Área de un cuadrado

El área de un cuadrado se calcula multiplicando la longitud de uno de sus lados por sí misma. Si llamamos “L” a la longitud de un lado del cuadrado, el área (A) se calcula como:

\[ A = L \times L \] \[ A = L^2 \]

Área de un círculo

El área de un círculo se calcula utilizando la fórmula:

\[ A = \pi r^2 \]

Donde “A” es el área del círculo, \(\pi\) (pi) es una constante aproximadamente igual a 3.14159, y “r” es el radio del círculo, que es la distancia desde el centro del círculo hasta cualquier punto de su borde.

Relación entre el área de un cuadrado y un círculo

La relación entre el área de un cuadrado y el área de un círculo se establece mediante una propiedad específica. Si tomamos un círculo y un cuadrado de manera que el cuadrado esté circunscrito (es decir, los vértices del cuadrado toquen la circunferencia del círculo), entonces podemos comparar sus áreas.

En este caso, el radio del círculo es igual a la mitad de la longitud de un lado del cuadrado (\(r = \frac{L}{2}\)). Sustituyendo esto en la fórmula del área del círculo:

\[ A_{\text{círculo}} = \pi \left(\frac{L}{2}\right)^2 \] \[ A_{\text{círculo}} = \pi \frac{L^2}{4} \]

Podemos observar que el área del círculo es \(\frac{\pi}{4}\) veces el área del cuadrado circunscrito. En otras palabras, el área del cuadrado es cuatro veces mayor que el área del círculo con el mismo radio.

Ahora podemos obtener una estimación de π a partir del área estimada del círculo, como sigue, simulando una nube de 1000 puntos obtendríamos lo siguiente

## Número de puntos: 1000 
## Área estimada del círculo: 0.79 
## Área estimada del cuadrado: 1 
## Estimación de π: 3.16

Y con 10000 puntos:

## Número de puntos: 10000 
## Área estimada del círculo: 0.7917 
## Área estimada del cuadrado: 1 
## Estimación de π: 3.1668

Y finalmente con 100000 puntos

## Número de puntos: 1e+05 
## Área estimada del círculo: 0.78576 
## Área estimada del cuadrado: 1 
## Estimación de π: 3.14304

Como se puede observar, al aumentar el número de puntos aleatorios el valor aproximado de π es cada vez más cercano.

Anexo

# Función para verificar si un punto (x, y) está dentro del círculo circunscrito
is_inside_circle <- function(x, y, radius) {
  distance <- sqrt((x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2)
  return(distance <= radius)
}

# Simulación de puntos en el cuadrado [0, 1] x [0, 1] y estimación de π
simulate_points <- function(num_points) {
  # Radio del círculo (la mitad de la longitud del lado del cuadrado)
  radius <- 0.5
  
  # Contadores para puntos dentro y fuera del círculo
  inside_circle <- 0
  outside_circle <- 0
  
  # Generar puntos aleatorios en el intervalo [0, 1] x [0, 1]
  for (i in 1:num_points) {
    x <- runif(1)  # Coordenada x entre 0 y 1
    y <- runif(1)  # Coordenada y entre 0 y 1
    
    # Verificar si el punto está dentro del círculo
    if (is_inside_circle(x, y, radius)) {
      inside_circle <- inside_circle + 1
    } else {
      outside_circle <- outside_circle + 1
    }
  }
  
  # Calcular el área estimada del círculo y el cuadrado
  estimated_circle_area <- (inside_circle / num_points) * 4 * radius^2
  estimated_square_area <- 1  # Área del cuadrado [0, 1] x [0, 1]
  
  # Estimar π a partir del área del círculo
  estimated_pi <- estimated_circle_area / (radius^2)
  
  # Imprimir resultados
  cat("Número de puntos:", num_points, "\n")
  cat("Área estimada del círculo:", estimated_circle_area, "\n")
  cat("Área estimada del cuadrado:", estimated_square_area, "\n")
  cat("Estimación de π:", estimated_pi, "\n")
}