Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:
El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, conformando la muestra bootstrap.
Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalode confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:
\[(P_{2.5};P_{97.5})\]
# Datos de la muestra
muestra <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
# Tamaño de la muestra
n <- length(muestra)
# Número de muestras bootstrap
k <- 1000
# Vector para almacenar las medias de las muestras bootstrap
medias_bootstrap <- numeric(k)
# Realizar el método bootstrap
for (i in 1:k) {
# Generar una muestra bootstrap con reemplazo
muestra_bootstrap <- sample(muestra, size = n, replace = TRUE)
# Calcular la media de la muestra bootstrap
media_bootstrap <- mean(muestra_bootstrap)
# Almacenar la media en el vector
medias_bootstrap[i] <- media_bootstrap
}
# Calcular los percentiles del intervalo de confianza
percentiles <- quantile(medias_bootstrap, c(0.025, 0.975))
# Imprimir el intervalo de confianza del 95%
cat("Intervalo de confianza del 95% para la media de la eficiencia de combustible:\n")## Intervalo de confianza del 95% para la media de la eficiencia de combustible:cat("(", percentiles[1], ",", percentiles[2], ")\n")## ( 4.741429 , 6.475714 )\[(2\overline{X} - P_{97.5} ; 2\overline{X} - P_{2.5})\]
media_original <- mean(muestra)
# Calculamos los percentiles del intervalo de confianza
percentil_2.5 <- quantile(medias_bootstrap, 0.025)
percentil_97.5 <- quantile(medias_bootstrap, 0.975)
# Calculamos el intervalo de confianza según el Método 2
intervalo_confianza_metodo2 <- c(2 * media_original - percentil_97.5, 2 * media_original - percentil_2.5)
# Imprimimos el intervalo de confianza del 95% según el Método 2
cat("Intervalo de confianza del 95% para la media de la eficiencia de combustible (Metodo 2):\n")## Intervalo de confianza del 95% para la media de la eficiencia de combustible (Metodo 2):cat("(", intervalo_confianza_metodo2[1], ",", intervalo_confianza_metodo2[2], ")\n")## ( 4.592857 , 6.327143 )Ambos intervalos son similares en su amplitud y están centrados en valores cercanos. Aquí están algunas observaciones:
Ambos intervalos de confianza tienen una amplitud relativamente estrecha, lo que indica que hay cierta confianza en la estimación de la media de la eficiencia de combustible.
Los valores medios de ambos intervalos están próximos, lo que sugiere cierta consistencia en las estimaciones de la media.
La elección entre los dos métodos puede depender de la preferencia por la interpretación. El Método 2 (Bootstrap Percentil Doble) es ligeramente más conservador al tener en cuenta el doble de la media original en el límite superior del intervalo, mientras que el Método 1 (Bootstrap Percentil) es más estándar.
Con respecto a la confianza en estas estimaciones:
Los intervalos de confianza son una herramienta útil para expresar la incertidumbre en torno a la estimación de la media de la eficiencia de combustible.
La confianza en estas estimaciones depende de la calidad de los datos y de la representatividad de la muestra. Si la muestra es representativa y se obtuvo de manera adecuada, entonces se puede confiar en cierta medida en estas estimaciones.
Es importante recordar que los intervalos de confianza no garantizan que la verdadera media se encuentre exactamente dentro del intervalo, pero proporcionan una medida de la incertidumbre.
Además, es importante considerar cualquier sesgo potencial en la muestra original y la calidad de la técnica de remuestreo.
Con base en los resultados y la información proporcionada, estos intervalos de confianza son útiles y proporcionan una estimación razonable de la media de la eficiencia de combustible, siempre y cuando la muestra sea representativa y los métodos de remuestreo sean apropiados.