciĆ³n bootstrap. Esta metodologĆ­a supone que se puede reconstruir la poblaciĆ³n objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del mĆ©todo. Una presentaciĆ³n bĆ”sica del mĆ©todo se describe a continuaciĆ³n:

El artĆ­culo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galĆ³n de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta poblaciĆ³n. No se tiene informaciĆ³n de la distribuciĆ³n de los datos. El mĆ©todo bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el mĆ©todo suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este corresponderĆ­a al primer valor de la muestra bootstrap \(X_1^*\) . DespuĆ©s de anotado el valor se regresa \(X*_1\) a la caja y se extrae el valor \(X^*_2\), regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaƱo \(n\), \(X^*_1, X^*_2, X^*_2, X^*_n\), conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran nĆŗmero de muestras (suponga \(k = 1000\)). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(X^-_i\), obteniĆ©ndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_2.5\) y \(P_97.5\) . Existen dos mĆ©todos para estimarlo:

MĆ©todo 1 (\(P_2.5\); \(P_97.5\)) MĆ©todo 2 (\(2X^- āˆ’ P_97.5\); \(2X^- āˆ’ P_2.5\))

Construya el intervalo de confianza por los dos mĆ©todos y compare los resultados obtenidos. ĀæConfiarĆ­a en estas estimaciones?

Pasos

1. Primero debemos definir la muestra con los datos que nos da el enunciado

muestra <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

2. Ahora realizamos el mĆ©todo Bootstrap, definimos la constante K que es el nĆŗmero de muestra. TambiĆ©n definimos un vector donde almacenaremos los promedios.

k = 1000
medias_bs <- numeric(k)

Definimos una semilla para obtener los mismos resultados cada vez que ejecutemos el cĆ³digo

set.seed(123)

Y procedemos con el ciclo for para el mĆ©todo Boostrap, donde generaremos las muestras aleatorias con sustitutciĆ³n sobre la muestra inicial y luego, almacenaremos las medias en el vector ā€œmedias_bsā€ que fue definido anteriormente.

for (i in 1:k){
  muestra_bs <- sample(muestra, replace = TRUE)
  medias_bs[i] <- mean(muestra_bs)
}

Imprimimos los 10 primeros valores del vector para comprobar que estƩ generando correctamente.

head(medias_bs)
## [1] 4.885714 5.971429 5.310000 5.524286 6.210000 4.784286

3. El siguiente paso es calcular los percentiles 2.5 y 97.5

MĆ©todo 1 - Intervalo de confianza \(P_2.5 - P_97.5\)

m1_p2.5 <- quantile(medias_bs, 0.025)
m1_p97.5 <- quantile(medias_bs, 0.975)

MĆ©todo 2 - Intervalo de confianza \((2X^- - P_97.5; 2X^- - P_2.5)\)

prom_m2 <- mean(muestra)
prom_m2
## [1] 5.534286
m2_2x <- c(2 * prom_m2 - m1_p97.5, 2 * prom_m2 - m1_p2.5)

4. Imprimimos los intervalos de confianza

cat("Intervalo de confianza (MC)todo 1): [", m1_p2.5, ", ", m1_p97.5, "]\n")
## Intervalo de confianza (MC)todo 1): [ 4.748393 ,  6.508643 ]
cat("Intervalo de confianza (MC)todo 2): [", m2_2x[1], ", ", m2_2x[2], "]\n")
## Intervalo de confianza (MC)todo 2): [ 4.559929 ,  6.320179 ]

Y, finalmente, grƔficamos para soportar las respuestas a la pregunta planteada por el ejercicio.

GrƔficos

GrƔfica de densidad de las medias boostrap

density_plot <- density(medias_bs)
# Visualizar la grC!fica
plot(density_plot, main = "Densidad de las Medias Bootstrap", 
     xlab = "Media Bootstrap", ylab = "Densidad")
abline(v = prom_m2, col = "indianred2", lty = 2)  # LC-nea vertical en la media de la muestra
legend("topright", legend = "Media de la Muestra", col = "indianred2", lty = 2)

Creamos un histograma con las medias boostrap y lo comparamos con el histograma de la muestra original

hist(medias_bs, breaks = 20, main = "Histograma de las Medias Bootstrap", 
     xlab = "Media Bootstrap", ylab = "Frecuencia", col = 'cyan3')
abline(v = prom_m2, col = "salmon", lty = 2)  # LC-nea vertical en la media de la muestra
legend("topright", legend = "Media de la Muestra", col = "salmon", lty = 2)

hist(muestra, breaks = 10, main = "Histograma de los Datos Originales",
     xlab = "Eficiencia de Combustible", ylab = "Frecuencia")
abline(v = prom_m2, col = "red", lty = 2)  # LC-nea vertical en la media de la muestra
legend("topright", legend = "Media de la Muestra", col = "red", lty = 2)