PROBLEMA 4 - ESTIMACIÓN BOOTSTRAP

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 %

Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1,X∗2,X∗n, conformando la muestra bootstrap. Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1: (P2.5;P97.5)

Método 2: (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones

1. Construcción de Matriz y cálculo de medias:

Primero vamos a generar la matriz con los datos entregados en el ejercicio y por bootstrap, genero una muestra de 1000 filas a las cuales les calculo su media:

x <- c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # datos muestra
boot<- sample(x,1000,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b <- matrix(boot,nrow=1000,ncol=7, byrow =TRUE)    # se construye matriz de n x m 
mx<- apply(b,1,mean)

2. Intervalo de confianza Método 1

Aplicando el método 1: (P2.5;P97.5)

Se tiene

## Para un intervalo de confianza del 95%, el valor de la media del consumo de gasolina en millas por galón estaría contenido entre:   4.795429 6.372929

3. Intervalo de confianza por Método 2

Ahora aplicando el método 2: (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

se tiene

## Para un intervalo de confianza del 95%, el valor de la media del consumo de gasolina en millas por galón estaría contenido entre:   4.596251 6.173751

3. Histograma y prueba de resultados

hist(mx, las=1, main="Distribución de medias con IC calculados por método 1 y 2 ", ylab = " ", xlab = "Medias", col="cyan")
abline(v=ic1, col="#AF7500",lwd=2)
abline(v=ic2, col="red",lwd=2)
legend("topright", legend = c("IC Método 1", "IC Método 2"), col = c("#AF7500", "red"), lwd = 2)

La observación del histograma revela una leve asimetría hacia la derecha en la distribución de datos, con la media concentrada en torno a las 5.5 millas por galón. Importa destacar que, conforme aumenta el tamaño de la muestra, los datos muestran una mayor tendencia a aproximarse a una distribución normal.

En cuanto a los métodos 1 y 2, se observa que generan intervalos de confianza ligeramente desplazados en direcciones opuestas, aunque las diferencias parecen ser de magnitud reducida, y ambos intervalos contienen el valor de la media.

ahora la interrogante se basa en ¿Podría confiar en estos resultados?

De acuerdo con la literatura, el método bootstrap se presenta como una herramienta sólida para la estimación de intervalos de confianza en poblaciones que no siguen una distribución normal.

Si se cumplen dos supuestos fundamentales: primero, que la muestra sea representativa de la población y, segundo, que un mayor tamaño de muestra conduce a intervalos de confianza más precisos, en este contexto, con una muestra de 1000 medias, se esperaría que dichos intervalos contengan, en realidad, el valor verdadero de las medias de consumo de combustible de los camiones bajo estudio.

Si estos supuestos se cumplen, es razonable confiar en los resultados obtenidos.