Problema 4 - Estimación boostrap


El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1, X∗2, X∗2, X∗n, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1

\[Percentil (2.5);Percentil (97.5)\]

Método 2

\[[2(X¯)−(P97.5)];[2(X¯)−(P2.5)]\]

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos.


Resultado


Se calcula el intervalo de confianza para el método 1:

##     2.5%    97.5% 
## 4.715571 6.454679

Se calcula el intervalo de confianza para el método 2:

##    97.5%     2.5% 
## 4.609470 6.348577

Se realiza el histograma para comparar los dos métodos:


Conclusiones


Como se puede observar, el segundo estimador corrige el intervalo.


Código


x <- c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # datos muestra
boot=sample(x,7000,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b=matrix(boot,nrow=1000, ncol=7)    # se construye matriz de n x m 
mx=apply(b,1,mean)   # se calculan m medias por fila

ic1 <-quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975)) # se calcula IC método 1
ic1

ic2 <- c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1]) # se calcula IC método 2
ic2

hist(mx, las=1, main=" ", ylab = " ", xlab = " ", col="#034A94")
abline(v=ic1, col="#FF7F00",lwd=2)
abline(v=ic2, col="#0EB0C6",lwd=2)