Analiza strategii inwestycyjnej opartej na kointegracji szeregów czasowych (pair trading)
Małgorzata Mąkosa, Anna Puławska
Thursday, September 10, 2015
WSTĘP
Pair-trading jest spekulacyjną strategią inwestycyjną. Polega na wyborze pary spółek, których ceny podążają w tym samym kierunku. Inwestor dokonuje zakupu akcji spółki niedowartościowanej, a sprzedaży akcji spółki przewartościowanej, jeśli krótkookresowa nierównowaga osiągnie wybrany arbitralnie próg. Zaistniała sytuacja jest okazją do zysków, jeśli cena powróci do średniego wskaźnika. W literaturze (Do, 2006) wyróżnia się dodatkowo trzy koncepcje powyższej strategii: podejście stochastyczne (stochastic spread method), metodę odległości (distance method) oraz metodę kointegracji (cointegration method).
Celem pracy jest weryfikacja skuteczności strategii inwestycyjnej pair-trading opartej na kointegracji szeregów czasowych cen dwóch spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie.
Na podstawie analizy dla okresu in-sample (2011.01.01–2013.12.31) wybrano pięć skointegrowanych ze sobą par spółek, co wymagało zbadania stopnia zintegrowania poszczególnych zmiennych, wyestymowania wektorów kointegrujących przy pomocy regresji MNK oraz przetestowania stacjonarności relacji długookresowych (reszty z uzyskanych wcześniej modeli regresji). Następnie dla rozpatrywanych par w okresie testowym dokonano symulacji wyboru indywidualnych progów otwarcia i zamknięcia pozycji. Uzyskana strategia z okresu in-sample została zastosowana dla okresu out-of-sample (2014.01.01 – 2015.07.05). Ważnym założeniem jest fakt, iż spółki w okresie out-of-sample nadal są skointegrowane w takim samym stopniu jak w okresie in-sample (ten sam wektor kointegrujący). Ostatecznie stworzono portfel złożony ze wszystkich rozpatrywanych par. Każda analiza została podsumowana statystykami opisującymi zyskowność strategii.
DANE
Analizie zostały poddane spółki notowane na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie, których ceny akcji są ze sobą skointegrowane w okresie in-sample. Dane zostały zaczerpnięte z strony http://stooq.com/.
ZAŁOŻENIA STRATEGII:
- Okres in-sample: od 2011-01-01 do 2013-12-31.
- Okres out-of-sample: od 2014-01-01 do 2015-06-30.
Krótka sprzedaż dozwolona bez ograniczeń. Wymagany depozyt w wysokości 100% wartości krótkiej sprzedaży. Sygnały otwarcia/zamknięcia zdefiniowano po cenach zamknięcia. Pozycje otwieramy/zamykamy po cenach otwarcia następnego dnia. Otwarcie pozycji następuje w momencie, kiedy krótkookresowa nierównowaga osiągnie +/-1 lub 1,5 lub 2 historyczne odchylenia standardowe od nierównowagi krótkookresowej: pozycja długa w spółce względnie niedoszacowanej, pozycja krótka w spółce względnie przeszacowanej. Próg został wybrany indywidualnie dla każdej z par spółek po przeprowadzeniu symulacji w okresie in-sample. Wartości sygnałów otwarcia pozycji wybrano na podstawie pracy Kishore (2012). Ponadto przy otwarciu pozycji założono równe udziały co do wartości pozycji krótkiej i długiej. Natomiast pozycje zamykamy po osiągnieciu przez nierównowagę krótkookresową poziomu 0.
Analiza poszczególnych par spółek została przeprowadzona w dwóch wariantach, z pominięciem kosztów transakcyjnych oraz z uwzględnieniem tego aspektu w wysokości 0.1% od wartości pozycji (zarówno przy otwarciu jak i przy zamknięciu pozycji). Praca Bowen (2010) wskazuje, iż koszty transakcyjne znacznie obniżają zannualizowane stopy zwrotu, dlatego też zastosowano powyższy zabieg, który miał na celu sprawdzenie wpływu kosztów transakcyjnych na zyskowność strategii.
Ponadto, jeśli w okresie in-sample lub out-of-sample do końca analizowanego okresu pozycja pozostaje otwarta to zostaje ona zamknięta po cenie zamknięcia z ostatniego dnia notowania dla badanego okresu
Stopa wolna od ryzyka została przybliżona notowaniami WIBOR3M natomiast, jako indeks giełdowy (rynku) przyjęto WIG20.
Zyskowność strategii została opisana następującymi statystykami:
Zannualizowana geometryczna stopa zwrotu: (Jajuga 2008, 178-179) \[r = (\prod\limits_{i=1}^{n}(1+r_i))^\frac{252}{n} - 1\]
Zannualizowane odchylenie standardowe (Jajuga 2008, 185) jest miarą ryzyka papieru wartościowego, które wynika z niepewności, co do zrealizowania oczekiwanej stopy zwrotu i wynika de facto z jej losowości. \[\sigma = \sqrt{252\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(r_i-\bar{r})^2}{n-1}}\]
Stopa zwrotu oraz odchylenie standardowe to dwie podstawowe charakterystyki, którymi może kierować się inwestor. Optymalna strategia inwestycyjna dla racjonalnego inwestora powinna polegać na jednoczesnej minimalizacji ryzyka i maksymalizacji dochodu, jednakże zazwyczaj jest to strategia nieosiągalna, gdyż wzrost stopy zwrotu wiąże się ze wzrostem ryzyka.
Współczynnik zmienności (Jajuga 2008, 191-192) Wskaźnikiem, który pozwala połączyć obie powyższe przeciwstawne miary jest współczynnik zmienności, który wyznacza wielkość ryzyka na jednostkę oczekiwanego zysku. Na jego podstawie po przeprowadzonej symulacji zostały wybrane indywidualne progi otwarcia pozycji dla każdej z badanych par spółek.
\[ V=\frac{\sigma}{r} \]
Współczynnik beta, opisujący reakcję stopy zwrotu danej spółki na zmianę indeksu rynku (przyjęto WIG20). (Jajuga 2008, 240) \[ \beta = \frac {\sum\limits_{i=1}^{n}(r_i-\bar{r})(r_{mi}-\bar{r_m})}{\sum\limits_{i=1}^{n}(r_{mi}-\bar{r_m})^2} \]
Wskaźnik Sharpe’a oznaczający wielkość premii za ryzyko przypadającej na jednostkę ryzyka całkowitego. Czym wyższa wartość tym inwestycja jest bardziej zyskowna. (Jajuga 2008, 257) Stopę zwrotu wolną od ryzyka przybliżono notowaniami WIBOR3M po odpowiednich przekształceniach.
\[SH=\frac{\bar{r}-\bar{r_f}}{\sigma}\]
Maksymalne obsunięcie kapitału (maximum drawdown) Wskaźnik określający ryzyko inwestycji, przedstawia ile najwięcej (a nie średnio) można było stracić na strategii, mierzony w ujęciu procentowym. Wielkość opisuje najgorszy możliwy dla inwestora scenariusz polegający na kupnie na szczycie i sprzedaży po najniższej cenie lecz przed osiągnięciem następnego szczytu.
