Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom
Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Fakultas : Sains dan Teknologi
Jurusan : Teknik Informatika
Kelas : (C) Kalkulus
NIM : 230605110078
Besaran matematika adalah suatu jumlah. Cara kita mengukur jumlah bergantung pada jenis barang yang kita ukur. Hal-hal di dunia nyata mungkin berupa massa, waktu, atau panjang. Hal ini juga bisa berupa kecepatan atau volume atau momentum atau hasil jagung tahunan per hektar.
Kebanyakan orang cenderung menganggap “kuantitas” sama dengan “angka”. Hal ini dapat dimengerti tetapi salah arah. Angka saja tidak ada artinya. Apa arti angka 5 tanpa konteks lebih lanjut? Kuantitas, di sisi lain, menggabungkan angka dengan konteks yang sesuai untuk mendeskripsikan sejumlah barang.
Dalam matematika, operasi aritmatika seperti penjumlahan, perkalian, dan akar kuadrat berlaku universal untuk bilangan. Namun, untuk besaran dengan dimensi yang berbeda, seperti panjang dan waktu, operasi seperti penjumlahan dan pengurangan mungkin hanya masuk akal jika dimensinya sesuai. Perkalian dan pembagian tetap diperbolehkan secara universal untuk besaran dengan dimensi yang berbeda.
Fungsi, dalam pengertian matematika dan komputasi, adalah inti dari kalkulus. “Kalkulus adalah tentang perubahan, dan perubahan adalah tentang hubungan.”
Fungsi adalah konsep matematika untuk mengambil satu atau lebih masukan dan mengembalikan keluaran . Dalam kalkulus, kita terutama akan membahas fungsi-fungsi yang mengambil satu atau lebih besaran sebagai masukan dan mengembalikan besaran lain sebagai keluaran.
Dalam definisi seperti \(f(x) \equiv \sqrt{x}\) pikirkan \(x\) sebagai nama masukan.
Salah satu tanda umum penerapan suatu fungsi adalah ketika isi tanda kurung bukanlah nama simbolik melainkan angka. Misalnya saja saat kita menulis \(\sin(7.3)\) kami memberikan nilai numerik \(7.3\) ke fungsi sinus. Fungsi sinus kemudian melakukan perhitungannya dan mengembalikan nilai 0,8504366.
Sebaliknya, menggunakan nama sendiri di dalam tanda kurung menunjukkan bahwa nilai spesifik untuk masukan ditentukan di tempat lain. Misalnya, ketika mendefinisikan suatu fungsi, kita sering kali menggabungkan dua fungsi atau lebih, seperti ini:
\[ g(x) \equiv exp(x) \sin(x) \] atau \[ h(y,z) \equiv ln(z) \ (\sin(z)-\cos(y)) \]
itu \(y\) dan \(z\) di sisi kiri definisi adalah nama input \(h()\). Sisi kanan menjelaskan cara menyusun keluaran, yang dilakukan dengan menerapkan \(ln()\), \(\sin()\), dan \(\cos()\) ke input. Menggunakan nama di sisi kanan memberi tahu kita fungsi mana yang diterapkan pada input mana. Kita tidak akan mengetahui nilai spesifik apa yang akan dimiliki input tersebut hingga fungsinya \(h()\) sedang diterapkan pada input, seperti dengan
\[ h(y = 1.7, z = 3.2)\]
Setelah kita mempunyai masukan tertentu, kita (atau komputer) dapat memasukkannya ke sisi kanan definisi untuk menentukan keluaran fungsi:
\[ ln(3.2) \ (\sin(3.2)-\cos(1.7)) = 1.163(-0.0584 + 0.1288) = -0.0818. \]
Ruang adalah kumpulan kemungkinan yang berkelanjutan. Seorang anak yang belajar tentang angka dimulai dengan “menghitung angka” \(1, 2, 3, ...\).Di sekolah dasar, himpunan bilangan diperluas hingga mencakup bilangan nol dan bilangan negatif:\(-1, -2, -3, ...\), menghasilkan himpunan yang disebut “bilangan bulat”. Menghitung bilangan dan bilangan bulat merupakan himpunan diskrit . Di antara dua anggota bilangan hitung yang berurutan atau bilangan bulat, tidak ada bilangan lain dari himpunan tersebut.
Langkah selanjutnya dalam pendidikan matematika anak adalah “bilangan rasional”, yaitu bilangan yang ditulis sebagai perbandingan: \(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, ..., \frac{22}{7},\) dan seterusnya. Bilangan rasional ditempatkan pada spasi di antara bilangan bulat. Artinya, di antara dua bilangan bulat apa pun, bahkan bilangan bulat yang berurutan, terdapat bilangan rasional. Misalnya bilangan rasional \(\frac{1}{2}\) jatuh antara 0 dan 1. Penting untuk menganggap bilangan rasional cocok dengan spasi di antara bilangan bulat.
Jika Anda tidak menemukan kata “spasi” pada kalimat sebelumnya, Anda sudah bisa memahami apa yang dimaksud dengan “kontinu”. Misalnya, di antara dua bilangan rasional terdapat bilangan rasional lainnya. Bayangkan bilangan rasional sebagai batu loncatan yang menyediakan jalur dari bilangan mana pun ke bilangan lainnya.
Himpunan yang berkesinambungan seperti jalan setapak; betapapun sedikitnya Anda berpindah dari suatu elemen himpunan, Anda akan tetap berada di himpunan tersebut. Himpunan bilangan yang berkesinambungan sering disebut garis bilangan , meskipun nama yang lebih formal adalah bilangan real . (“Nyata” adalah pilihan kata yang tidak tepat, namun kita terjebak di dalamnya.)
Metafora yang mendasarinya di sini adalah ruang. Di antara dua titik dalam ruang, terdapat titik lain dalam ruang. Kami akan bekerja dengan beberapa ruang berbeda, misalnya:
garis bilangan: semua bilangan real
bilangan positif: bilangan real yang lebih besar dari nol
bilangan non-negatif: ini adalah perluasan terkecil dari bilangan positif yang menambahkan nol pada himpunan.
interval tertutup, misalnya angka antara 5 dan 10, yang akan kita tulis seperti ini: \(5 \le x \le 10\), Di mana \(x\) adalah nama yang kami berikan pada set tersebut.
bidang Cartesian: semua pasangan bilangan real seperti \((5.62, -0.13)\). Metafora lain untuk ini: titik-titik pada selembar kertas atau layar komputer.
ruang koordinat tiga dimensi seperti dunia tiga dimensi kita sehari-hari, umumnya ditulis sebagai himpunan tiga bilangan real seperti \((-2.14, 6.87, 4.03)\).
ruang berdimensi lebih tinggi
Keistimewaan kalkulus adalah menggambarkan hubungan antar himpunan kontinu. Fungsi seperti \(\sin()\) atau \(line()\), yang merupakan fungsi khas yang kita pelajari dalam kalkulus, ambil angka sebagai masukan.
Setiap fungsi memiliki serangkaian input yang sah. Untuk fungsi-fungsi yang dipelajari dalam kalkulus, himpunan ini kontinu: sebuah spasi. Nama yang diberikan pada ruang fungsi yang berisi input sah adalah domain fungsi . Fungsi seperti \(\sin()\) dan banyak lainnya yang memiliki seluruh himpunan bilangan real sebagai domain fungsinya.
Sama seperti "domain" yang merupakan himpunan masukan sah ke suatu fungsi, rentang fungsi adalah himpunan nilai yang dapat dihasilkan oleh fungsi tersebut sebagai keluaran.