Problema 2

ACTIVIDAD 2

Problema 2

Nos concentraremos en el estudio de los cuatro estimadores propuestos, especificamente evaluaremos su insesgadez, consistencia y eficiencia. La función “rdvar” nos permite generar una muestra con distribución exponencial de parametro \(\theta\) y \(n\) muestras. Cada una de estas muestras es diferente por cada llamada, por eso es importante no especificar ninguna semilla en ninguna parte del script.

La media teorica de cada muestra es \(E(\theta)=\frac{1}{\theta}\), por ello basta ver la media de los estimadores que hemos simulado y compararlo con este valor para diferentes tamaños de \(n\) y con esto evaluar la insesgadez y la consistencia. Para evaluar la eficiencia compararemos la varianza de las muestras.

library(knitr)
#No poner semilla, el programa no funciona si lo hace

#Números aleatorios generados a partir de una distribución exponencial con parametro dado
rdvar<-function(n,theta){
x<-rexp(n,rate=theta)
return(x)
}


#Estimadores
theta_1<-function(n,theta){
  return((rdvar(n,theta)+rdvar(n,theta))/6+(rdvar(n,theta)+rdvar(n,theta))/3)
  }
theta_2<-function(n,theta){
  return(rdvar(n,theta)+2*rdvar(n,theta)+3*rdvar(n,theta)+4*rdvar(n,theta)/5)
}
theta_3<-function(n,theta){
  return((rdvar(n,theta)+rdvar(n,theta)+rdvar(n,theta)+rdvar(n,theta))/4)
}
theta_4<-function(n,theta){
  return((pmin(rdvar(n,theta),rdvar(n,theta),rdvar(n,theta),rdvar(n,theta))
          +pmax(rdvar(n,theta),rdvar(n,theta),rdvar(n,theta),rdvar(n,theta)))/2)
}


#Insesgamiento

theta=20

mu<-1/theta #Media teorica

m<-c(20,50,100,1000)

#función insesgamiento
ins<-function(n,theta){
  v<-c(mean(theta_1(n,theta))-mu,mean(theta_2(n,theta))
       -mu,mean(theta_3(n,theta))-mu,mean(theta_4(n,theta))-mu)
  return(v)
}

df1<-data.frame("20"=(ins(20,theta)),
               "50"=(ins(50,theta)),
               "100"=(ins(100,theta)),
               "1000"=(ins(1000,theta)),check.names = FALSE)

rownames(df1)<-c("Theta_1","Theta_2","Theta_3","Theta_4")


kable(df1)

	20	50	100	1000
Theta_1	0.0034798	-0.0001893	0.0010478	-0.0017167
Theta_2	0.2019708	0.3204963	0.2700049	0.2893581
Theta_3	0.0009836	-0.0022579	-0.0006049	-0.0003092
Theta_4	0.0082528	0.0053949	0.0093025	0.0080680

Observando el comportamiento de los estimadores para los diferentes tamaños de muestra, observamos que \(\hat{\theta}_1\) y \(\hat{\theta}_3\) son insesgados pues su diferencia con la media es cercana a 0. Por otra parte, estimar \(\theta\) es equivalente a estimar \(\frac{1}{\theta}\), por ello para estudiar la consistencia basta ver la diferencia de entre la media muestral y teorica pero fijandonos en como varía este valor a medida que aumenta el tamaño de muestra.

#funcion varianza

dev<-function(n,theta){
  v<-c(var(theta_1(n,theta)),var(theta_2(n,theta)),
       var(theta_3(n,theta)),var(theta_4(n,theta)))
  return(v)
}

df2<-data.frame("20"=(dev(20,theta)),
                "50"=(dev(50,theta)),
                "100"=(dev(100,theta)),
                "1000"=(dev(1000,theta)),check.names = FALSE)

rownames(df2)<-c("Theta_1","Theta_2","Theta_3","Theta_4")

kable(df2)

	20	50	100	1000
Theta_1	0.0001574	0.0007264	0.0006588	0.0007145
Theta_2	0.0167199	0.0379041	0.0326097	0.0319915
Theta_3	0.0005540	0.0007163	0.0009297	0.0006572
Theta_4	0.0012204	0.0004126	0.0008392	0.0009499

Haciendo un análisis sobre los resultados obtenidos para la varianza, concluimos que el estimador más eficiente es \(\hat{\theta}_3\) (la media muestral), seguido por \(\hat{\theta}_1\), \(\hat{\theta}_4\) y \(\hat{\theta}_2\), respectivamente.