Propiedades de los estimadores La simulación ayuda a entender y validad las propiedades de los estimadores estadísticos como son. insesgadez, eficiencia y la consistencia principalmente. El siguiente problema permite evidenciar las principales características de un grupo de estimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelo de probabilidad.

Sean X1, X2, X3 y X4, una muestra aleatoria de tamaño n=4 cuya población la conforma una distribución exponencial con parámetro θ desconocido. Determine las características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:

θ1ˆ=X1+X26+X3+X43

θ2ˆ=(X1+2X2+3X3+4X4)5

θ3ˆ=X1+X2+X3+X44

θ4ˆ=min{X1,X2,X3,X4}+max{X1,X2,X3,X4}2

Se crea la siguiente funcion para optimizar codigo en la cual se tomaran muestras de n (20,50,100,1000)para una poblacion de 5000

n=4
m=5000
teta=2
rep = rexp(m*4,rate = teta) # repeticiones exponenciales
data = data.frame(matrix(rep,nrow = m, ncol = n, byrow = TRUE)) # creacion de tabla con 4 columnas y m filas


muestras_n <- function(data,n_muestra){
  muestra <- data[sample(nrow(data), size=n_muestra), ]
  muestra
  teta1 <- ((muestra$X1+muestra$X2)/6)+((muestra$X3+muestra$X4)/3)
  teta1
  teta2 <- (muestra$X1+2*muestra$X2+3*muestra$X3+4*muestra$X4)/5
  teta2
  teta3 <- (muestra$X1+muestra$X2+muestra$X3+muestra$X4)/4
  teta3
  teta4 <- (min(muestra$X1,muestra$X2,muestra$X3,muestra$X4)+max(muestra$X1,muestra$X2,muestra$X3,muestra$X4))/2
  teta4
  boxplot(teta1,teta2,teta3,teta4, col = c("red","blue","yellow","purple"))
  
  data2 = data.frame(teta1,teta2,teta3,teta4)
  # estimadores 
  cat("Valores de las medias \n")
  print(apply(data.frame(teta1,teta2,teta3,teta4),2, mean))
  cat("\n Valores de la desviaciones estandar \n ")
  print(apply(data.frame(teta1,teta2,teta3,teta4),2, sd))
}

muestras_n(data,20)

## Valores de las medias 
##     teta1     teta2     teta3     teta4 
## 0.4348837 0.8760764 0.4296824 0.8642430 
## 
##  Valores de la desviaciones estandar 
##      teta1     teta2     teta3     teta4 
## 0.1977023 0.3947311 0.1809129 0.0000000
muestras_n(data,50)

## Valores de las medias 
##     teta1     teta2     teta3     teta4 
## 0.5389168 1.0658550 0.5410652 1.6097559 
## 
##  Valores de la desviaciones estandar 
##      teta1     teta2     teta3     teta4 
## 0.2916842 0.6452049 0.2631518 0.0000000
muestras_n(data,100)

## Valores de las medias 
##     teta1     teta2     teta3     teta4 
## 0.5248804 1.0540654 0.5138619 1.9339464 
## 
##  Valores de la desviaciones estandar 
##      teta1     teta2     teta3     teta4 
## 0.2885300 0.6187343 0.2550735 0.0000000
muestras_n(data,1000)

## Valores de las medias 
##     teta1     teta2     teta3     teta4 
## 0.4878686 0.9726203 0.4920336 2.3259958 
## 
##  Valores de la desviaciones estandar 
##      teta1     teta2     teta3     teta4 
## 0.2527383 0.5281105 0.2411866 0.0000000

Para los tamaños de muestras correspondiente se observa que los mejores resultados se obtienen del estimador 4 ya que se puede clasificar como insesgado y eficiente, ademas su promedio esta mas cerca al valor del parametro 2, por otra parte el estimador 2 se acerca al promedio del parametro pero su varianza tiende a disminuir con una muestra mas grande.