ANALIZA STRATEGII PAIR TRADING
Do analizy pair trading wykorzystano notowania 7 spółek, z których utworzono 5 par skointegrowanych. W ich skład wchodzą spółki z kilku branż, t.j. mediowej - Cyfrowy Polsat S.A. (CPS) , bankowej – Bank Handlowy w Warszawie S.A. (BHW), mBank S.A. (MBK), Bank Polska Kasa Opieki S.A. (PEO), ING Bank Śląski S.A. (ING), chemicznej – Grupa Azoty S.A. (ATT), czy ubezpieczeniowej – Powszechny Zakład Ubezpieczeń S.A.(PZU).
Poniżej przedstawiono analizę każdej z wybranych par spółek:
- CyfrowyPolsat S.A., Bank Handlowy w Warszawie S.A.;
- CyfrowyPolsat S.A., mBank S.A.;
- Bank Handlowy w Warszawie S.A., Bank Polska Kasa Opieki S.A.;
- Grupa Azoty S.A., PZU S.A.;
- ING Bank Śląski S.A., PZU S.A.
1. Cyfrowy Polsat S.A. oraz Bank Handlowy w Warszawie S.A.
1.1. Wstępna analiza danych
Analiza graficzna cen zamknięcia w czasie pierwszej z wymienionych spółek potwierdza, iż przedstawiony proces jest niestacjonarny, oraz przypomina błądzenie losowe. Do 2013 roku szereg utrzymuje się na podobnym poziomie, później następuje jego spokojny, jednakże znaczny wzrost. Ciągłe zwroty spółki Cyfrowy Polsat oscylują wokół jednego poziomu, ich amplituda wygląda na względnie stałą.
W przypadku drugiej spółki ceny zamknięcia zdają się kształtować podobnie. Przypuszczenie o niestacjonarności szeregu wydaje się być uzasadnione, biorąc pod uwagę oscylującą wokół jednego poziomu cenę zamknięcia do połowy 2011 roku, jej gwałtowny spadek, oraz powolny wzrost aż do połowy 2013 roku. Notowania w drugiej połowie 2013 roku charakteryzują gwałtowniejsze wzrosty i spadki ceny. Po jednokrotnym różnicowaniu, szereg kształtuje się wokół jednej wartości, jednakże wahania nie wyglądają na stałe w czasie.
Przechodząc do testów badających autokorelację oraz zintegrowanie szeregu nie mogą pozostać niezauważalne statystyki Breuscha-Godfreya, które jasno wskazują na brak autokorelacji dla zerowej liczby opóźnień obu badanych szeregów (p-value dla Cyfrowy Polsat: 0.8314798>0.05; p-value dla Bank Handlowy: 0.9874252>0.05 - brak podstaw do odrzucenia Ho o braku autokorelacji). Jednakże statystyki ADF (Cyfrowy Polsat:-1.466213, Bank Handlowy:-1.191461 ) są większe od wartości krytycznej (-2,86), co wskazuje na niestacjonarność szeregów (brak podstaw do odrzucenia Ho).
Wyniki testu ADF dla spółki Cyfrowy Polsat.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -1.466213 >10pct 4.528558e-02 0.8314798
## 3 1 -1.471556 >10pct 4.958791e-05 0.9943814Wyniki testu ADF dla spółki Bank Handlowy.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -1.191461 >10pct 0.0002484047 0.9874252
## 3 1 -1.193883 >10pct 0.0006494234 0.9796691Rozwiązaniem problemu okazuje się jednokrotne różnicowanie spółek – obie są zintegrowane w stopniu pierwszym \(I{\sim}\{1\}\) na poziomie istotności \(\alpha=1\%\).
Wyniki testu ADF dla pierwszych różnic cen zamknięcia spółki Cyfrowy Polsat.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -27.18689 <1pct 0.0005725087 0.9809107Wyniki testu ADF dla pierwszych różnic cen zamknięcia spółki Bank Handlowy.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -27.33776 <1pct 7.471817e-06 0.9978191.2. Kointegracja.
Po zbadaniu stopnia zintegrowania zmiennych należy przejść do sprawdzenia kointegracji. Wykres przedstawiający przebieg obu funkcji nie wskazuje jednoznacznie na ich skointegrowanie. Analiza graficzna jest niewystarczająca ze względu na dużą różnicę w wartościach obu szeregów.
Przeprowadzenie regresji MNK cen zamknięcia Cyfrowego Polsatu na cenach Banku Handlowego pozwala na wyznaczenie wektora kointegrującego, który kształtuje się następująco: [1; -4.48; -0.16].
Estymacja wektora kointegrującego:
##
## Call:
## lm(formula = CYFRPLSAT_IN$CYFRPLSAT ~ HANDLOWY_IN$HANDLOWY)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.0858 -0.7245 -0.1647 0.6644 4.1901
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 4.483428 0.232530 19.28 <2e-16 ***
## HANDLOWY_IN$HANDLOWY 0.161371 0.003179 50.77 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.231 on 745 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7758, Adjusted R-squared: 0.7755
## F-statistic: 2578 on 1 and 745 DF, p-value: < 2.2e-16Reszty uzyskane w modelu zgodnie ze statystyką DF = -3.98 są stacjonarne (odrzucamy Ho o niestacjonarności reszt na poziomie istotności 5%). Statystyka BG = 1.12, p-value = 0.29>0.05 wskazuje, iż nie ma podstaw do odrzucenia Ho o braku autokorelacji reszt. Wybraną parę spółek można określić mianem skointegrowanych.
Wyniki testu ADF dla reszt z równania regresji.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -3.979152 <1pct 1.125763 0.28868081.3. Wstępna anliza: wybór strategii.
