Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad de ocurrencia de un determinado número de evento durante un cierto intervalo de tiempo o espacio, a partir de una frecuencia de ocurrencia media conocida.

\[f(k) \;=\; P(X=k) \;=\; \frac{e^-\lambda * \, \lambda^x}{x!}\] en donde:

\(f(x):\) es la función de probabilidad para valores de x=0,1,2,3..,n.

\(μ:\) es el valor medio esperado en cierto lapso de tiempo. Algunas veces expresado como \(\lambda\).

\(x:\) es la variable aleatoria. Es una variable aleatoria discreta (x=0,1,2,…).

\(e:\) valor constante, es la base de los logaritmos naturales 2.71728.

De acuerdo con la distribución en Rstudio podemos determinar:

dpois: calcula la probabilidad puntual para un valor específico.

ppois: proporciona la probabilidad acumulada.

qpois: proporciona el cuantil para una probabilidad específica.

Ejemplos de la distribución Poisson

  1. Supangamos que en promedio 10 automoviles llegan a la rampa del cajero automatico, se desea desea conocer el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero en un banco.
  1. Determina la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos.
media <- 10
x <- 5
prob <-dpois(x = 5, lambda = media)
prob
## [1] 0.03783327

R//La probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos es de \(3.7%\).

  1. Determina la probabilidad de que lleguen al menos 5 automóviles en 15 minutos.
media <- 10
x <- 4
prob <-ppois(x , lambda = media)
1-prob
## [1] 0.9707473

R//La probabilidad de que lleguen al menos 5 automóviles en 15 minutos, es del \(97%\).

Ejercicios en clase

  1. En media hora lleguen exactamente 14 automoviles.
l=10*2 #Son 10 carros cada 15 minutos, el promedio en 30 minutos son 20 carros.
x=14
dpois(x,l)*100 #dpoise se usa para valores exactos.
## [1] 3.873664

R/ La probabilidad de que lleguen exactamente 14 automóviles en media hora es del 3.8%.

  1. Menos de 6 automoviles en los mismos 15 minutos.
l=10
x=5 #Menos de 6 excluye el 6 exacto.
ppois(x,l)*100 #P. acumulada de 0 a 5 autos
## [1] 6.708596

R/ La probabilidad de que lleguen menos de 6 automóviles en 15 minutos es del 6.7%.