Actividad 2 Métodos y simulación estadística: Problema 2

1. Propiedades de los estimadores

La simulación desempeña un papel crucial en la comprensión y validación de las propiedades de los estimadores estadísticos, tales como el sesgo, la eficiencia y la consistencia. En el siguiente problema, exploraremos las características de un grupo de estimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelo de probabilidad.

Supongamos que tenemos una muestra aleatoria de tamaño \(n=4\), denotada como \(X_1, X_2, X_3,\) y \(X_4\), y que la población subyacente sigue una distribución exponencial con un parámetro desconocido \(\theta\). A continuación, describiremos las características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:

  1. Estimador \(\hat{\theta}_1\): \[ \hat{\theta}_1 = \frac{X_1 + X_2}{6} + \frac{X_3 + X_4}{3} \]

  2. Estimador \(\hat{\theta}_2\): \[ \hat{\theta}_2 = \frac{X_1 + 2X_2 + 3X_3 + 4X_4}{5} \]

  3. Estimador \(\hat{\theta}_3\): \[ \hat{\theta}_3 = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4} \]

  4. Estimador \(\hat{\theta}_4\): \[ \hat{\theta}_4 = \frac{\min\{X_1, X_2, X_3, X_4\} + \max\{X_1, X_2, X_3, X_4\}}{2} \]

A través de un análisis detallado, examinaremos las propiedades y ventajas de cada uno de estos estimadores en la estimación del parámetro \(\theta\) en el contexto de la distribución exponencial.

2. Definición de los estimadores

estimador1 <- function(x) {
  return((x[1] + x[2])/6 + (x[3] + x[4])/3)
}

estimador2 <- function(x) {
  return((x[1] + 2*x[2] + 3*x[3] + 4*x[4])/5)
}

estimador3 <- function(x) {
  return(mean(x))
}

estimador4 <- function(x) {
  return((min(x) + max(x))/2)
}

3. Generación de las Muestras y Cálculo de los Estimadores

A continuación, vamos a generar muestras aleatorias de una distribución exponencial y a calcular los estimadores para dichas muestras.

theta <- 1
sizes <- c(20, 50, 100, 1000)
num_simulations <- 1000

results <- data.frame()

for (n in sizes) {
  estimations1 <- estimations2 <- estimations3 <- estimations4 <- numeric(num_simulations)
  
  for (i in 1:num_simulations) {
    sample_data <- rexp(n, 1/theta)
    selected_indices <- sample(1:n, 4) # selecciona aleatoriamente 4 índices de sample_data
    subset_data <- sample_data[selected_indices]
    
    estimations1[i] <- estimador1(subset_data)
    estimations2[i] <- estimador2(subset_data)
    estimations3[i] <- estimador3(subset_data)
    estimations4[i] <- estimador4(subset_data)
  }
  
  results <- rbind(results, data.frame(
    Size = n,
    Mean1 = mean(estimations1),
    Mean2 = mean(estimations2),
    Mean3 = mean(estimations3),
    Mean4 = mean(estimations4)
  ))
}

4. Evaluación de Insesgadez

Un estimador es insesgado si el valor esperado del estimador es igual al parámetro que está estimando.

print("Insesgadez de los estimadores:")
## [1] "Insesgadez de los estimadores:"
print(results)
##   Size     Mean1    Mean2     Mean3    Mean4
## 1   20 0.9856130 1.974788 0.9798863 1.135848
## 2   50 0.9895036 1.983908 0.9911649 1.153993
## 3  100 1.0392913 2.076196 1.0340125 1.209108
## 4 1000 0.9926412 1.974058 0.9995153 1.166676

Interpretación

Insesgadez:

  • Estimador 1: Aparenta ser insesgado. Las simulaciones muestran que el promedio de sus estimaciones tiende a oscilar alrededor del valor verdadero de \(\theta\) para todos los tamaños de muestra.
  • Estimador 2: Es sesgado. Sus estimaciones son, en promedio, aproximadamente el doble del valor verdadero de \(\theta\) para todos los tamaños de muestra.
  • Estimador 3: Aparenta ser insesgado. Las estimaciones son muy cercanas al verdadero valor de \(\theta\) en todos los tamaños de muestra.
  • Estimador 4: Muestra un ligero sesgo, siendo sus estimaciones generalmente ligeramente superiores al verdadero valor de \(\theta\).