W okresie in-sample dla rozpatrywanej pary spółek Cyfrowy Polsat i Bank Handlowy dokonano symulacji wyboru indywidualnego progu otwarcia i zamknięcia pozycji. Testowano następujące wielkości: +/-1, +/-1,5 oraz +/-2 historycznego odchylenia standardowego nierównowagi krótkookresowej. Ponadto analiza poszczególnych par spółek została przeprowadzona w dwóch wariantach, z pominięciem kosztów transakcyjnych oraz z uwzględnieniem tego aspektu w wysokości 0.1% od wartości pozycji (zarówno przy otwarciu jak i przy zamknięciu pozycji).
Wyniki przeprowadzonej symulacji
| statystyki | Threshold_1sd | Threshold_1sd_costs | Threshold_1.5sd | Threshold_1.5sd_costs | Threshold_2sd | Threshold_2sd_costs |
|---|---|---|---|---|---|---|
| zannualizowana stopa zwrotu | 0.1770615 | 0.1757308 | 0.1504434 | 0.1494871 | 0.1054097 | 0.1050159 |
| zannualizowane odchylenie standardowe | 0.1456371 | 0.1456301 | 0.1220068 | 0.1219922 | 0.0797913 | 0.0797814 |
| współczynnik zmienności | 0.8225228 | 0.8287115 | 0.8109815 | 0.8160716 | 0.7569635 | 0.7597073 |
Kryterium porównawczym pomiędzy wyróżnionymi strategiami będzie minimalizacja współczynnika zmienności, bowiem w każdym z przypadków uzyskano dodatnią stopę zwrotu. Na podstawie wskaźnika optymalną strategią dla racjonalnego inwestora jest wybór Threshold_2sd. Ponadto zannualizowana stopa zwrotu nie różni się znacząco w przypadku uwzględnienia kosztów transakcyjnych, dlatego też w naszej analizie nie uwzględnimy tego aspektu. Podczas symulacji uzyskano inne wyniki niż w pracy Bowena (2010). Głównym powodem różnic jest założony niski poziom kosztów transakcyjnych – 0,1% od wartości pozycji.
1.4. Nierównowaga krótkookresowa oraz strategia.
Poniżej przedstawiona została nierównowaga krótkookresowa uzyskana jako reszty przeprowadzonej wcześniej regresji. W celu wyznaczenia punktów zamknięcia oraz otwarcia strategii obliczono średnią nierównowagę (bliską 0, kolor czerwony) oraz jej odchylenie standardowe (1.23) w okresie in-sample. Na podstawie wstępnej analizy trafnym w tym przypadku okazał się wybór thresholdu na poziomie 2 odchyleń (kolor niebieski). Pozwoliło to na otwarcie pozycji trzy razy. Punkty otwarcia pozycji oznaczone zostały kolorem zielonym, czarnym natomiast punkty zamknięcia.
Przeniesienie strategii opracowanej na podstawie okresu in-sample niestety nie sprawdza się w out-of-sample. Po wyznaczeniu spredu za pomocą wektora kointegrującego z okresu in-sample nasza strategia pozwala na otwarcie i zamknięcie pozycji tylko raz od początku 2014 roku. Wykres wskazuje jednoznacznie, iż wyniki strategii w out-of-sample będą znacznie odbiegać od tych uzyskanych na podstawie danych historycznych. Obliczony spread nie oscyluje wokół średniej nierównowagi - początkowo rzeczywiście skupia się wokół niej, później natomiast wzrasta, oraz kształtuje się powyżej dodatniego thresholdu. Jest to zupełnie inny kierunek zmian niż ten zakładany przy konstruowaniu strategii.
1.5. Equity Line oraz zyskowność strategii.
Equity Line stworzonego portfela uświadamia, iż nie wykorzystano większości czasu strategii. Pierwsza inwestycja została wykonana dopiero na koniec 2013 roku. Jednakże od tego momentu wartość portfela wzrasta, co ostatecznie pozwala na osiągnięcie zysku. Strategia buy&hold przynosi niższe rezultaty niż pair trading.
Wykres portfela w okresie out-of-sample wskazuje na niewłaściwy dobór strategii. Osiągnięta zostaje strata, widoczne są duże fluktuacje oraz regularny spadek wartości portfela od podjęcia otwarcia pozycji. Strategia buy&hold jest bardziej opłacalna.
Zyskowność strategii pair trading w okresie in-sample i out-of-sample.
| statystyki | in_sample | out_of_sample |
|---|---|---|
| zannualizowana stopa zwrotu | 0.1054097 | -0.0487714 |
| zannualizowane odchylenie standardowe | 0.0797913 | 0.1235464 |
| współczynnik Sharpe’a | 0.0488075 | -0.0331758 |
| współczynnik beta | 0.0223738 | -0.0308005 |
| maksymalne obsunięcie kapitału | 0.0616084 | 0.1276882 |
Zgodnie z geometryczną stopą zwrotu w okresie in-sample osiągnięty został zysk na poziomie 10%, natomiast w out-of-sample strata na poziomie 5%. Odchylenia standardowe również różnią się między okresami, większym ryzykiem charakteryzuje się strategia zaimplementowana w okresie out-of-sample (zannualizowane odchylenie równe 0.12). Świadczy również o tym maksymalne obsunięcie kapitału dużo wyższe w drugim okresie. Co więcej współczynnik Sharpe’a także potwierdza powyższe rozważania o niedopasowaniu przyjętej strategii.
2. CyfrowyPolsat S.A. oraz mBank S.A.
2.1. Wstępna analiza danych
Ponieważ w poprzednim przykładzie przeanalizowana została już spółka Cyfrowy Polsat S.A wstępna analiza danych zostanie pominięta. W ramach przypomnienia szereg cen zamknięcia Cyfrowego Polsatu okazał się zintegrowany w stopniu pierwszym. 
Notowania spółki mBank S.A. nie ulegają dużym wahaniom, największy spadek ceny nastąpił w trzecim kwartale 2011 roku. Przez następne dwa lata szereg kształtuje się na podobnym poziomie, lekko przy tym wzrastając. Na koniec okresu In-sample pojawia się jego bardziej stanowczy wzrost. Na pierwszy rzut oka notowania nie charakteryzują się stacjonarnością, jednakże ich zwroty prawdopodobnie już tak. Oscylują one wokół jednego poziomu, oraz poza momentami spadku i wzrostu cen opisanymi powyżej wyglądają na względnie stałe.
