El proceso de simulación constituye una herramienta poderosa para la estadística que se pueden emplear para entender relaciones complejas y estimar valores difíciles de calcular directamente. Para entenderlo utilizaremos se plantean los siguientes problemas:

0.1 Problema 4

Estimacción boostrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del \(95 %\) para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del \(95 %\) - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X_1^{*}\). Después de anotado el valor se regresa \(X_1^{*}\) a la caja y se extrae el valor \(X_2^{*}\), regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño \(n, X_1^{*}, X_2^{*}, X_3^{*}, X_n^{*}\), conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga \(k = 1000\)). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\overline{X_i^{*}}\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_2.5 y P_97.5\). Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1: \((P_2.5;P_97.5)\)

Método 2: \(2\overline{X}-(P_97.5);2\overline{X}-(P_2.5)\)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

#Ejercicio extraído del artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001)
#Navidi(2006)

x=c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # datos muestra
boot=sample(x,70000,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b=matrix(boot,nrow=10000,ncol=7)    # se construye matriz de n x m 
mx=apply(b,1,mean)                 # se calculan m medias por fila

ic1=quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975)) # se calcula IC método 1
ic1
##     2.5%    97.5% 
## 4.725714 6.454286
ic2=c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1]) # se calcula IC método 2
ic2
##    97.5%     2.5% 
## 4.600472 6.329043
hist(mx, las=1, main=" ", ylab = " ", xlab = " ", col="grey")
abline(v=ic1, col="red",lwd=2)
abline(v=ic2, col="blue",lwd=2)

Los dos métodos para el cálculo de intervalos de confianza son muy similares. De acuerdo con Navidi (2006), la colección de las medias muestrales de estimación bootstrap \(\overline{X_i^{*}}\) se aproxima a una muestra aleatoria de la distribución de \(\overline{X}\), por lo que esta colección, en vez de la curva normal, constituye la base para el intervalo de confianza. El ancho del intervalo de confianza de estimación bootstrap es puesto para igualar el ancho de \(95\%\) intermedio de la media muestral de estimación bootstrap con el fin de aproximar el ancho de la distribución desconocida de \(\overline{X}\).

Así las cosas, los resultados de las dos formas de estimar intervalos de confianza se podrían ver como estrategias complementarias, dado que la segunda corrige el intervalo y/o sesgo de la primera.

El desarrollo de este punto se hizo con base en los apuntes de clase.