Problema 1

Estimación del valor de π La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuito con un área igual a π/4 , está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria n puntos dentro del cuadrado . La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4 . Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la estimación de π/4 . De este último resultado se encontrar una aproximación para el valor de π Pasos sugeridos:

Genere n coordenadas x: X1, . . . , Xn. Utilice la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1. La distribución uniforme genera variables aleatorias que tienen la misma probabilidad de venir de cualquier parte del intervalo (0,1).

Genere 1000 coordenadas y : Y1,…,Yn, utilizando nuevamente la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1.

Cada punto (Xi,Yi) se encuentra dentro del círculo si su distancia desde el centro (0.5,0.5) es menor a 0.5. Para cada par (Xi,Yi) determine si la distancia desde el centro es menor a 0.5. Esto último se puede realizar al calcular el valor (Xi−0.5)2+(Yi−0.5)2, que es el cuadrado de la distancia, y al determinar si es menor que 0.25.

¿Cuántos de los puntos están dentro del círculo? ¿Cuál es su estimación de π?

Solución 

## Valor de n: 100 
## Número de puntos dentro del círculo: 78 
## Estimación de π = ( 4 *  78  ) /   100  =  3.12

## Valor de n: 1000 
## Número de puntos dentro del círculo: 782 
## Estimación de π = ( 4 *  782  ) /   1000  =  3.128

## Valor de n: 10000 
## Número de puntos dentro del círculo: 7897 
## Estimación de π = ( 4 *  7897  ) /   10000  =  3.1588

## Valor de n: 1e+05 
## Número de puntos dentro del círculo: 78695 
## Estimación de π = ( 4 *  78695  ) /   1e+05  =  3.1478

Conclusión

Se puede observar que entre más grande es el valor de n, la estimación de Pi(π) se acerca al valor real.