Problema

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos.

El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 %. Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X1. Después de anotado el valor se regresa X1 a la caja y se extrae el valor X2 , regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X1, X2, X2, Xn, conformando la muestra bootstrap. Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media Xi, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1 (P2.5 ; P97.5) Método 2 (2X− P97.5 ; 2X− P2.5)

Objetivo

Construir intervalo de confianza por los dos métodos, comparar los resultados obtenidos ycomentar los resultados.

Codigo en R

x=c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # datos muestra
set.seed(123)  # semilla reproducibilidad
boot=sample(x,7000,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b=matrix(boot,nrow=1000,ncol=7, byrow=TRUE)    # se construye matriz de n x m 
mx=apply(b,1,mean)                 # se calculan m medias por fila

ic1=quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975)) # se calcula IC método 1
ic2=c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1]) # se calcula IC método 2
# Histograma
hist(mx, las=1, main="Medias de las Muestras Bootstrap", ylab = "Frecuencia", xlab = "Medias", col="lightblue", border="black")
abline(v=ic1, col="orange", lwd=2)  # rojo para método 1
abline(v=ic2, col="purple", lwd=2)  # morado para método 2
legend("topright", # posición de la leyenda
       legend=c("IC Método 1", "IC Método 2"), # texto de las etiquetas
       col=c("orange", "purple"), # colores de las líneas
       lwd=2) # grosor de las líneas

Resultados

Intervalo de confianza método 1

##     2.5%    97.5% 
## 4.748393 6.508643

Intervalo de confianza método 2

##    97.5%     2.5% 
## 4.549526 6.309776

Comentarios

Superposición de intervalos: ambos intervalos de confianza se superponen significativamente, lo que indica que son consistentes entre sí. Esto es una buena señal, ya que ambos métodos, aunque ligeramente diferentes en su cálculo, deberían ofrecer resultados similares si la muestra es representativa.

Posición de la media: considerando que la media de la muestra original de los datos está dentro de ambos intervalos, esto refuerza la confianza en que la estimación es razonable.

Comentario general: a pesar del pequeño tamaño de la muestra, el método bootstrap ha proporcionado una estimación razonablemente precisa de la media poblacional.