Ma trận cấp \(m\times n\) là một bảng gồm \(m\) hàng và \(n\) cột, ký hiệu là \(A_{m\times n}\). \[ A_{m\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \text{ hoặc } A_{m\times n}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]
ví dụ: \[ A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 5 & 8\\ 4 & -6 & 7 & 3 \end{bmatrix}; B=\begin{bmatrix} 9 & -5 & 5 & 1\\ 0 & -2 & 1 & 1\\ 2 & -3 & 8 & 9\\ \end{bmatrix} \] Ma trận cột, ma trận hàng
\[ A=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 5 \\ 8\\ \end{bmatrix}; B = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 5 & 8 &3 \end{bmatrix} \] Ma trận vuông
\[ B=\begin{bmatrix} 6 & -1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}; A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 5 & 8\\ 4 & -6 & 7 & 3\\ 2 & 4 & 6 & 9\\ -3 & -2 & 10& 1 \end{bmatrix} \] Lưu ý: Ma trận vuông có khái niệm đường chéo chính/phụ.
Ma trận tam giác trên/dưới \[ A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 5 & 8\\ 0 & 8 & 7 & 3\\ 0 & 0 & 9 & 9\\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix}; B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 4 & 6 & 0\\ 2 & 4 & 6\\ \end{bmatrix} \] Ma trận đơn vị
\[ I_4=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix}; I_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \] Ma trận bậc thang theo hàng: Là ma trận khi xét 2 hàng bất kỳ thì phần tử khác 0 đầu tiên của hàng bên dưới luôn luôn nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của hàng bêm trên.
Ví dụ: \[A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 5 & 8\\ 0 & -6 & 7 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}\]
Điều kiện thực hiện: Cùng cấp.
Cho các ma trận sau: \[ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0\\ -1 & 2 & 4\\ 1 & 1 & 3\\ \end{bmatrix}; B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 4 & 6 & 0\\ 2 & 4 & 6\\ \end{bmatrix} \] Tính \(2A - 3B\)! \[ 2A - 3B = 2\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0\\ -1 & 2 & 4\\ 1 & 1 & 3\\ \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 4 & 6 & 0\\ 2 & 4 & 6\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 0\\ -14 & -14 & 8\\ -4 & -10 & -12\\ \end{bmatrix} \]
Điều kiện: Số cột của ma trận đứng trước bằng với số hàng của ma trận đứng sau.
\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1p}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mp} \end{bmatrix} \]
\[ c_{ij}= a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} +\cdots+ a_{in} + b_{nj} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \]
Ví dụ: Cho 2 ma trận
\[ A = \begin{bmatrix}3 & 2 & 0\\-1 & 2 & 4\\1 & 1 & 3\end{bmatrix}; B = \begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\-1 & 3 &5\end{bmatrix} \] Tính \(AB\) và tính \(BA\) \[ AB = \begin{bmatrix}3 & 2 & 0\\-1 & 2 & 4\\1 & 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\-1 & 3 &5 \end{bmatrix} \] \[ BA = \begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\-1 & 3 &5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0\\-1 & 2 & 4\\1 & 1 & 3\end{bmatrix} \]
\(A\) là ma trận (vuông) cấp \(n\), định thức của \(A\) được ký hiệu là \(|A|\) hoặc \(det(A)\) và định nghĩa như sau:
Ví dụ: \(A = \begin{bmatrix}3 & 2 & 0\\-1 & 2 & 4\\1 & 1 & 3 \end{bmatrix}\), tính \(|A|\).
\(|A| = (-1)^{1+1}.3.\begin{bmatrix}2&4\\1&3 \end{bmatrix} + (-1)^{1+2}.2.\begin{bmatrix}-1&4\\1&3 \end{bmatrix} +(-1)^{1+1}.0.\begin{bmatrix}-1&2\\1&1 \end{bmatrix}\)
Ví dụ:
Chuyển vị ma trận là cột thành hàng hoặc chuyển hàng thành cột. Ma trận chuyển vị của ma trận \(A\) ký hiệu là.
Ví dụ: Cho \[A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\-1 & 3 &5\end{bmatrix}; A^T=\begin{bmatrix}1 & -1\\2&3\\4&5\end{bmatrix}\]. Chuyển vị của \(B\) là:
Ví dụ: cho \(A= \begin{bmatrix}3 & 2 & 0\\-1 & 2 & 4\\1 & 1 & 3\\ 2&2&5 \end{bmatrix}\).
\[A= \begin{bmatrix}3 & 2 & 0\\-1 & 2 & 4\\1 & 1 & 3\\ 2&2&5 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix}2&2&5\\-1 & 2 & 4\\1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 0\end{bmatrix}\longrightarrow \begin{bmatrix}2&2&5\\-1 & 2 & 4\\3 & 3 & 9\\ 3 & 2 & 0\end{bmatrix}\longrightarrow \begin{bmatrix} 2&2&5\\-1 & 2 & 4\\0 & 9 & 21\\ 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}\] \(h_3:=h_3 + 3h_2\)
Các tính chất hạng của ma trận:
Thuật toán tìm hạng của ma trận \(A\): Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để biến ma trận \(A\) thành ma trận bậc thang theo hàng, số hàng còn lại khác 0 là hạng của ma trận.