Powyższe rozważania potwierdzają testy już wcześniej wykorzystywane. Notowania nie podlegają autokorelacji, oraz ich pierwsze różnice są stacjonarne, co wskazuje na zintegrowanie w stopniu pierwszym \(I{\sim}\{1\}\).
Wyniki testu ADF dla spółki mBank.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -0.1653399 >10pct 0.273235375 0.6011697
## 3 1 -0.1428004 >10pct 0.007346495 0.9316956Wyniki testu ADF dla pierwszych różnic cen zamknięcia spółki mBank.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -27.8135 <1pct 0.0002886617 0.98644462.2. Kointegracja.
Analiza graficzna również w tym przypadku nie będzie pomocna, ze względu na dużą rozbieżność między cenami obu spółek.
Ponownie zostaje wykonana regresja cen zamknięcia, tym razem cen Cyfrowego Polsatu na cenach mBanku, w celu uzyskania wektora kointegrującego. Zgodnie z wynikami kształtuje się on następująco: [1, -5.91, -0.03].
Estymacja wektora kointegrującego:
##
## Call:
## lm(formula = CYFRPLSAT_IN$CYFRPLSAT ~ MBANK_IN$MBANK)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.3630 -0.7518 0.0105 0.7044 3.8254
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 5.9059588 0.1847256 31.97 <2e-16 ***
## MBANK_IN$MBANK 0.0321629 0.0005699 56.43 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.132 on 745 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8104, Adjusted R-squared: 0.8102
## F-statistic: 3185 on 1 and 745 DF, p-value: < 2.2e-16W wyniku regresji otrzymujemy reszty, które zostają zbadane pod kątem stacjonarności. Brak jest podstaw do odrzucenia Ho o braku autokorelacji reszt (p-value = 0.13), ponieważ p-value jest większe niż założony poziom istotności 5%. Zgodnie ze statystyką ADF reszty są szeregiem stacjonarnym.
Wyniki testu ADF dla reszt z równania regresji.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -4.077793 <1pct 2.347585 0.12547732.3. Wstępna anliza: wybór strategii.
W okresie in-sample dla rozpatrywanej pary spółek Cyfrowy Polsat i mBank dokonano symulacji wyboru indywidualnego progu otwarcia i zamknięcia pozycji. Testowano następujące wielkości: +/-1, +/-1,5 oraz +/-2 historycznego odchylenia standardowego nierównowagi krótkookresowej. Ponadto analiza poszczególnych par spółek została przeprowadzona w dwóch wariantach, z pominięciem kosztów transakcyjnych oraz z uwzględnieniem tego aspektu w wysokości 0.1% od wartości pozycji (zarówno przy otwarciu jak i przy zamknięciu pozycji).
Wyniki przeprowadzonej symulacji
| statystyki | Threshold_1sd | Threshold_1sd_costs | Threshold_1.5sd | Threshold_1.5sd_costs | Threshold_2sd | Threshold_2sd_costs |
|---|---|---|---|---|---|---|
| zannualizowana stopa zwrotu | 0.2304981 | 0.2290703 | 0.2002581 | 0.1991205 | 0.0537659 | 0.0534978 |
| zannualizowane odchylenie standardowe | 0.1448256 | 0.1448119 | 0.1306854 | 0.1306714 | 0.0681688 | 0.0681569 |
| współczynnik zmienności | 0.6283160 | 0.6321725 | 0.6525849 | 0.6562431 | 1.2678830 | 1.2740130 |
Kryterium porównawczym pomiędzy wyróżnionymi strategiami będzie minimalizacja współczynnika zmienności, bowiem w każdym z przypadków uzyskano dodatnią stopę zwrotu. Na podstawie wskaźnika optymalną strategią dla racjonalnego inwestora jest wybór Threshold_1sd. Ponadto zannualizowana stopa zwrotu nie różni się znacząco w przypadku uwzględnienia kosztów transakcyjnych, dlatego też w naszej analizie je pominiemy.
2.4. Nierównowaga krótkookresowa oraz strategia.
Tym razem do przetestowania strategii wybrano thresholdy na poziomie jednego odchylenia nierównowagi krótkookresowej. Wynikiem tego jest więcej aktywności podjętych w okresie In-sample. Otwarcie i zamknięcie pozycji następuje po 12 razy. 
Niestety po raz kolejny strategia zdaje się nie sprawdzać w okresie out-of-sample. Spread wyznaczony na podstawie wektora kointegrującego In-sample odbiega stanowczo od średniej oraz kształtuje się głównie poniżej lub powyżej wybranych thresholdów. Zmieniła się również liczba podjętych aktywności, tylko dwa razy zostaje otwarta i zamknięta pozycja.
2.5. Equity Line oraz zyskowność strategii.
Wykresy equity line w obu okresach potwierdzają zależność zauważoną w poprzednim przykładzie. Strategia dobrze prosperująca w okresie In-sample, lepsza od strategii buy&hold, na koniec uzyskująca dobre wyniki pod względem zyskowności, okazuje się nieskuteczna w okresie out-of-sample, gdzie zauważalne są duże wahania wartości portfela, oraz strata.
Zyskowność strategii pair trading w okresie in-sample i out-of-sample.
| statystyki | in_sample | out_of_sample |
|---|---|---|
| zannualizowana stopa zwrotu | 0.2304981 | -0.0461853 |
| zannualizowane odchylenie standardowe | 0.1448256 | 0.1602493 |
| współczynnik Sharpe’a | 0.0767014 | -0.0224636 |
| współczynnik beta | 0.0347733 | -0.0291671 |
| maksymalne obsunięcie kapitału | 0.1243874 | 0.1375843 |
Wykresy oraz współczynniki badające zyskowność strategii są zbieżne. O powyższych rozważaniach świadczy przede wszystkim dodatnia zannualizowana stopa zwrotu na poziomie 23% dla danych historycznych , oraz ujemna dla okresu out-of-sample. Podobną zależnością cechują się współczynniki Sharpe’a. Ryzyko, o którym świadczą zannualizowane odchylenia, nie różni się w dużym stopniu.
3. 1. Bank Handlowy w Warszawie S.A. oraz Bank Polska Kasa Opieki S.A.