4. Eficiencia y Consistencia

Un estimador es más eficiente que otro si tiene una menor varianza

library(ggplot2)
# Preparar datos para ggplot2
df_plot <- data.frame(
  Value = c(estimations1, estimations2, estimations3, estimations4),
  Estimador = factor(rep(1:4, each=num_simulations))
)

# Crear boxplot
ggplot(df_plot, aes(x=Estimador, y=Value, fill=Estimador)) + 
  geom_boxplot(outlier.shape = NA) +  # No mostrar outliers
  scale_fill_manual(values=c("#cb181d", "#fb6a4a", "#fcae91", "#fee5d9")) +
  labs(title="Eficiencia de los Estimadores",
       x="Estimador",
       y="Valor Estimado",
       fill="Estimador") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position="none")

Cunatitativamente

# Añadir columnas para las varianzas al dataframe results
results$Var1 <- NA
results$Var2 <- NA
results$Var3 <- NA
results$Var4 <- NA

for (n in sizes) {
  estimations1 <- estimations2 <- estimations3 <- estimations4 <- numeric(num_simulations)
  
  for (i in 1:num_simulations) {
    sample_data <- rexp(n, 1/theta)
    
    estimations1[i] <- estimador1(sample_data[1:4])
    estimations2[i] <- estimador2(sample_data[1:4])
    estimations3[i] <- estimador3(sample_data[1:4])
    estimations4[i] <- estimador4(sample_data[1:4])
  }
  
  # Actualizar el dataframe results con las varianzas calculadas
  results[results$Size == n, "Var1"] <- var(estimations1)
  results[results$Size == n, "Var2"] <- var(estimations2)
  results[results$Size == n, "Var3"] <- var(estimations3)
  results[results$Size == n, "Var4"] <- var(estimations4)
}

# Imprimir las varianzas de los estimadores
print(results[, c("Size", "Var1", "Var2", "Var3", "Var4")])
##   Size      Var1     Var2      Var3      Var4
## 1   20 0.2701659 1.161187 0.2585397 0.3970406
## 2   50 0.3043115 1.295042 0.2585594 0.4385160
## 3  100 0.2652748 1.109588 0.2392371 0.3825270
## 4 1000 0.2596505 1.133190 0.2384264 0.3933830

Observaciones

  • Estimador 3: Es el más eficiente, manifestando la varianza más baja entre todos los tamaños de muestra. Un estimador eficiente es más confiable, ya que varía menos alrededor del parámetro que está tratando de estimar.
  • Estimador 2: Es el menos eficiente, demostrando tener la varianza más alta entre los estimadores.
  • Estimadores 1 y 4: Tienen eficiencias intermedias. El Estimador 1, en general, muestra una eficiencia ligeramente mejor que el Estimador 4. La eficiencia se relaciona con la precisión del estimador: cuanto menor sea la varianza, más preciso es el estimador.

4. Evaluación de Consistencia

La consistencia de un estimador se refiere a la propiedad de que el estimador converge en probabilidad al parámetro verdadero a medida que el tamaño de la muestra tiende a infinito. En términos más simples, un estimador es consistente si, a medida que disponemos de más datos, es más probable que esté cerca del valor real del parámetro que estamos tratando de estimar.

  • Estimador 3: Demuestra ser potencialmente consistente, ya que sus estimaciones se aproximan al verdadero valor de \(\theta\) a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
  • Estimadores 1 y 4: También parecen ser consistentes, con el Estimador 1 mostrando ligeras variaciones.
  • Estimador 2: Es inconsistente, ya que no converge al verdadero valor de \(\theta\) a medida que el tamaño de la muestra aumenta.

5. Conclusión

De los cuatro estimadores, el Estimador 3 (que es simplemente el promedio de la muestra) parece ser el mejor en términos de insesgadez, eficiencia y consistencia. Esto sugiere que, para este modelo y en estas condiciones, el promedio de una muestra aleatoria es una buena aproximación para el parámetro \(\theta\) de una distribución exponencial.

Por otro lado, el Estimador 2 parece ser el menos adecuado debido a su sesgo y falta de consistencia. Es crucial tener en cuenta estas propiedades cuando se selecciona un estimador para una tarea de inferencia estadística, ya que pueden influir significativamente en la precisión y confiabilidad de las conclusiones.