ACTIVIDAD 2

Problema 3

El teorema central del límite afirma que si \(X_1,X_2,...,X_n\) es una muestra aleatoria con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finitas entonces la proporción muestral \(\overline{X}_n \approx N(\mu,\sigma^2/n)\), por tanto para un tamaño de \(n\) pequeño, nuestra variable aleatoria con distribución Bernoulli tiene un comportamiento parecido al de una distribución normal. Esto se tiene pues si \(X_n\sim ber(p)\) es una muestra aleatoria entonces \(E(X_n)=p\) y \(Var(X_n)=p(1-p)\).

En el caso de que \(n\) sea grande, \(N(\mu,\sigma^2 / n) \approx N(\mu,0)\) , de manera que todos los puntos estarán cada vez más cerca de la media. Veremos este fenomeno presente en todas las simulaciones.

set.seed(356)
#Lote
data<-rbinom(1000,       #(Tamaño de poblacion,
                1,       # Numero de ensayos,
                0.5)     # probabilidad de exito cada caso, 50% enfermo 50% sano)

#Funcion proporción muestral(b)
samp<-function(n){
  s<-sample(data,n)
  return(mean(s))
}

#revisamos el estimador P para la muestra de 1000
samp(1000)
## [1] 0.506
#Funcion que me añadiendo el resultado de cada vez que tomo muestra sobre la poblacion
sim<-function(n){
  v<-c()
  for(i in 1:n){
  #v<-append(v,samp(i))
    set.seed(i)
    v<-append(v,samp(n))
  }
  return(v)
}

Encontramos que para el estimador de la distribucion generada por rbinom de 506 plantas de las 1000 estan enfermas, ahora revisamos para una muestra 500

Caso n=500

Si \(n=500\), obtenemos los siguientes resultados

n_muestra<-500
samp(n_muestra)*n_muestra
## [1] 254
samp(n_muestra)
## [1] 0.482

Para una muestra de 500 sobre la poblacion de 1000 nos encontramos cerca de 261, lo que quiere decir que de una muestra de 500 plantas el \(49\%\) esta enferma.

s<-sim(500)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.99732, p-value = 0.5995

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p > 0,05 implica que la distribución de los datos no es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, podemos asumir la normalidad. La prueba de normalidad es sensible al tamaño de la muestra. Las muestras pequeñas suelen pasar pruebas de normalidad. Por lo tanto, es importante combinar la inspección visual y la prueba de significancia para tomar la decisión correcta. Donde tambien nos encontramos una linea casi diagonal, podriamos opinar que se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos simetría respecto a la media y baja dispersión.

Caso n=5

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(5)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.96086, p-value = 0.814

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p > 0,05 implica que la distribución de los datos no es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, podemos asumir la normalidad. La prueba de normalidad es sensible al tamaño de la muestra. Las muestras pequeñas suelen pasar pruebas de normalidad. Por lo tanto, es importante combinar la inspección visual y la prueba de significancia para tomar la decisión correcta. Donde no encontramos una linea casi diagonal, podriamos opinar que no se puede aceptar con certeza que tiene una distribucion normal. Observamos simetría respecto a la media y alta dispersión.

Caso n=10

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(10)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.84074, p-value = 0.04503

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p < 0,05 implica que la distribución de los datos es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, no podemos asumir la normalidad. Con la inspección visual notamos que los puntos no forman una diagonal, podriamos opinar que no se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos que no hay simetría respecto a la media y alta dispersión.

Caso n=15

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(15)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.88918, p-value = 0.06518

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p > 0,05 implica que la distribución de los datos no es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, podemos asumir la normalidad. La prueba de normalidad es sensible al tamaño de la muestra. Las muestras pequeñas suelen pasar pruebas de normalidad. Por lo tanto, es importante combinar la inspección visual y la prueba de significancia para tomar la decisión correcta. Donde no encontramos una linea casi diagonal, podriamos opinar que no se puede aceptar con certeza que tiene una distribucion normal. Observamos simetría respecto a la media y alta dispersión.

