3. Teorema del Límite Central

El Teorema del Límite Central es uno de los más importantes en la inferencia estadística y habla sobre la convergencia de los estimadores como la proporción muestral a la distribución normal. Algunos autores afirman que esta aproximación es bastante buena a partir del umbral n>30.

A continuación se describen los siguientes pasos para su verificación:

Solución

ealice una simulación en la cual genere una población de n=1000 (Lote), donde el porcentaje de individuos (supongamos plantas) enfermas sea del 50%.

getPoblacion <- function(porcentaje){
  set.seed(123)  
  #poblacion <- rep(c(0, 1), each = 1000) # 0 para no enfermos, 1 para enfermos
  poblacion <- rbinom(n = 1000, size = 1, prob = porcentaje)  
  return(poblacion)
}

B)Genere una función que permita:
Obtener una muestra aleatoria de la población y
Calcule el estimador de la proporción muestral pˆ para un tamaño de muestra dado n .

obtener_muestra_y_estimar_proporcion <- function(n, poblacion) {
  muestra <- sample(poblacion, size = n, replace = TRUE)
  proporcion_estimada <- mean(muestra)
  return(proporcion_estimada)
}

iterar <- function(n_simulaciones, poblacion){
  resultados <- replicate(n_simulaciones, obtener_muestra_y_estimar_proporcion(n = n_simulaciones, poblacion))

  media_estimadores <- mean(resultados)
  desviacion_estandar_estimadores <- sd(resultados)
  cat("Media",media_estimadores)
  cat(" Desviación estándar", desviacion_estandar_estimadores)

  hist(resultados, main = paste0("Histograma de Estimadores de Proporción n= ",n_simulaciones), xlab = "Proporción Estimada", ylab = "Frecuencia")
  # Agregar una línea roja en el valor 0.5
  abline(v = 0.5, col = "red")

  boxplot(resultados)


  d=density(resultados)
  textoX <- paste0("n=",n_simulaciones)
  plot(d, main=" ", xlab = textoX)

  qqnorm(resultados) ; qqline(resultados, col="red")
  shpiro_v <- shapiro.test(resultados)
  print(shpiro_v)

}

Repita el escenario anterior (b) n=500 veces y analice los resultados en cuanto al comportamiento de los 500 resultados del estimador pˆ. ¿Qué tan simétricos o sesgados son los resultados obtenidos? y ¿qué se puede observar en cuanto a la variabilidad?. Realice en su informe un comentario sobre los resultados obtenidos. .

Para una n=500 se puede observar que la media se acerca al 0.5 o 50%, además podemos observar que la convergencia de la distribución de la media muestral tiende a una distribución normal. En cuanto a la variabilidad podemos observar una desviación estándar con un valor bajo, lo cual nos indica una baja disperción por tanto el conjunto de datos tienden a estar muy cerca de la media. los datos son relativamente homogeneos o consistentes en conclusión obtenemos una distribución aproximadamente normal

poblacionCincuenta <- getPoblacion(0.5)
iterar(500,poblacionCincuenta)

## Media 0.494668 Desviación estándar 0.02325208

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.99595, p-value = 0.2292

Repita los puntos b y c para tamaños de muestra n=5, 10, 15, 20, 30, 50, 60, 100, 200, 500. Compare los resultados obtenidos para los diferentes tamaños de muestra en cuanto a la normalidad. Utilice pruebas de bondad y ajuste (shapiro wilks :shspiro.test()) y métodos gráficos (gráfico de normalidad: qqnorm()). Comente en su informe los resultados obtenidos

Podemos observar que para tamaños de muestra pequeños n<30 convergencia de la distribución de la media muestral no tiende a una distribución normal, confirmando que para n>30 se empieza a ver de forma más clara la distribución normal.

muestras <- c(5,10,20,30,50,60,100,200,500)
for(index in muestras){
  iterar(index, poblacionCincuenta)
}

## Media 0.6 Desviación estándar 0.244949

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.83274, p-value = 0.1458
## 
## Media 0.52 Desviación estándar 0.2043961

