Problema 2

La simulación ayuda a entender y validad las propiedades de los estimadores estadísticos como son. insesgadez, eficiencia y la consistencia principalmente. El siguiente problema permite evidenciar las principales características de un grupo de estimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelo de probabilidad.

Sean X1, X2, X3 y X4, una muestra aleatoria de tamaño n=4 cuya población la conforma una distribución exponencial con parámetro θ desconocido. Determine las características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:

θ1ˆ=(X1+X2)/6+(X3+X4)/3

θ2ˆ=(X1+2X2+3X3+4X4)/5

θ3ˆ=(X1+X2+X3+X4)/4

θ4ˆ=[min{X1,X2,X3,X4}+max{X1,X2,X3,X4}]/2

Solución

Como primer paso e incluye la libreria y se definen las funciones para calcular cada estimador, posteriormente se define el valor de θ = 1

library(ggplot2)

estimadorTheta1 <- function(muestra) {
  return (((muestra[1] + muestra[2]) / 6) + ((muestra[3] + muestra[4]) / 3))
}

estimadorTheta2 <- function(muestra) {
  return ((muestra[1] + 2 * muestra[2] + 3 * muestra[3] + 4 * muestra[4]) / 5)
}

estimadorTheta3 <- function(muestra) {
  return ((muestra[1] + muestra[2] + muestra[3] + muestra[4]) / 4)
}

estimadorTheta4 <- function(muestra) {
  return ((min(muestra) + max(muestra)) / 2)
}

# Asignación  del valor de theta
thetaReal <- 1

Se genera una vector con los datos de los tamaños de las diferentes muestras [20,50,100, 1000] y se crea un dataFrame llamado resultados para almacenar los resultados de la estimación, en un ciclo se recorre el vector que contiene los tamaños y se generan las muestras para cada tamaño, se calculan las estimaciones, así como las propiedades de sesgo, varianza y eficiencia, una vez generados se almacenan en la estructura de datos denominada resultados

# Genera muestras para diferentes tamaños de muestra
# Tamaños de muestra
tamanosMuestra <- c(20, 50, 100, 1000)

# Dataframe para almacenar resultados
resultados <- data.frame(N = integer(), Theta1 = double(), Theta2 = double(), Theta3 = double(), Theta4 = double())


for (n in tamanosMuestra) {
  # Genera muestras para cada tamaño
  muestras <- matrix(rexp(4 * n, rate = thetaReal), ncol = 4)
  
  
  # Calcula los estimadores para cada muestra
  estimaciones <- apply(muestras, 1, function(x) c(estimadorTheta1(x), estimadorTheta2(x), estimadorTheta3(x), estimadorTheta4(x)))
  # Calcula el sesgo para cada estimador
  sesgo <- colMeans(estimaciones) - thetaReal
  
  # Calcula la varianza para cada estimador
  varianzas <- colMeans((estimaciones - rep(thetaReal, nrow(estimaciones)))^2)
  
  # Calcula la eficiencia para cada estimador
  eficiencia <- varianzas / var(estimaciones)
  
  # Calcula la consistencia para cada estimador
  consistencia <- apply(estimaciones, 2, function(x) mean(x))
  
  media <- colMeans(estimaciones)
  
  # Almacena los resultados en el dataframe
  resultados <- rbind(resultados, data.frame(N = n, SesgoTheta1 = abs(sesgo[1]), SesgoTheta2 = abs(sesgo[2]), SesgoTheta3 = abs(sesgo[3]), SesgoTheta4 = abs(sesgo[4]), Eficiencia1 = varianzas[1], Eficiencia2 = varianzas[2], Eficiencia3 = varianzas[3], Eficiencia4 = varianzas[4], Consistencia1 = consistencia[1], Consistencia2 = consistencia[2], Consistencia3 = consistencia[3], Consistencia4 = consistencia[4], media1 = media[1], media2 = media[2],media3 = media[3],media4 = media[4]))
  
}

Se presentan el valor calculado del sesgo para cada una de las muestras, indicando cual es el estimador más insesgado.

##      N SesgoTheta1 SesgoTheta2 SesgoTheta3 SesgoTheta4
## 1   20  0.58531180   0.5755248   1.1758208  0.84462584
## 2   50  0.03266819   0.5984318   0.5974904  0.04408996
## 3  100  0.72269341   0.2996579   0.3885793  0.39775651
## 4 1000  0.02276760   0.1643062   1.6209731  2.89374951

## Muestra n = 20  => Estimador más insesgado es: 2 
## Muestra n = 50  => Estimador más insesgado es: 1 
## Muestra n = 100  => Estimador más insesgado es: 2 
## Muestra n = 1000  => Estimador más insesgado es: 1

Se presentan el valor calculado de la eficiencia para cada una de las muestras

##   Eficiencia1 Eficiencia2 Eficiencia3 Eficiencia4
## 1   0.4382362   0.3515953   1.6360335  1.34161657
## 2   0.1020889   0.5638968   0.3703050  0.09205312
## 3   1.1233548   0.1354723   0.1754379  0.20888800
## 4   0.0687351   0.1844584   3.5755271  9.81906824

## Muestra n = 20  => Estimador con mejor eficiencia es: 2 
## Muestra n = 50  => Estimador con mejor eficiencia es: 4 
## Muestra n = 100  => Estimador con mejor eficiencia es: 2 
## Muestra n = 1000  => Estimador con mejor eficiencia es: 1

Se presentan el valor calculado de la consistencia para cada una de las muestras

##   Consistencia1 Consistencia2 Consistencia3 Consistencia4
## 1     1.5853118     0.4244752     2.1758208     1.8446258
## 2     1.0326682     1.5984318     0.4025096     1.0440900
## 3     1.7226934     0.7003421     0.6114207     0.6022435
## 4     0.9772324     1.1643062     2.6209731     3.8937495

Se presentan el valor calculado de la media para cada una de las muestras, además de los gráficos de comparación de cada uno de los estimadores

##      media1    media2    media3    media4
## 1 1.5853118 0.4244752 2.1758208 1.8446258
## 2 1.0326682 1.5984318 0.4025096 1.0440900
## 3 1.7226934 0.7003421 0.6114207 0.6022435
## 4 0.9772324 1.1643062 2.6209731 3.8937495

Métodos y análisis estadístico

Jamith Bolaños Vidal

Problema 2

Solución