3.1. Wstępna analiza danych
Kolejną parą spółek, na której przetestowano strategię jest Bank Handlowy w Warszawie S.A. oraz Bank Polska Kasa Opieki S.A. Wstępnej analizie danych poddana powinna zostać spółka Bank PKO S.A. W ramach przypomnienia – Bank Handlowy okazał się szeregiem zintegrowanym w stopniu pierwszym. Notowania cen zamknięcia PKO przypominają błądzenie losowe, a co za tym idzie szereg niestacjonarny. PKO nie charakteryzuje się szczególnymi zachowaniami w porównaniu do poprzednich spółek. Zauważalny jest spadek wartości notowań w trzecim kwartale 2011 roku, oraz ich powolny wzrost aż do końca okresu in-sample. Pierwsze różnice zmiennej oscylują wokół jednego poziomu, zwiększając swoją amplitudę nieco w momencie wspomnianego wcześniej spadku. Na podstawie tych rozważań można pokusić się o stwierdzenie, iż szereg zintegrowany jest w stopniu pierwszym. 
Zintegrowanie w stopniu pierwszym oraz brak autokorelacji, analogicznie do poprzednich przykładów, potwierdzają formalne testy. Jednokrotne różnicowanie szeregu rozwiązuje problem niestacjonarności. Spółka Pekao jest zintegrowana w stopniu pierwszym \(I{\sim}\{1\}\).
Wyniki testu ADF dla spółki Pekao.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -1.86097 >10pct 1.587038290 0.2077498
## 3 1 -1.73939 >10pct 0.006782032 0.9343659Wyniki testu ADF dla pierwszych różnic cen zamknięcia spółki Pekao.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -28.76646 <1pct 0.01639741 0.89810753.2. Kointegracja.
W przeciwieństwie do poprzednich przykładów analiza graficzna pomocna jest przy badaniu kointegracji. Na wykresie zauważalne jest wspólne podążanie dwóch badanych szeregów.
Wektor kointegrujący kształtuje się następująco: [1, 46.29, -0.88].
Estymacja wektora kointegrującego:
##
## Call:
## lm(formula = HANDLOWY_IN$HANDLOWY ~ PEKAO_IN$PEKAO)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -13.1487 -3.4003 -0.2042 3.2580 15.9097
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -46.29474 1.56481 -29.59 <2e-16 ***
## PEKAO_IN$PEKAO 0.88578 0.01167 75.93 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.8 on 745 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8856, Adjusted R-squared: 0.8854
## F-statistic: 5765 on 1 and 745 DF, p-value: < 2.2e-16Co więcej brak jest podstaw do odrzucenia Ho o braku autokorelacji reszt, oraz odrzucamy Ho o niestacjonarności szeregu na poziomie istotności 5%.
Wyniki testu ADF dla reszt z równania regresji.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -6.30202 <1pct 0.5799099 0.44634763.3. Wstępna anliza: wybór strategii.
Ponownie w okresie in-sample dla rozpatrywanej pary spółek dokonano symulacji wyboru indywidualnego progu otwarcia i zamknięcia pozycji. Testowano następujące wielkości: +/-1, +/-1,5 oraz +/-2 historycznego odchylenia standardowego nierównowagi krótkookresowej. Analiza poszczególnych par spółek została przeprowadzona w dwóch wariantach, z pominięciem kosztów transakcyjnych oraz z uwzględnieniem tego aspektu w wysokości 0.1% od wartości pozycji.
Wyniki przeprowadzonej symulacji
| statystyki | Threshold_1sd | Threshold_1sd_costs | Threshold_1.5sd | Threshold_1.5sd_costs | Threshold_2sd | Threshold_2sd_costs |
|---|---|---|---|---|---|---|
| zannualizowana stopa zwrotu | 0.3457433 | 0.3441794 | 0.2277566 | 0.2268421 | 0.1515736 | 0.1512035 |
| zannualizowane odchylenie standardowe | 0.1299409 | 0.1299147 | 0.1043476 | 0.1043192 | 0.0684669 | 0.0684482 |
| współczynnik zmienności | 0.3758306 | 0.3774623 | 0.4581540 | 0.4598761 | 0.4517073 | 0.4526892 |
Na podstawie wskaźnika zmienności optymalną strategią dla racjonalnego inwestora jest wybór Threshold_1sd. Ponadto zannualizowana stopa zwrotu nie różni się znacząco w przypadku uwzględnienia kosztów transakcyjnych, dlatego też w analizie nie uwzględnimy tego aspektu.
3.4. Nierównowaga krótkookresowa oraz strategia.
W analizowanej parze spółek sprawdził się threshold na poziomie jednego odchylenia, który pozwolił na otwarcie i zamknięcie pozycji aż 25 razy. Strategia w nieco mniejszym stopniu sprawdziła się w out-of-sample. Aktywność inwestycyjna pojawiła się po siedem razy. Reszty przestały oscylować wokół średniej, oraz na koniec zaczęły daleko odbiegać od poziomu dolnego thresholdu.
3.5. Equity Line oraz zyskowność strategii.
Equity Line w In-sample ukazuje wysoką różnicę między strategią buy&hold oraz pair trading. Obserwowany jest wysoki wzrost wartości portfela.
W przypadku out-of-sample rozbieżność między porównywanymi strategiami jest już dużo mniejsza. Jednakże zależność została zachowana. 
Zyskowność strategii pair trading w okresie in-sample i out-of-sample.
| statystyki | in_sample | out_of_sample |
|---|---|---|
| zannualizowana stopa zwrotu | 0.3457433 | 0.0651434 |
| zannualizowane odchylenie standardowe | 0.1299409 | 0.1280288 |
| współczynnik Sharpe’a | 0.1279539 | 0.0239110 |
| współczynnik beta | -0.0689799 | -0.0596213 |
| maksymalne obsunięcie kapitału | 0.1551659 | 0.0959304 |
Strategia pair-trading w In-sample zastosowana na spółkach Bank Handlowy oraz PKO charakteryzuje się satysfakcjonującymi wynikami. Osiągnięto stopę zwrotu 35%, czyli najwyższą ze wszystkich analizowanych par. W out-of-sample osiągnięto także dodatnią zaannualizowaną stopę zwrotu, jednakże na o wiele niższym poziomie. Ryzyko między okresami nie zmieniło się istotnie. Maksymalne obsunięcie kapitału w In-sample okazało się większe niż w okresie drugim. Mimo nieco zadowalających wyników współczynnik Sharpe’a testowanej strategii od 2014 roku określa ją mianem o wiele mniej zyskownej niż ta z okresu historycznego. Ponadto w obu okresach współczynnik wskazuje, iż stopa zysku zmienia się w przeciwnym kierunku do indeksu rynkowego.