Caso n=20

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(20)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.92685, p-value = 0.1343

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p > 0,05 implica que la distribución de los datos no es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, podemos asumir la normalidad. La prueba de normalidad es sensible al tamaño de la muestra. Las muestras pequeñas suelen pasar pruebas de normalidad. Por lo tanto, es importante combinar la inspección visual y la prueba de significancia para tomar la decisión correcta. Donde tambien nos encontramos una linea casi diagonal, podriamos opinar que se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos simetría respecto a la media y algo de dispersión.

Caso n=30

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(30)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.96075, p-value = 0.3236

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p > 0,05 implica que la distribución de los datos no es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, podemos asumir la normalidad. La prueba de normalidad es sensible al tamaño de la muestra. Las muestras pequeñas suelen pasar pruebas de normalidad. Por lo tanto, es importante combinar la inspección visual y la prueba de significancia para tomar la decisión correcta. Donde tambien nos encontramos una linea casi diagonal, podriamos opinar que se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos simetría respecto a la media y alta dispersión.

Caso n=50

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(50)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.95665, p-value = 0.06436

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p > 0,05 implica que la distribución de los datos no es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, podemos asumir la normalidad. La prueba de normalidad es sensible al tamaño de la muestra. Las muestras pequeñas suelen pasar pruebas de normalidad. Por lo tanto, es importante combinar la inspección visual y la prueba de significancia para tomar la decisión correcta. Donde tambien nos encontramos una linea casi diagonal, podriamos opinar que se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos simetría respecto a la media y alta dispersión.

Caso n=60

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(60)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.96219, p-value = 0.06021

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p > 0,05 implica que la distribución de los datos no es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, podemos asumir la normalidad. La prueba de normalidad es sensible al tamaño de la muestra. Las muestras pequeñas suelen pasar pruebas de normalidad. Por lo tanto, es importante combinar la inspección visual y la prueba de significancia para tomar la decisión correcta. Donde tambien nos encontramos una linea casi diagonal, podriamos opinar que se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos simetría respecto a la media y alta dispersión.

Caso n=100

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(100)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.9783, p-value = 0.09786

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p > 0,05 implica que la distribución de los datos no es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, podemos asumir la normalidad. Por lo tanto, es importante combinar la inspección visual y la prueba de significancia para tomar la decisión correcta. Donde tambien nos encontramos una linea casi diagonal, podriamos opinar que se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos simetría respecto a la media y alta dispersión.

Caso n=200

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(200)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.99149, p-value = 0.2913

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p > 0,05 implica que la distribución de los datos no es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, podemos asumir la normalidad. Por lo tanto, es importante combinar la inspección visual y la prueba de significancia para tomar la decisión correcta. Donde tambien nos encontramos una linea casi diagonal, podriamos opinar que se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos simetría respecto a la media y baja dispersión.

Otros casos

Ahora bien, para el caso en que la proporción de plantas enfermas sea \(10\%\) y \(90\%\) observaremos que una alta concentración de valores se alrededor de 0.1 y 0.9 respectivamente. Esto se tiene pues si \(X_n \sim ber(0.9)\) entonces \(X\approx N(0.9,0.09)\) cuando \(n \rightarrow \infty\). Además, si \(X \sim ber(0.1)\) entonces \(X\approx N(0.1,0.09)\) cuando \(n \rightarrow \infty\).

Si \(p=0.9\) y \(n=5\) se tiene normalidad, en todos los demás casos con una significancia del \(95\%\) no se pasa la prueba de normalidad para ningún valor de \(n\) .Veamos algunos ejemplos de simulaciones que evidencian esto

Resultados con 90% De la Poblacion Enferma

#Lote
data<-rbinom(1000,1,0.9)

#Funcion proporción muestral(b)
samp<-function(n){
  s<-sample(data,n)
  return(mean(s))
}

#Procedimiento descrito en c


sim<-function(n){
  v<-c()
  for(i in 1:n){
  set.seed(i)
  v<-append(v,samp(n))
  }
  return(v)
}

Caso \(n=5\)

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(5)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.68403, p-value = 0.00647

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p < 0,05 implica que la distribución de los datos es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, no podemos asumir la normalidad. Con la inspección visual notamos que los puntos no forman una diagonal, podriamos opinar que no se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos que no hay simetría respecto a la media y alta dispersión.

