Introducción a la probabilidad
Técnicas Estadísticas y Análisis de Datos Climáticos
Victor Eduardo Diaz Romero
2023/09/16
Probabilidad
Experimento:
Un experimento consiste en la observación de un fenómeno ocurrido en la naturaleza. Pueden señalarse dos tipos de experimentos, a partir de la predictibilidad del resultado:
1. Experimento Determinista
Un experimento determinista es aquel que, una vez estudiado, podemos predecirlo (es fijo), es decir, que sabemos lo que sucederá antes de que ocurra.
Algunos ejemplos:
- Si tiramos una piedra al aire esta caerá.
- Si un coche que va a 100 km/h tarda en hacer un trayecto de 1 hora, tenemos la certeza de que ha recorrido 100 km.
- Si ponemos agua en el congelador sabemos que se congelará a 0º C.
Presión atmosférica teórica a diferentes alturas mediante la ecuación barométrica (Relación determinista entre la presión, altura y temperatura)
# Datos meteorológicos
altura <- seq(0, 10000, by = 500) # Altura en metros
temperatura_superficie <- 20 # Temperatura a nivel del mar en °C
presion_superficie <- 1013.25 # Presión atmosférica a nivel del mar en hPa
constante_lapse_rate <- 0.0065 # Tasa de cambio de temperatura con la altura
constante_gas_seco <- 287 # Constante del gas seco en J/(kg·K)
constante_gravedad <-9.80667 # en m/s2
# Calcular la presión atmosférica en función de la altura utilizando la ecuación barométrica
temperatura <- temperatura_superficie - constante_lapse_rate * altura
presion <- presion_superficie * (1 - (constante_lapse_rate * altura) / (temperatura_superficie + 273.15))^(constante_gravedad / (constante_lapse_rate * constante_gas_seco))
# Gráfico de la presión atmosférica en función de la altura
library(ggplot2)
df <- data.frame(altura, presion)
ggplot(df, aes(x = presion, y = altura)) +
geom_line() +
labs(x = "Presión Atmosférica (hPa)", y = "Altura (m)") +
ggtitle("Presión Atmosférica en Función de la Altura") +
theme_minimal()
2.Experimento aleatorio
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir, es decir, que por muchas veces que repitamos el experimento en igualdad de condiciones, no se conoce el resultado que se va a obtener. Por ejemplo: - Si lanzamos dos monedas no sabemos si saldrá cara o cruz. - Cuando sacamos una bola de una caja que contiene bolas de diferentes colores, no podemos predecir el color que obtendremos. - Si lanzamos un dado, no podemos predecir el número que saldrá.
Espacio Muestral
Un espacio muestral (Ω) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplos:
- Se lanzan dos monedas, entonces, el espacio muestral será Ω = {𝐶𝐶, 𝐶𝑆, 𝑆𝐶, 𝑆𝑆}, donde 𝐶 es la cara de una moneda y 𝑆, el sello.
- Se lanzan un dado, entonces, el espacio muestral será Ω = {1,2,3,4,5,6}
Suceso
Se conocen como eventos o sucesos a un subconjunto del espacio muestral o del resultado particular de un experimento aleatorio. Se los suele representar por las primeras letras del alfabeto.
Ejemplos:
- Evento A: Que salga un número par al lanzar un dado.
- Evento B: Que salga sello al lanzar una moneda.
Suceso elemental
Un Suceso Elemental es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio, es decir, cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Ejemplos:
Lanzar un dado:
##Experimento aleatorio: Lanzar un dado
EA <- "Lanzar un dado"
EA## [1] "Lanzar un dado"#Espacio muestral: todos los resultados del experimento aleatorio
EM <- c(1:6)
EM## [1] 1 2 3 4 5 6#Suceso: Sale un número par
#%% obtiene el residuo de una división
S1 <- EM[EM %% 2 == 0]
S1## [1] 2 4 6#Suceso: Sale un número impar
S2 <- EM[EM %% 2 != 0]
S2## [1] 1 3 5#Suceso: Número mayor a 3
S3 <- EM[EM > 3]
S3## [1] 4 5 6#Suceso elemental:
sample(EM,1)## [1] 1Obtener 4 bolas de una urna
Se tiene una urna con bolas de color de color roja, verde y azul, se quiere obtener 4.
