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Definición.

La regresión Poisson es un modelo adecuado cuando la variable de respuesta representa un conteo de algún elemento, generalmente de ocurrenci rara. Se modela la relación entre los conteos observados y variables regresoras o predictoras que expliquen el conteo.

El modelo se expresa de la forma:

\[\begin{equation*} \hat{y_{i}}=exp(x'_{i}\hat{\beta} \end{equation*}\]

La inferencia sobre el modelo y sus parámetros sigue el mismo método que para la regresión logística.

Datos.

Los datos son del libro Introducción al análisis de Regresión Lineal de Montgomery-Peck-Vining. Página418.

x<-c(4,4,4,5,5,5,6,6,6,7,7,7,8,8,8,7,7,7,10,10,10,12,12,12,8,8,8,14,14,14)
y<-c(0,1,0,0,0,0,1,0,0,2,1,1,1,1,2,3,1,1,1,2,0,1,1,2,5,1,1,5,5,7)

Gráfico.

plot(x,y)

Regresión Poisson.

modelo<-glm(y~x,family = poisson(link = "log"))
summary(modelo)
## 
## Call:
## glm(formula = y ~ x, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept) -1.70097    0.50685  -3.356 0.000791 ***
## x            0.23112    0.04677   4.942 7.72e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 53.883  on 29  degrees of freedom
## Residual deviance: 29.206  on 28  degrees of freedom
## AIC: 86.902
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 5

El modelo.

\[\begin{equation*} \hat{y}=e^{-1.700966+0.2311225 x} \end{equation*}\]

Intervalo de confianza para los parámetros del modelo.

cbind(coef(modelo), confint(modelo))
## Waiting for profiling to be done...
##                             2.5 %     97.5 %
## (Intercept) -1.7009658 -2.7501150 -0.7546653
## x            0.2311225  0.1402808  0.3244861
predict(modelo)
##           1           2           3           4           5           6 
## -0.77647579 -0.77647579 -0.77647579 -0.54535329 -0.54535329 -0.54535329 
##           7           8           9          10          11          12 
## -0.31423079 -0.31423079 -0.31423079 -0.08310828 -0.08310828 -0.08310828 
##          13          14          15          16          17          18 
##  0.14801422  0.14801422  0.14801422 -0.08310828 -0.08310828 -0.08310828 
##          19          20          21          22          23          24 
##  0.61025922  0.61025922  0.61025922  1.07250423  1.07250423  1.07250423 
##          25          26          27          28          29          30 
##  0.14801422  0.14801422  0.14801422  1.53474924  1.53474924  1.53474924

Akaike

AIC(modelo)
## [1] 86.90196

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O.M.F.

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