Ejercicio

La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuito con un área igual a π/4 , está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria n puntos dentro del cuadrado. La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4. Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la estimación de π/4. De este último resultado se encontrar una aproximación para el valor de π.

Pasos sugeridos:

A. Genere n coordenadas x:X1 , . . . , Xn. Utilice la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1. La distribución uniforme genera variables aleatorias que tienen la misma probabilidad de venir de cualquier parte del intervalo (0,1).

B. Genere 1000 coordenadas y:Y1,…,Yn, utilizando nuevamente la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1.

## Generación de muestras n=1000

n <- 1000
x <- runif(n, min = 0, max = 1)
y <- runif(n, min = 0, max = 1)

C. Cada punto (Xi,Yi)se encuentra dentro del círculo si su distancia desde el centro (0.5,0.5)es menor a 0.5. Para cada par (Xi,Yi)determine si la distancia desde el centro es menor a 0.5. Esto último se puede realizar al calcular el valor (Xi−0.5)2+(Yi−0.5)2, que es el cuadrado de la distancia, y al determinar si es menor que 0.25.

## Determinar si cada punto (Xi,Yi)se encuentra dentro del círculo 

  dentro_del_circulo <- (x-0.5)^2+(y-0.5)^2 <0.25
  1. ¿Cuántos de los puntos están dentro del círculo? ¿Cuál es su estimación de π?
## Contar los puntos dentro del circulo

puntos_dentro_del_circulo <- sum(dentro_del_circulo)

## Estimación de π

π <- 4* (puntos_dentro_del_circulo / n)

Resultados

El valor estimado de π y los puntos dentro del circulo corresponden a un n=1000

## Imprimir resultados 
print(π)
## [1] 3.12
print(puntos_dentro_del_circulo)
## [1] 780

Estimación de π y puntos dentro del circulo para un n = 10000

## Generación de muestras n=10000

n <- 10000
x <- runif(n, min = 0, max = 1)
y <- runif(n, min = 0, max = 1)

## Determinar si cada punto (Xi,Yi)se encuentra dentro del círculo 

  dentro_del_circulo <- (x-0.5)^2+(y-0.5)^2 <0.25

## Contar los puntos dentro del circulo

puntos_dentro_del_circulo <- sum(dentro_del_circulo)

## Estimación de π

π <- 4* (puntos_dentro_del_circulo / n)

## Imprimir resultados 
print(π)
## [1] 3.1488
print(puntos_dentro_del_circulo)
## [1] 7872

Estimación de π y puntos dentro del circulo para un n = 100000

## Generación de muestras n=100000

n <- 100000
x <- runif(n, min = 0, max = 1)
y <- runif(n, min = 0, max = 1)

## Determinar si cada punto (Xi,Yi)se encuentra dentro del círculo 

  dentro_del_circulo <- (x-0.5)^2+(y-0.5)^2 <0.25

## Contar los puntos dentro del circulo

puntos_dentro_del_circulo <- sum(dentro_del_circulo)

## Estimación de π

π <- 4* (puntos_dentro_del_circulo / n)

## Imprimir resultados 
print(π)
## [1] 3.1444
print(puntos_dentro_del_circulo)
## [1] 78610

Conclusión

A medida que se incrementa la cantidad de muestras (n), el valor del estimador (π) se acerca al valor delparámetro. Esto demuestra que el estimador es consistente.