##Problema 1:

Estimación del valor de π: La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuito con un área igual a π/4, está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria n puntos dentro del cuadrado . La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4. Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la estimación de π/4 . De este último resultado se encontrar una aproximación para el valor de π.

Paso 1: Genere n coordenadas x: X1, . . . , Xn. Utilice la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1. La distribución uniforme genera variables aleatorias que tienen la misma probabilidad de venir de cualquier parte del intervalo (0,1)(0,1).

Paso 2: Genere 1000 coordenadas y : Y1,…,Yn, utilizando nuevamente la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1.

Paso 3: Cada punto (Xi,Yi) se encuentra dentro del círculo si su distancia desde el centro (0.5,0.5)(0.5,0 es menor a 0.5. Para cada par (Xi,Yi)determine si la distancia desde el centro es menor a 0.5 Esto último se puede realizar al calcular el valor (Xi−0.5)^2+(Yi−0.5)^2, que es el cuadrado de la distancia, y al determinar si es menor que 0.25

Paso 4: ¿Cuántos de los puntos están dentro del círculo? ¿Cuál es su estimación de π?

estimarpi <-function(n1,n2){
x <- runif(n1,min = 0, max = 1)
y <- runif(n2,min = 0, max = 1)
distancia <- numeric()
for (i in 1:length(x)){distancia[i]=(x[i]-0.5)^2 + (y[i]-0.5)^2}
puntos=ifelse(distancia < 0.25, 1, 0)
sum(puntos)
4 * sum(puntos)/length(x)}

Simulación y error absoluto con 1000

resultado <- (estimarpi(1000,1000))
print(resultado)
## [1] 3.096
resultado-pi #Error absoluto
## [1] -0.04559265

Simulación y error absoluto con 10000

resultado2 <- (estimarpi(10000,10000))
print(resultado2)
## [1] 3.152
resultado2-pi #Error absoluto
## [1] 0.01040735

Simulación y error absoluto con 100000

resultado3 <- (estimarpi(100000,100000))
print(resultado3)
## [1] 3.15424
resultado3-pi #Error absoluto
## [1] 0.01264735

Se puede concluir que el a medida que aumenta el número de la muestra, se acerca más al valor de Pi, y disminuye el error absoluto, ya que al hacer la simulación con 100.000 el valor de Pi fue 3.14, y tuvo un error absoluto de -0.0004, mientras que con una muestra de 1000, el valor de Pi fue 3.2, alejándose más del valor real de Pi.