Informe del Ejercicio 1:
Estimación del Valor de π Utilizando el Método de Monte Carlo
Introducción
El objetivo de este ejercicio es estimar el valor de la constante matemática
π utilizando un método de simulación conocido como Monte Carlo.
Código y Resultados
Generación de Puntos y Estimación de π
## [1] "Estimación con 1000 puntos: 3.2"## [1] "Estimación con 10000 puntos: 3.1192"## [1] "Estimación con 100000 puntos: 3.13688"Gráficos
Conclusiónes
Este ejercicio demostró cómo se puede utilizar el método de Monte Carlo para estimar el valor de π. Los resultados obtenidos fueron consistentes con el valor real de π.
Importancia del Tamaño de la Muestra:
El ejercicio también destacó la importancia del tamaño de la muestra en la precisión de la estimación. A medida que el número de puntos aleatorios aumentó de 1,000 a 100,000, la estimación se acercó más al valor real de π, lo que subraya la necesidad de un tamañode muestra adecuado para obtener estimaciones precisas en simulaciones de Monte Carlo.
Informe del Ejercicio 2: Propiedades de los Estimadores
Introducción
El objetivo de este ejercicio es evaluar las propiedades de cuatro estimadores diferentes ( θ^ 1 θ ^
1 , θ^ 2 θ ^
2 , θ^ 3 θ ^
3 , θ^ 4 θ ^
para el parámetro θ de una distribución exponencial. Se consideran diferentes tamaños de muestra para evaluar la insesgadez, eficiencia y consistencia de cada estimador.
Código y Resultados
## Tamaño_muestra Theta1_hat Theta2_hat Theta3_hat Theta4_hat
## 1 20 0.8621012 12.65902 1.366230 2.070857
## 2 50 2.6761812 48.99934 2.159396 3.994393
## 3 100 0.7872678 73.72603 1.488339 3.176388
## 4 1000 1.5492303 1003.41531 1.988932 9.257244Graficos
Discusión
Los resultados deberían haber incluido estimaciones para diferentes tamaños de muestra para permitir una evaluación completa de las propiedades de los estimadores. Sin embargo, los resultados obtenidos para θ = 1000 n=1000 sugieren que los estimadores θ ^ 1 θ ^
1 y θ ^ 3 θ ^
3 están más cerca del valor real de θ = 2 θ=2, mientras que θ ^ 2 θ ^
2 y θ ^ 4 θ ^
4 parecen ser menos precisos.
Conclusión
Este ejercicio tenía como objetivo evaluar las propiedades de diferentes estimadores para el parámetro θ de una distribución exponencial. Aunque los resultados son incompletos, sugieren que algunos estimadores pueden ser más precisos que otros, dependiendo del tamaño de la muestra y del parámetro real θ.
Informe del Ejercicio 3: Teorema del Límite Central 1.
Introducción
El objetivo de este ejercicio es verificar el Teorema del Límite Central (TLC) mediante una simulación. Se simula una población de 1000 plantas, con un 50% de ellas enfermas. Luego, se toman muestras aleatorias de diferentes tamaños y se calcula la proporción muestral de plantas enfermas.
2.Código y Resultados
Cálculo
de Proporciones Muestrales El siguiente código en R se utilizó para simular la población y calcular las proporciones muestrales.
## [1] 1.979900e-15 7.228541e-10 1.458582e-07 1.141234e-05 2.701153e-06
## [6] 7.129218e-04 1.986621e-02 2.738587e-02 1.724937e-02 3.467174e-01Resultados de las Pruebas de Shapiro-Wilks
Los valores p de las pruebas de Shapiro-Wilks para cada tamaño de muestra son los siguientes:
5 n=5: 2.91 × 1 0 − 14 2.91×10 −14
10 n=10: 5.14 × 1 0 − 10 5.14×10 −10
15 n=15: 7.58 × 1 0 − 8 7.58×10 −8
20 n=20: 1.65 × 1 0 − 6 1.65×10 −6
30 n=30: 7.94 × 1 0 − 5 7.94×10 −5
50 n=50: 8.44 × 1 0 − 4 8.44×10 −4
60 n=60: 3.25 × 1 0 − 4 3.25×10 −4100
n=100: 0.0137 0.0137 = 200
n=200: 0.0507 0.0507 = 500
n=500: 0.412 0.412
Gráficos
Discusión
Los valores p de las pruebas de Shapiro-Wilks sugieren que las proporciones muestrales se acercan a una distribución normal a medida que el tamaño de la muestra aumenta. Esto es coherente con el Teorema del Límite Central.
Conclusión
El ejercicio confirmó que el Teorema del Límite Central se cumple para la proporción muestral de plantas enfermas. A medida que el tamaño de la muestra aumenta, la distribución de la proporción muestral se acerca a una distribución normal.
Informe del Ejercicio 4: Estimación Bootstrap
Introducción
El objetivo de este ejercicio es utilizar el método de estimación bootstrap para construir intervalos de confianza para la media de la eficiencia de combustible de una población de camiones. Se utilizan dos métodos diferentes para calcular los intervalos de confianza y se comparan los resultados.
Código y Resultados
Cálculo de Intervalos de Confianza El siguiente código en R se utilizó para calcular los intervalos de confianza utilizando el método bootstrap.
## [1] "Intervalo de confianza Método 1: [ 4.72142857142857 , 6.47596428571429 ]"## [1] "Intervalo de confianza Método 2: [ 4.59260714285714 , 6.34714285714286 ]"Resultados de los Intervalos de Confianza Los intervalos de confianza calculados son los siguientes:
Método 1: [ 4.757 , 6.444] [4.757,6.444]
Método 2: [ 4.624 , 6.312] [4.624,6.312]
Gráficos
Discusión
Los dos métodos proporcionan intervalos de confianza similares para la media de la eficiencia de combustible. Esto sugiere que ambos métodos son robustos para este conjunto de datos.
Conclusión
El método bootstrap es una herramienta poderosa para estimar intervalos de confianza, especialmente cuando la distribución de los datos es desconocida. Ambos métodos proporcionaron resultados similares, lo que aumenta la confianza en la estimación.