Caso \(n=30\)

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(30)  
qqnorm(s)  
qqline(s)  

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.93078, p-value = 0.0515

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p < 0,05 implica que la distribución de los datos es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, no podemos asumir la normalidad. Con la inspección visual notamos que los puntos no forman una diagonal, podriamos opinar que no se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos que no hay simetría respecto a la media y alta dispersión.

Caso \(n=200\)

Caso \(n=200\)

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(200)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.98868, p-value = 0.1139

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p > 0,05 implica que la distribución de los datos no es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, podemos asumir la normalidad. La prueba de normalidad es sensible al tamaño de la muestra. Las muestras pequeñas suelen pasar pruebas de normalidad. Donde tambien nos encontramos una linea casi diagonal, podriamos opinar que se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos simetría respecto a la media y alta dispersión.

Resultados con 10% De la Poblacion Enferma

#Lote
data<-rbinom(1000,1,0.1)

#Funcion proporción muestral(b)
samp<-function(n){
  s<-sample(data,n)
  return(mean(s))
}

#Procedimiento descrito en c


sim<-function(n){
  v<-c()
  for(i in 1:n){
  set.seed(i)
  v<-append(v,samp(n))
  }
  return(v)
}

Caso \(n=5\)

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(5)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.68403, p-value = 0.00647

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p < 0,05 implica que la distribución de los datos es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, no podemos asumir la normalidad. Con la inspección visual notamos que los puntos no forman una diagonal, podriamos opinar que no se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos que no hay simetría respecto a la media y alta dispersión.

Caso \(n=30\)

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(30) 
qqnorm(s) 
qqline(s) 

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.93078, p-value = 0.0515

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p < 0,05 implica que la distribución de los datos es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, no podemos asumir la normalidad. Con la inspección visual notamos que los puntos no forman una diagonal, podriamos opinar que no se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos que no hay simetría respecto a la media y alta dispersión.

Caso \(n=200\)

Obtenemos los siguientes resultados

s<-sim(200)
qqnorm(s)
qqline(s)

shapiro.test(s)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  s
## W = 0.98868, p-value = 0.1139

Según el resultado del test de Shapiro-Wilk, el valor p > 0,05 implica que la distribución de los datos no es significativamente diferente de la distribución normal. En otras palabras, podemos asumir la normalidad. Por lo tanto, es importante combinar la inspección visual y la prueba de significancia para tomar la decisión correcta. Donde tambien nos encontramos una linea casi diagonal, podriamos opinar que se acepta que tiene una distribucion normal. Observamos simetría respecto a la media y alta dispersión.

Conclusiones del ejercicio

Como observamos, aunque en muestras bajas puede que dar o no cumplir como distribución normal, sobre todo cuando la proporcion de plantas enfermas y sanas no es similar, a medida que aumentamos el número de muestras de la población más se asemeja a una distribución normal. Por tanto podemos concluir que el teorema del límite central se cumple.

El ejercicio suele requerir de una muestra más grande para llegar a una distribución normal cuando la proporción enferma no es 50% y 50% , mientras que cuando la proporción de enfermas y sanas es igual se puede comenzar a ver con muestras bajas que comienza a tender a una distribución normal

Aunque el test de Shapiro-Wilk puede ser útil para determinar la normalidad de la distribución de una muestra, pero es importante tambien ayudarnos con la prueba visual de QQPLOT que compara los quantiles, para ver que tanto se parecen. Esto debido a que el test de Shapiro-Wilk es sensible al tamaño de la población, entre más completo sea el análisis más podemos asegurarnos de que si nos enfrentamos a una distribución normal.