4. Estimacción boostrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1 . Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2 , regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n , X∗1 ,X∗2 ,X∗2 ,X∗n , conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯ , obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5 . Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1 (P2.5;P97.5) Método 2 (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

Nota las muestras bootstrap se pueden obtener a partir de muestreo aleatorio con repetición (o tambien llamado con sustitución)

Entregable : enlace en RPubs con informe 4

funciones recomendadas : sample() , apply(), quantile()

Problema tomado de Navidi(2006)

Solución 

library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
# Datos de eficiencia de combustible
datos <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
k <- 1000
muestras_bootstrap <- replicate(k, sample(datos, replace = TRUE))
medias_bootstrap <- apply(muestras_bootstrap, 2, mean)

percentil_2.5 <- quantile(medias_bootstrap, 0.025)
percentil_97.5 <- quantile(medias_bootstrap, 0.975)

intervalo_metodo1 <- c(percentil_2.5, percentil_97.5)

media <- mean(datos)
intervalo_metodo2 <- c(2 * media - percentil_97.5, 2 * media - percentil_2.5)

cat("Intervalo de Confianza Método 1: (", intervalo_metodo1[1], ", ", intervalo_metodo1[2], ")\n")
## Intervalo de Confianza Método 1: ( 4.694179 ,  6.444536 )
cat("Intervalo de Confianza Método 2: (", intervalo_metodo2[1], ", ", intervalo_metodo2[2], ")\n")
## Intervalo de Confianza Método 2: ( 4.624036 ,  6.374393 )
hist(medias_bootstrap, las=1, main="Histograma y estimado intervalos confianza", col="blue", breaks=20)
abline(v=intervalo_metodo1, col="red",lwd=2)
abline(v=intervalo_metodo2, col="brown",lwd=2)

Podemos concluir que los interbalos de ambos métodos se superponen de manera significativa, lo cual indica que los resultados de ambos métodos son similares en relación a la estimación del intervalo de confianza para la media de la eficiencia de combustible. también se puede afirmar que las muestras bootstrap son coherentes y que existe un alto grado de confianza en la estimación de la media de la eficiencia de combustible ya que los intérbalos de confianza de ambos métodos son razonablemente estrechos, finalmente podemos concluir que ambos métodos proporcionan intérvalos de confianza similares y estrechos, lo cual proporciona confiabilidad en las estimaciones.