Estimación del valor de π

La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuito con un área igual a π/4, está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria n puntos dentro del cuadrado . La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4. Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la estimación de π/4. De este último resultado se encontrar una aproximación para el valor de π.

Ejemplo de imagen
Ejemplo de imagen

Simulación 

# Definir la cantidad de puntos a generar
n <- 10000

# Inicializar contador para contar puntos dentro del círculo
count_inside_circle <- 0

# Crear un gráfico vacío para visualizar la simulación
plot(1, type = "n", xlim = c(0, 1), ylim = c(0, 1), xlab = "", ylab = "", main = "Simulación de Estimación de Pi")

# Dibujar el círculo
theta <- seq(0, 2 * pi, length.out = 100)
x_circle <- 0.5 + 0.5 * cos(theta)
y_circle <- 0.5 + 0.5 * sin(theta)
lines(x_circle, y_circle, col = "blue")

# Iterar para generar n coordenadas x e y y determinar si están dentro del círculo
for (i in 1:n) {
  
  # Generar coordenada x de forma aleatoria (distribución uniforme en el intervalo [0, 1])
  Xi <- runif(1, 0, 1)
  
  # Generar coordenada y de forma aleatoria (distribución uniforme en el intervalo [0, 1])
  Yi <- runif(1, 0, 1)
  
  # Calcular el cuadrado de la distancia desde el centro
  distancia_cuadrada <- (Xi - 0.5)^2 + (Yi - 0.5)^2

  # Comprobar si el punto está dentro del círculo (distancia < 0.25)
  if (distancia_cuadrada < 0.25) {
    count_inside_circle <- count_inside_circle + 1
    points(Xi, Yi, col = "green", pch = 19)
  } else {
    points(Xi, Yi, col = "red", pch = 19)
  }
}

# Calcular la estimación de π/4
estimacion_pi <- count_inside_circle / n

# Calcular el valor estimado de π
valor_estimado_pi <- estimacion_pi * 4

Generación de puntos adicionales

Puntos adicionales para 10,000 

# Definir la cantidad de puntos a generar (10,000 puntos)
n <- 10000

# Inicializar contador para contar puntos dentro del círculo para la simulación con 10,000 puntos
count_inside_circle <- 0

# Crear un gráfico vacío
plot(0, 0, xlim = c(0, 1), ylim = c(0, 1), xlab = "", ylab = "", main = "Simulación de Montecarlo para π")

# Dibujar el círculo
lines(x_circle, y_circle, col = "blue")

# Iterar para generar n coordenadas x e y y determinar si están dentro del círculo
for (i in 1:n) {
  
  # Generar coordenada x de forma aleatoria (distribución uniforme en el intervalo [0, 1])
  Xi <- runif(1, 0, 1)
  
  # Generar coordenada y de forma aleatoria (distribución uniforme en el intervalo [0, 1])
  Yi <- runif(1, 0, 1)
  
  # Calcular el cuadrado de la distancia desde el centro
  distancia_cuadrada <- (Xi - 0.5)^2 + (Yi - 0.5)^2
  
  # Comprobar si el punto está dentro del círculo (distancia < 0.25)
  if (distancia_cuadrada < 0.25) {
    count_inside_circle <- count_inside_circle + 1
    points(Xi, Yi, col = "green", pch = 19)
  } else {
    points(Xi, Yi, col = "red", pch = 19)
  }
}

# Calcular la estimación de π/4
estimacion_pi <- count_inside_circle / n

# Calcular el valor estimado de π
valor_estimado_pi <- estimacion_pi * 4

Puntos adicionales para 100.000 

# Definir la cantidad de puntos a generar (100,000 puntos)
n_100000 <- 100000

# Inicializar contador para contar puntos dentro del círculo para la simulación con 100,000 puntos
count_inside_circle_100000 <- 0

# Crear un gráfico vacío para la simulación con 100,000 puntos
plot(0, 0, xlim = c(0, 1), ylim = c(0, 1), xlab = "", ylab = "", main = "Simulación de Montecarlo para π (100,000 puntos)")

# Dibujar el círculo
lines(x_circle, y_circle, col = "blue")

# Iterar para generar n_100000 coordenadas x e y y determinar si están dentro del círculo
for (i in 1:n_100000) {
  
  # Generar coordenada x de forma aleatoria (distribución uniforme en el intervalo [0, 1])
  Xi <- runif(1, 0, 1)
  
  # Generar coordenada y de forma aleatoria (distribución uniforme en el intervalo [0, 1])
  Yi <- runif(1, 0, 1)
  
  # Calcular el cuadrado de la distancia desde el centro
  distancia_cuadrada <- (Xi - 0.5)^2 + (Yi - 0.5)^2
  
  # Comprobar si el punto está dentro del círculo (distancia < 0.25)
  if (distancia_cuadrada < 0.25) {
    count_inside_circle_100000 <- count_inside_circle_100000 + 1
    points(Xi, Yi, col = "green", pch = 19)
  } else {
    points(Xi, Yi, col = "red", pch = 19)
  }
}

# Calcular la estimación de π/4 para 100,000 puntos
estimacion_pi_100000 <- count_inside_circle_100000 / n_100000

# Calcular el valor estimado de π para 100,000 puntos
valor_estimado_pi_100000 <- estimacion_pi_100000 * 4

Validación 

# Imprimir los resultados en el informe para 10,000 puntos
cat("Estimación de π con 10,000 puntos:", valor_estimado_pi, "\n")
## Estimación de π con 10,000 puntos: 3.1572
# Imprimir los resultados en el informe para 100,000 puntos
cat("Número de puntos dentro del círculo (100,000 puntos):", count_inside_circle_100000, "\n")
## Número de puntos dentro del círculo (100,000 puntos): 78714
cat("Estimación de π con 100,000 puntos:", valor_estimado_pi_100000, "\n")
## Estimación de π con 100,000 puntos: 3.14856

Conclusión

Al utilizar la simulación de Monte Carlo para estimar el valor con 10,000 y 100,000 puntos. Se determina que la estimación entre mayor puntos tenga será más precisa,es decir, cuanto más puntos se utilicen en la simulación, mayor será la precisión de la estimación.

Repositorio Github

Si quieres consultar el codigó de este informe puedes validarlo en este enlace:

https://github.com/Jartpuro/U2_Informe_01