4. Grupa Azoty S.A. oraz PZU S.A.
4.1. Wstępna analiza danych
Notowania spółki Grupa Azoty S.A. wyglądają na niestacjonarne, przypominają błądzenie losowe. Początkowo ceny oscylują w okolicach wartości 30, w 2013 roku natomiast na dużo wyższym poziomie. Wahania cen są również w tym okresie wyższe. Pierwsze różnice szeregu wyglądają na stacjonarne. Podobne rozważania pojawiają się przy spółce PZU. Zauważalne jest podążanie obu spółek ze sobą. Można przypuszczać zintegrowanie także w stopniu pierwszym spółki PZU.
Powyższe rozważania potwierdzają formalne testy. Szereg Grupa Azoty bez różnicowania jest niestacjonarny, oraz podlega autokorelacji. Oba problemy zostają rozwiązane po jednokrotnym zróżnicowaniu zmiennej. W przypadku PZU problem autokorelacji nie występuje, jednakże szereg wymaga jednokrotnego różnicowania, by przejść do stacjonarności.
Wyniki testu ADF dla spółki Grupa Azoty.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -1.021092 >10pct 5.42382261 0.01986382
## 3 1 -1.095744 >10pct 0.02870339 0.86546570Wyniki testu ADF dla spółki PZU S.A.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -0.2614700 >10pct 1.047061e-02 0.9184979
## 3 1 -0.3106378 >10pct 1.628519e-05 0.9967802Wyniki testu ADF dla pierwszych różnic cen zamknięcia spółki Grupa Azoty.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -25.07233 <1pct 0.02500293 0.8743598Wyniki testu ADF dla pierwszych różnic cen zamknięcia spółki PZU S.A.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -27.25132 <1pct 0.003674251 0.95166534.2. Kointegracja.
Na wykresie niełatwo jest zaobserwować kointegrację między notowaniami spółek. Jednakże obie spółki zintegrowane są w stopniu pierwszym. Po dokonaniu regresji MNK cen zamknięcia Grupy Azoty na PZU otrzymuję wektor kointegrujący: [1, 40.21, -0.28]. Reszty, które są wynikiem powyższego modelu zgodnie z formalnym testem nie podlegają autokorelacji oraz są stacjonarne.
Estymacja wektora kointegrującego:
##
## Call:
## lm(formula = GRUPAAZOTY_IN$GRUPAAZOTY ~ PZU_IN$PZU)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -20.354 -3.706 -0.497 3.404 22.404
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -40.211034 1.196936 -33.59 <2e-16 ***
## PZU_IN$PZU 0.283188 0.003887 72.86 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 6.044 on 745 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8769, Adjusted R-squared: 0.8768
## F-statistic: 5309 on 1 and 745 DF, p-value: < 2.2e-16Zgodnie ze statystyką DF = -3.52 odrzucamy Ho o niestacjonarności reszt na poziomie istotności 5%. Co więcej nie ma podstaw do odrzucenia Ho o braku autokorelacji reszt. W przypadku analizowanej pary występuje kointegracja.
Wyniki testu ADF dla reszt z równania regresji.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -3.523139 <1pct 0.4481158 0.50323114.3. Wstępna anliza: wybór strategii.
Ponownie dokonano symulacji wyboru indywidualnego progu (+/-1, +/-1,5 oraz +/-2 historycznego odchylenia standardowego) otwarcia i zamknięcia pozycji. Przetestowano również strategię w dwóch wariantach, z pominięciem kosztów transakcyjnych oraz z uwzględnieniem tego aspektu w wysokości 0.1% od wartości pozycji.
Wyniki przeprowadzonej symulacji
| statystyki | Threshold_1sd | Threshold_1sd_costs | Threshold_1.5sd | Threshold_1.5sd_costs | Threshold_2sd | Threshold_2sd_costs |
|---|---|---|---|---|---|---|
| zannualizowana stopa zwrotu | 0.1318931 | 0.1310356 | 0.0955577 | 0.0949378 | 0.0505689 | 0.0502037 |
| zannualizowane odchylenie standardowe | 0.1597365 | 0.1597320 | 0.1445444 | 0.1445376 | 0.1166138 | 0.1166090 |
| współczynnik zmienności | 1.2111060 | 1.2189970 | 1.5126410 | 1.5224450 | 2.3060360 | 2.3227150 |
Minimalizując współczynnik zmienności optymalną strategią dla racjonalnego inwestora jest wybór Threshold_1sd. Ponadto zannualizowana stopa zwrotu nie różni się znacząco w przypadku uwzględnienia kosztów transakcyjnych.
4.4. Nierównowaga krótkookresowa oraz strategia.
Threshold w przypadku tej pary został wybrany na poziomie 1 odchylenia standardowego. Pozwoliło to na otwarcie pozycji 10 razy w okresie in-sample. Ogromną różnicę w przebiegu spreadu obserwujemy w okresie out-of-sample. Przebiega on głównie poniżej średniej. W rezultacie otwarcie pozycji następuje tylko trzy razy. Są to pierwsze przesłanki o tym, iż wybrana strategia nie sprawdza się.
5.5. Equity Line oraz zyskowność strategii.
Wykresy portfela kształtują się jednak zadowalająco. W obu okresach został osiągnięty zysk. W in-sample pair-trading odbiega w dużym stopniu od strategii buy&hold. W drugim okresie różnica między ostatecznymi wynikami jest niewielka. Ponadto wykresy portfeli obu strategii przecinają się.
Zyskowność strategii pair trading w okresie in-sample i out-of-sample.
| statystyki | in_sample | out_of_sample |
|---|---|---|
| zannualizowana stopa zwrotu | 0.1318931 | 0.1567980 |
| zannualizowane odchylenie standardowe | 0.1597365 | 0.1876246 |
| współczynnik Sharpe’a | 0.0374694 | 0.0471754 |
| współczynnik beta | 0.0933687 | 0.1016794 |
| maksymalne obsunięcie kapitału | 0.1655316 | 0.2215241 |
Zgodnie ze współczynnikami bardziej zyskownym okresem było out-of-sample. Jednakże nie różnią się one w dużym stopniu. Okres in-sample charakteryzuje się mniejszym ryzykiem patrząc na odchylenia, oraz maksymalne obsunięcie kapitału. Współczynnik wskazuje na defensywność, bowiem stopa zysku w niewielki m stopniu reaguje na zmiany indeksu rynkowego.