##Experimento aleatorio:
EA <- "Se tiene una urna con bolas de color de color roja, verde y azul, se quiere obtener 4"
EA## [1] "Se tiene una urna con bolas de color de color roja, verde y azul, se quiere obtener 4"#Espacio muestral: todos los resultados del experimento aleatorio
EMU<-function(n){
temp<-list()
for (i in 1:n){
temp[[i]]<-c("Rojo","Azul","Verde")
}
resultado<-expand.grid(temp)
names(resultado)<-c(paste(rep("Bola",n),1:n,sep=""))
return(resultado)
}
EMU(4)## Bola1 Bola2 Bola3 Bola4
## 1 Rojo Rojo Rojo Rojo
## 2 Azul Rojo Rojo Rojo
## 3 Verde Rojo Rojo Rojo
## 4 Rojo Azul Rojo Rojo
## 5 Azul Azul Rojo Rojo
## 6 Verde Azul Rojo Rojo
## 7 Rojo Verde Rojo Rojo
## 8 Azul Verde Rojo Rojo
## 9 Verde Verde Rojo Rojo
## 10 Rojo Rojo Azul Rojo
## 11 Azul Rojo Azul Rojo
## 12 Verde Rojo Azul Rojo
## 13 Rojo Azul Azul Rojo
## 14 Azul Azul Azul Rojo
## 15 Verde Azul Azul Rojo
## 16 Rojo Verde Azul Rojo
## 17 Azul Verde Azul Rojo
## 18 Verde Verde Azul Rojo
## 19 Rojo Rojo Verde Rojo
## 20 Azul Rojo Verde Rojo
## 21 Verde Rojo Verde Rojo
## 22 Rojo Azul Verde Rojo
## 23 Azul Azul Verde Rojo
## 24 Verde Azul Verde Rojo
## 25 Rojo Verde Verde Rojo
## 26 Azul Verde Verde Rojo
## 27 Verde Verde Verde Rojo
## 28 Rojo Rojo Rojo Azul
## 29 Azul Rojo Rojo Azul
## 30 Verde Rojo Rojo Azul
## 31 Rojo Azul Rojo Azul
## 32 Azul Azul Rojo Azul
## 33 Verde Azul Rojo Azul
## 34 Rojo Verde Rojo Azul
## 35 Azul Verde Rojo Azul
## 36 Verde Verde Rojo Azul
## 37 Rojo Rojo Azul Azul
## 38 Azul Rojo Azul Azul
## 39 Verde Rojo Azul Azul
## 40 Rojo Azul Azul Azul
## 41 Azul Azul Azul Azul
## 42 Verde Azul Azul Azul
## 43 Rojo Verde Azul Azul
## 44 Azul Verde Azul Azul
## 45 Verde Verde Azul Azul
## 46 Rojo Rojo Verde Azul
## 47 Azul Rojo Verde Azul
## 48 Verde Rojo Verde Azul
## 49 Rojo Azul Verde Azul
## 50 Azul Azul Verde Azul
## 51 Verde Azul Verde Azul
## 52 Rojo Verde Verde Azul
## 53 Azul Verde Verde Azul
## 54 Verde Verde Verde Azul
## 55 Rojo Rojo Rojo Verde
## 56 Azul Rojo Rojo Verde
## 57 Verde Rojo Rojo Verde
## 58 Rojo Azul Rojo Verde
## 59 Azul Azul Rojo Verde
## 60 Verde Azul Rojo Verde
## 61 Rojo Verde Rojo Verde
## 62 Azul Verde Rojo Verde
## 63 Verde Verde Rojo Verde
## 64 Rojo Rojo Azul Verde
## 65 Azul Rojo Azul Verde
## 66 Verde Rojo Azul Verde
## 67 Rojo Azul Azul Verde
## 68 Azul Azul Azul Verde
## 69 Verde Azul Azul Verde
## 70 Rojo Verde Azul Verde
## 71 Azul Verde Azul Verde
## 72 Verde Verde Azul Verde
## 73 Rojo Rojo Verde Verde
## 74 Azul Rojo Verde Verde
## 75 Verde Rojo Verde Verde
## 76 Rojo Azul Verde Verde
## 77 Azul Azul Verde Verde
## 78 Verde Azul Verde Verde
## 79 Rojo Verde Verde Verde
## 80 Azul Verde Verde Verde
## 81 Verde Verde Verde Verde#Suceso: 3 primeras son rojas
S1 <-c(c("RRRA"),c("RRRR"),c("RRRV"))
S1## [1] "RRRA" "RRRR" "RRRV"#Suceso elemental:
"RVAR"## [1] "RVAR"Tipo de día de mañana basado en la condición del cielo
# Experimento aleatorio:
EA <- "Tipo de día de mañana basado en la condición del cielo"
EA## [1] "Tipo de día de mañana basado en la condición del cielo"# Espacio muestral: todos los posibles resultados (diferentes condiciones del cielo)