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.97226, p-value = 0.911
## 
## Media 0.4875 Desviación estándar 0.1122439

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.87328, p-value = 0.01343
## 
## Media 0.4822222 Desviación estándar 0.07962235

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.95327, p-value = 0.2067
## 
## Media 0.5008 Desviación estándar 0.06844751

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.97858, p-value = 0.4936
## 
## Media 0.495 Desviación estándar 0.06504381

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.94916, p-value = 0.01422
## 
## Media 0.4911 Desviación estándar 0.04741595

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.97963, p-value = 0.1245
## 
## Media 0.49295 Desviación estándar 0.03524213

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.98956, p-value = 0.1542
## 
## Media 0.494416 Desviación estándar 0.02220191

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.99618, p-value = 0.274

Poblacion con plantas 10% enfermas

Repita toda la simulación (puntos a – d), pero ahora para lotes con 10% de plantas enfermas y de nuevo para lotes con un 90% de plantas enfermas. Concluya sobre los resultados del ejercicio.

Para una muestra que contiienen el 10% de plantas enfermas se puede ver que no existe una distribucion normal, todos los valores tienden hacia abajo lo cual indica que hay baja prevalencia de la enfermedad, a medida que aumenta el número de la muestra la gráfica denota más la distribución normal hacia 0.1

poblacionDiez <- getPoblacion(0.1)
muestras <- c(5,10,20,30,50,60,100,200,500)
for(index in muestras){
  iterar(index, poblacionDiez)
}

## Media 0.16 Desviación estándar 0.167332

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.88104, p-value = 0.314
## 
## Media 0.06 Desviación estándar 0.06992059

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.78089, p-value = 0.008489
## 
## Media 0.085 Desviación estándar 0.07089651

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.90055, p-value = 0.04223
## 
## Media 0.1044444 Desviación estándar 0.05305483

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.94969, p-value = 0.1659
## 
## Media 0.0844 Desviación estándar 0.03214508

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.92055, p-value = 0.002469
## 
## Media 0.08388889 Desviación estándar 0.03484789

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.93899, p-value = 0.004882
## 
## Media 0.0973 Desviación estándar 0.02960532

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.97149, p-value = 0.02876
## 
## Media 0.093 Desviación estándar 0.02176854

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.98424, p-value = 0.02456
## 
## Media 0.091988 Desviación estándar 0.01315088

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.99394, p-value = 0.04338

Poblacion con plantas 90% enfermas

Para una muestra que contiienen el 90% de plantas enfermas se puede ver que no existe una distribucion normal, todos los valores tienden hacia arriba lo cual indica que hay alta prevalencia de la enfermedad, a medida que aumenta el número de la muestra la gráfica denota más la distribución normal hacia 0.9

poblacionDiez <- getPoblacion(0.9)
muestras <- c(5,10,20,30,50,60,100,200,500)
for(index in muestras){
  iterar(index, poblacionDiez)
}

## Media 0.84 Desviación estándar 0.167332

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.88104, p-value = 0.314
## 
## Media 0.94 Desviación estándar 0.06992059

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.78089, p-value = 0.008489
## 
## Media 0.915 Desviación estándar 0.07089651

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.90055, p-value = 0.04223
## 
## Media 0.8955556 Desviación estándar 0.05305483

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.94969, p-value = 0.1659
## 
## Media 0.9156 Desviación estándar 0.03214508

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.92055, p-value = 0.002469
## 
## Media 0.9161111 Desviación estándar 0.03484789

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.93899, p-value = 0.004882
## 
## Media 0.9027 Desviación estándar 0.02960532

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.97149, p-value = 0.02876
## 
## Media 0.907 Desviación estándar 0.02176854

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.98424, p-value = 0.02456
## 
## Media 0.908012 Desviación estándar 0.01315088

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resultados
## W = 0.99394, p-value = 0.04338

Métodos y análisis estadístico

Jamith Bolaños Vidal

3. Teorema del Límite Central

Solución

Poblacion con plantas 10% enfermas

Poblacion con plantas 90% enfermas