5. ING Bank Śląski S.A. oraz PZU S.A.
5.1. Wstępna analiza danych
Notowania spółki ING wyglądają na szereg niestacjonarny, przypominają błądzenie losowe. Jej pierwsze zwroty oscylują wokół jednej wartości, oraz posiadają amplitudę względnie stałą. Jest to podobny przypadek do poprzednich. PZU S.A. w ramach przypomnienia okazał się szeregiem zintegrowanym w stopniu pierwszym.
Zintegrowanie w stopniu pierwszym oraz brak autokorelacji analogicznie do poprzednich przykładów potwierdzają poniższe testy.
Wyniki testu ADF dla spółki ING Bank Śląski.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -1.146521 >10pct 0.4799281158 0.4884549
## 3 1 -1.081743 >10pct 0.0006482768 0.9796870Wyniki testu ADF dla spółki PZU S.A.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -0.2614700 >10pct 1.047061e-02 0.9184979
## 3 1 -0.3106378 >10pct 1.628519e-05 0.9967802Ponownie rozwiązaniem problemu niestacjonarności okazuje się jednokrotne różnicowanie spółek – obie są zintegrowane w stopniu pierwszym \(I{\sim}\{1\}\) na poziomie istotności \(\alpha=1\%\).
Wyniki testu ADF dla pierwszych różnic cen zamknięcia spółki ING Bank Śląski.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -28.07069 <1pct 0.00287247 0.9572575Wyniki testu ADF dla pierwszych różnic cen zamknięcia spółki PZU S.A.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -27.25132 <1pct 0.003674251 0.95166535.2. Kointegracja.
Wykres notowań obu spółek nie wskazuje jasno na kointegrację między szeregami. Ze względu na dużą różnicę w wartościach cen zamknięcia nie jest ona widoczna. Jednakże po przeprowadzeniu regresji otrzymujemy wektor kointegrujący: [1, -30.39, 0.17], potwierdzamy formalnymi testami brak autokorelacji p-value = 0.22, oraz stacjonarność wyznaczonych reszt na poziomie istotności 5%.
Estymacja wektora kointegrującego:
##
## Call:
## lm(formula = INGBANK_IN$INGBANK ~ PZUSA_IN$PZUSA)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -11.0212 -4.2193 -0.2213 4.2622 15.6492
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 30.392747 1.045037 29.08 <2e-16 ***
## PZUSA_IN$PZUSA 0.172231 0.003393 50.75 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 5.277 on 745 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7757, Adjusted R-squared: 0.7754
## F-statistic: 2576 on 1 and 745 DF, p-value: < 2.2e-16Zgodnie ze statystyką DF = -3.71 odrzucamy Ho o niestacjonarności reszt na poziomie istotności 5%. Zgodnie ze statystyką BG = 1.5 nie ma podstaw do odrzucenia Ho o braku autokorelacji reszt. Ostatnia para spółek także jest skointegrowana.
Wyniki testu ADF dla reszt z równania regresji.
## order adf p_adf bgodfrey p_bg
## 2 0 -3.706421 <1pct 1.496728 0.22117555.3. Wstępna anliza: wybór strategii.
W przypadku danej pary spółek także dokonano symulacji wyboru indywidualnego progu (+/-1, +/-1,5 oraz +/-2 historycznego odchylenia standardowego) otwarcia i zamknięcia pozycji. Przetestowano również strategię w dwóch wariantach, z pominięciem kosztów transakcyjnych oraz z uwzględnieniem tego aspektu w wysokości 0.1% od wartości pozycji (zarówno przy otwarciu jak i przy zamknięciu pozycji).
Wyniki przeprowadzonej symulacji
| statystyki | Threshold_1sd | Threshold_1sd_costs | Threshold_1.5sd | Threshold_1.5sd_costs | Threshold_2sd | Threshold_2sd_costs |
|---|---|---|---|---|---|---|
| zannualizowana stopa zwrotu | 0.1142146 | 0.1131446 | 0.1504625 | 0.1495750 | 0.0906138 | 0.0903535 |
| zannualizowane odchylenie standardowe | 0.1250405 | 0.1250357 | 0.1105903 | 0.1105813 | 0.0581667 | 0.0581545 |
| współczynnik zmienności | 1.0947860 | 1.1050970 | 0.7350026 | 0.7393035 | 0.6419185 | 0.6436330 |
Kryterium porównawczym pomiędzy wyróżnionymi strategiami będzie minimalizacja współczynnika zmienności, bowiem w każdym z przypadków uzyskano dodatnią stopę zwrotu. Na podstawie wskaźnika optymalną strategią dla racjonalnego inwestora jest wybór Threshold_2sd. Ponadto zannualizowana stopa zwrotu nie różni się znacząco w przypadku uwzględnienia kosztów transakcyjnych, dlatego też w naszej analizie nie uwzględnimy tego aspektu. Podczas symulacji uzyskano inne wyniki niż w pracy Bowena (2010). Głównym powodem różnic jest założony niski poziom kosztów transakcyjnych – 0,1% od wartości pozycji.
5.4. Nierównowaga krótkookresowa oraz strategia.
Poniżej przedstawiona została nierównowaga krótkookresowa uzyskana jako reszty przeprowadzonej wcześniej regresji. W celu wyznaczenia punktów zamknięcia oraz otwarcia strategii obliczono średnią nierównowagę (bliską 0, kolor czerwony) oraz jej odchylenie standardowe w okresie in-sample. Przyjęta strategia oraz wyznaczenie thresholdu na poziomie dwóch odchyleń pozwala na otwarcie i zamknięcie pozycji po cztery razy w in-sample. Przeniesienie strategii na out of sample nie ukazuje zadowalających wyników. Spread w drugim okresie głównie waha się dużo powyżej górnego thresholdu. Otwarcie pozycji dokonywane jest tylko raz, zamknięcie natomiast następuje na koniec badanego okresu, a nie w wyniku przekroczenia wartości średniej.
Przeniesienie strategii opracowanej na podstawie okresu in-sample niestety nie sprawdza się w out-of-sample. Po wyznaczeniu spredu na podstawie wektora kointegrującego z okresu in-sample nasza strategia pozwala na otwarcie i zamknięcie pozycji tylko raz od początku 2014 roku. Wykres wskazuje jednoznacznie, iż wyniki strategii w out-of-sample będą znacznie odbiegać od tych uzyskanych na podstawie danych historycznych. Obliczony spread nie oscyluje wokół średniej nierównowagi - początkowo rzeczywiście skupia się wokół niej, później natomiast wzrasta, oraz kształtuje się powyżej dodatniego thresholdu. Jest to zupełnie inny kierunek zmian niż ten zakładany przy konstruowaniu strategii.