EM <- c("Día Soleado", "Día Nublado", "Día Lluvioso", "Día Nevado")
# Suceso: día con precipitación
S1 <- c("Día Lluvioso", "Día Nevado")
S1## [1] "Día Lluvioso" "Día Nevado"# Suceso elemental:
sample(EM, 1)## [1] "Día Nublado"Probabilidad Clásica
Sea espacio muestral finito y supongamos que todos los eventos elementales suceden con la misma probabilidad. Entonces, para cada evento A: Donde A viene a ser un suceso
Regla de Laplace
P(A)=Número de elementos del suceso A / Número de elementos total del espacio muestral
EA <- "Lanzar un dado"
EA## [1] "Lanzar un dado"EM <- c(1:6)
EM## [1] 1 2 3 4 5 6S1 <- EM[EM %% 2 == 0]
S1## [1] 2 4 6P.S1 <- length(S1)/length(EM)
P.S1## [1] 0.5##Experimento aleatorio:
EA <- "Se tiene una urna con bolas de color de color roja, verde y azul, se quiere obtener 4"
EA## [1] "Se tiene una urna con bolas de color de color roja, verde y azul, se quiere obtener 4"#Espacio muestral: todos los resultados del experimento aleatorio
EMU<-function(n){
temp<-list()
for (i in 1:n){
temp[[i]]<-c("Rojo","Azul","Verde")
}
resultado<-expand.grid(temp)
names(resultado)<-c(paste(rep("Bola",n),1:n,sep=""))
return(resultado)
}
EMU(4)## Bola1 Bola2 Bola3 Bola4
## 1 Rojo Rojo Rojo Rojo
## 2 Azul Rojo Rojo Rojo
## 3 Verde Rojo Rojo Rojo
## 4 Rojo Azul Rojo Rojo
## 5 Azul Azul Rojo Rojo
## 6 Verde Azul Rojo Rojo
## 7 Rojo Verde Rojo Rojo
## 8 Azul Verde Rojo Rojo
## 9 Verde Verde Rojo Rojo
## 10 Rojo Rojo Azul Rojo
## 11 Azul Rojo Azul Rojo
## 12 Verde Rojo Azul Rojo
## 13 Rojo Azul Azul Rojo
## 14 Azul Azul Azul Rojo
## 15 Verde Azul Azul Rojo
## 16 Rojo Verde Azul Rojo
## 17 Azul Verde Azul Rojo
## 18 Verde Verde Azul Rojo
## 19 Rojo Rojo Verde Rojo
## 20 Azul Rojo Verde Rojo
## 21 Verde Rojo Verde Rojo
## 22 Rojo Azul Verde Rojo
## 23 Azul Azul Verde Rojo
## 24 Verde Azul Verde Rojo
## 25 Rojo Verde Verde Rojo
## 26 Azul Verde Verde Rojo
## 27 Verde Verde Verde Rojo
## 28 Rojo Rojo Rojo Azul
## 29 Azul Rojo Rojo Azul
## 30 Verde Rojo Rojo Azul
## 31 Rojo Azul Rojo Azul
## 32 Azul Azul Rojo Azul
## 33 Verde Azul Rojo Azul
## 34 Rojo Verde Rojo Azul
## 35 Azul Verde Rojo Azul
## 36 Verde Verde Rojo Azul
## 37 Rojo Rojo Azul Azul
## 38 Azul Rojo Azul Azul
## 39 Verde Rojo Azul Azul
## 40 Rojo Azul Azul Azul
## 41 Azul Azul Azul Azul
## 42 Verde Azul Azul Azul
## 43 Rojo Verde Azul Azul
## 44 Azul Verde Azul Azul
## 45 Verde Verde Azul Azul
## 46 Rojo Rojo Verde Azul
## 47 Azul Rojo Verde Azul
## 48 Verde Rojo Verde Azul
## 49 Rojo Azul Verde Azul
## 50 Azul Azul Verde Azul
## 51 Verde Azul Verde Azul
## 52 Rojo Verde Verde Azul
## 53 Azul Verde Verde Azul
## 54 Verde Verde Verde Azul
## 55 Rojo Rojo Rojo Verde
## 56 Azul Rojo Rojo Verde
## 57 Verde Rojo Rojo Verde
## 58 Rojo Azul Rojo Verde
## 59 Azul Azul Rojo Verde
## 60 Verde Azul Rojo Verde
## 61 Rojo Verde Rojo Verde
## 62 Azul Verde Rojo Verde
## 63 Verde Verde Rojo Verde
## 64 Rojo Rojo Azul Verde
## 65 Azul Rojo Azul Verde
## 66 Verde Rojo Azul Verde
## 67 Rojo Azul Azul Verde
## 68 Azul Azul Azul Verde
## 69 Verde Azul Azul Verde
## 70 Rojo Verde Azul Verde
## 71 Azul Verde Azul Verde
## 72 Verde Verde Azul Verde
## 73 Rojo Rojo Verde Verde
## 74 Azul Rojo Verde Verde
## 75 Verde Rojo Verde Verde
## 76 Rojo Azul Verde Verde
## 77 Azul Azul Verde Verde
## 78 Verde Azul Verde Verde
## 79 Rojo Verde Verde Verde
## 80 Azul Verde Verde Verde
## 81 Verde Verde Verde Verde#Suceso: 3 primeras son rojas
S1 <-c(c("RRRA"),c("RRRR"),c("RRRV"))
