Estimacción boostrap

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes:

7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45

Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95% para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95%. Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar.

Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X1, Después de anotado el valor se regresa X1 a la caja y se extrae el valor X2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X1,X2,X2…Xn, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k=1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media Xi¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1

\[Percentil (2.5);Percentil (97.5)\]

Método 2

\[ [2(X¯)−(P97.5)];[2(X¯)−(P2.5)]\]

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos.

Solución

En primera instancia asignamos a una variable (x) el vector con las muestras de las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de los 7 camiones

x <- c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # datos muestra
boot=sample(x,7000,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b=matrix(boot,nrow=1000,ncol=7)    # se construye matriz de n x m 
mx=apply(b,1,mean)                 # se calculan m medias por fila

luego se calcula el intervalo de confianza para el método 1

ic1 <- quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975)) # se calcula IC método 1
ic1
##     2.5%    97.5% 
## 4.764286 6.444429

Luego se calcula el intervalo de confianza para el método 2

ic2 <- c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1]) # se calcula IC método 2
ic2
##    97.5%     2.5% 
## 4.658031 6.338174

Gráfica para boostrap

Realizamos un histograma que permita comparar los métodos para los intervalos de confianza

hist(mx, las=1, 
     main=" Comparacion Metodo 1 y Metodo 2", 
     xlim = c(4,8),
     xlab = " ",
     ylim = c(0,200),
     ylab = " ", 
     col="darkviolet")


abline(v=ic1, col="brown",lwd=2)
abline(v=ic2, col="cyan",lwd=2)

Conclusión

Teniendo en cuenta la técnica de remuestreo bootstrap para los intervalos de confianza según los métodos 1 y 2 de la estimación se puede observar en la gráfica que el segundo estimador corrige el intervalo de confianza, desde mi punto de vista si confiaría en ambos métodos pues los intervalos de confianza ic1 y ic2 están en un rango muy cercano