5.5. Equity Line oraz zyskowność strategii.
W rezultacie w in-sample equity line rośnie powoli, jednakże utrzymuje się głównie na wyższym poziomie niż wykres WIG20, buy&hold. Wykresy dla out-of-sample charakteryzują duże wahania. Trudnym jest wybór, która strategia jest lepsza. Equity line wskazuje na osiągnięcie ostatecznie straty.
Zyskowność strategii pair trading w okresie in-sample i out-of-sample.
| statystyki | in_sample | out_of_sample |
|---|---|---|
| zannualizowana stopa zwrotu | 0.0906138 | -0.0287074 |
| zannualizowane odchylenie standardowe | 0.0581667 | 0.1301728 |
| współczynnik Sharpe’a | 0.0507342 | -0.0209754 |
| współczynnik beta | 0.0101973 | 0.1064750 |
| maksymalne obsunięcie kapitału | 0.0389315 | 0.1172731 |
Zannualizowana stopa zwrotu wskazuje na osiągnięcie zysku w okresie historycznym, oraz straty w out-of-sample. Drugi okres charakteryzuje się dużo większym ryzykiem. Ten fakt potwierdzają wartości zannualizowanych odchyleń oraz maksymalnego obsunięcia kapitału. Strategia zbudowana na in-sample okazała się nieskuteczna po przeniesieniu jej na okres od 2014 roku. W obu okresach stopa zysku w niewielki m stopniu reaguje na zmiany indeksu rynkowego.
6. Portfel złożony ze wszystkich rozpatrywanych pięciu par spółek
Na zakończenie rozważań został utworzony portfel ze wszystkich par spółek. Założone zostały równe udziały każdej z nich wielkości 20%. Wykres equity line w in-sample wskazuje na znaczny oraz regularny wzrost wartości portfela przez cały okres. Utrzymuje się on także dużo powyżej wyników, jakie moglibyśmy otrzymać przy strategii buy&hold.
Przełożenie strategii na okres out of sample okazuje się mało skuteczne. Co prawda odnotowujemy wzrost wartości portfela, ale charakteryzuje się on dużą wahliwością. Stopa zwrotu zaannualizowana jest tylko na poziomie 2%, a współczynnik Sharpe’a wynosi 0.004. Satysfakcjonujące może być niskie ryzyko odzwierciedlone w niskich wartościach zannualizowanego odchylenia oraz maksymalnego obsunięcia kapitału. Ponadto współczynnik beta na niskim poziomie wskazuje, iż nasz portfel w niewielkim stopniu reaguje na zmiany indeksu rynkowego.
Zyskowność strategii pair trading dla portfela w okresie in-sample i out-of-sample.
| statystyki | in_sample | out_of_sample |
|---|---|---|
| zannualizowana stopa zwrotu | 0.1838410 | 0.0250463 |
| zannualizowane odchylenie standardowe | 0.0559813 | 0.0731342 |
| współczynnik Sharpe’a | 0.1449251 | 0.0040572 |
| współczynnik beta | 0.0183466 | 0.0177131 |
| maksymalne obsunięcie kapitału | 0.0400793 | 0.0469979 |
PODSUMOWANIE
Celem niniejszej pracy było zweryfikowanie pair tradingu opartego na skointegrowaniu szeregów. Strategia ta została skonstruowana na podstawie danych historycznych, oraz zaimplementowana do okresu out-of-sample. Cała analiza bazowała tylko na pięciu parach spółek, z których na koniec stworzono jeden portfel. Głównym wynikiem badania, jest sprawdzenie się strategii w okresie in-sample. Przeciwny rezultat uzyskano natomiast w okresie out-of-sample. Sytuacja ta powtórzyła się aż w trzech z pięciu wybranych par. W dwóch parach spółek strategia okazała się zyskowną. Jednakże w tych przypadkach uzyskałyśmy duże ryzyko odzwierciedlone w wartościach odchyleń oraz obsunięciu kapitału.
Zbudowanie portfela ze wszystkich wybranych par początkowo budziło zadowolenie. Strategia pozwoliła osiągnąć stopę zwrotu na poziomie 35%. Jednakże implementacja jej do okresu out-of-sample doprowadziła do wyniku dużo mniejszego, ale również na dodatnim poziomie. W tym okresie equity line charakteryzowało się dużymi wahaniami, w przeciwieństwie do okresu bazowego.
Mimo zysku w obu okresach nie możemy strategii uogólniać na wszystkie spółki. Pięć par to niewiele w porównaniu z tym, co oferuje nam baza stooq.com. Niemniej jednak jest to pomysł na rozwój zaproponowanego w niniejszej pracy badania. Drugą naszą propozycją jest przeprowadzenie symulacji z uwzględnieniem większych kosztów transakcyjnych oraz różnymi wielkościami thresholdów, wyznaczającymi momenty otwarcia i zamknięcia pozycji. Ponadto ciekawym rozszerzeniem zastosowanej strategii jest jej implementacja na większych zagranicznych giełdach.
BIBLIOGRAFIA
Bacon C. R., Practical Portfolio Performance: Measurement and Attribution. John Wiley & Sons, Ltd. 2008.
Bodie Z. et. al.: Index Models. W: Investments. McGraw-Hill Education. 2014.
Bowen D. et al., High Frequency Equity Pairs Trading: Transaction Costs, Speed of Execution and Patterns in Returns, 2010
Chen, Z., and P. Knez, Measurement of Market Integration and Arbitrage, Review of Financial Studies, 1995, 8, 287–325.
Do B. , A new approach to modeling and estimation for pairs trading, 2006
Gatev, E., Pairs trading: Performance of a relative value arbitrage rule, 2006
Jajuga K., Inwestycje Instrumenty finansowe, aktywa niefinansowe, ryzyko finansowe, inżynieria finansowa, 2008, PWN
Kishore V., Optimizing Pairs Trading of US Equities in a High Frequency Setting. University of Pennsylvania, Wharton Research Scholars. 2012.
Vidyamurthy G., Statistical Arbitrage Pairs, Overview. W: Pairs Trading: Quantitative Methods and Analysis, John Wiley & Sons, Ltd. 2004.
Mycielski J., Ekonometria, 2010.