S1## [1] "RRRA" "RRRR" "RRRV"P.S1 <- length(S1)/nrow(EMU(4))# Experimento aleatorio:
EA <- "Tipo de día de mañana basado en la condición del cielo"
EA## [1] "Tipo de día de mañana basado en la condición del cielo"# Espacio muestral: todos los posibles resultados (diferentes condiciones del cielo)
EM <- c("Día Soleado", "Día Nublado", "Día Lluvioso", "Día Nevado")
# Suceso: día con precipitación
S1 <- c("Día Lluvioso", "Día Nevado")
S1## [1] "Día Lluvioso" "Día Nevado"P.S1 <- length(S1)/length(EM)Axiomas de la probabilidad
## Axiomas de la probabilidad
# Probabilidad de tener al menos una tarjeta de crédito de cualquier tipo
# P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
# Probabilidad de tener una tarjeta de tipo A
prob_A <- 0.40
# Probabilidad de tener una tarjeta de tipo B
prob_B <- 0.30
# Probabilidad de tener ambas tarjetas (intersección)
prob_interseccion_A_B <- 0.15
###########P(A U B)
# Calculamos la probabilidad de tener al menos una tarjeta de crédito de cualquier tipo
prob_al_menos_una <- prob_A + prob_B - prob_interseccion_A_B
prob_al_menos_una## [1] 0.55###########
#No puede existir una probabilidad menor que 0
#Probabilidad siempre se encuentra entre 0 ( caso imposible) y 1 ( caso seguro)Variable aleatoria
Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. En otras palabras, es una variable que toma valores numéricos en función de los resultados de un experimento aleatorio.
OJO: a diferencia del espacio muestral que consideraba los posibles resultados, aquí se toman todos los resultados que se dan durante un periodo.
Algunos ejemplos son: número de caras obtenidas al lanzar seis veces una moneda, número de llamadas que recibe un teléfono durante una hora, tiempo de fallo de una componente eléctrica, número de heladas durante un año.
Ejemplo:
# Simulación de datos de temperatura mínima (ejemplo)
set.seed(123)
temperaturas_minimas <- rnorm(365, mean = 5, sd = 3) # Temperaturas mínimas diarias en grados Celsius
dx <- density(temperaturas_minimas ,na.rm=T)
hist(temperaturas_minimas ,main="Histograma de heladas",freq=T)
# Calcular la probabilidad de heladas (temperatura mínima < 0°C)
dias_con_heladas <- sum(temperaturas_minimas < 0)
total_dias <- length(temperaturas_minimas)
probabilidad_heladas <- dias_con_heladas / total_dias# Simulación de datos de precipitación histórica (ejemplo)
set.seed(123) # Establecer semilla para reproducibilidad
precipitacion <- rnorm(365, mean = 0.1, sd = 0.5) # Datos de precipitación en mm para un año
# Calcular la probabilidad de lluvia
dias_con_lluvia <- sum(precipitacion > 0)
total_dias <- length(precipitacion)
probabilidad_lluvia <- dias_con_lluvia / total_dias
probabilidad_lluvia ## [1] 0.5643836