Problema 2

Propiedades de los estimadores

La simulación ayuda a entender y validad las propiedades de los estimadores estadísticos como son. insesgadez, eficiencia y la consistencia principalmente. El siguiente problema permite evidenciar las principales características de un grupo de estimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelo de probabilidad.

Sean X1, X2, X3 y X4, una muestra aleatoria de tamaño n=4 cuya población la conforma una distribución exponencial con parámetro θ desconocido. Determine las características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:

• θ1ˆ= (X1+X2 / 6) + (X3+X4 / 3)

• θ2ˆ= (X1+2X2+3X3+4X4) / 5

• θ3ˆ= ((X1+X2+X3+X4) / 4)

• θ4ˆ= ((min{X1,X2,X3,X4} ) + (max{X1,X2,X3,X4})) / 2

Funcion_Estimadores <- function (Estimador, muestra, lambda) {
  
  mx <- matrix(rexp(Estimador, rate = lambda), nrow = Estimador, ncol = muestra, byrow=TRUE) 
  colnames(mx) <- c('Estimador 1','Estimador 2','Estimador 3', 'Estimador 4')
  
  m_estimadores <- mx[1:Estimador,]
  
  for ( i in 1:sim ){
  
   Teta1 = (m_estimadores[i,1] + m_estimadores[i,2] / 6) + (m_estimadores[1,3] + m_estimadores[1,4] / 3)
   Teta2 =  (m_estimadores[i,1] + (2 * m_estimadores[i,2]) + (3 * m_estimadores[i,3]) + (4 * m_estimadores[i,4])) / 4
   Teta3 = ((m_estimadores[i,1] + m_estimadores[i,2] + m_estimadores[i,3] + m_estimadores[i,4]) / 4)
   Teta4 = (min(m_estimadores[i,1],m_estimadores[i,2],m_estimadores[i,3],m_estimadores[i,4]) + max(m_estimadores[i,1],m_estimadores[i,2],m_estimadores[i,3],m_estimadores[i,4])) / 2

  }
  
  boxplot(m_estimadores, xlab = "Estimadores", ylab = "Valores")
  abline(h=lambda,  col="red") 
  
  m_medias <- apply(m_estimadores, 2, mean)
  m_varianza <- apply(m_estimadores, 2, var)
  sesgo <- lambda - m_medias 
  
  valores <- data.frame(m_medias, m_varianza, sesgo)
  prop.table(valores)
  
  }

Simulacion con 20 muestras

lambda <- 2
mue <- 4                  
sim <- 20     
set.seed(123)

Funcion_Estimadores(sim, mue, lambda)

##               m_medias  m_varianza     sesgo
## Estimador 1 0.06152875 0.027735999 0.1634343
## Estimador 2 0.02000082 0.001021646 0.2049622
## Estimador 3 0.03855113 0.005388126 0.1864119
## Estimador 4 0.06240313 0.066002221 0.1625599

En la simulacion con muestra de 20, evidenciamos que el Estimador 4 y el Estimador 1, tiene el valor mas cercano al parametro establecido (2), y presentan el menor sesgo, el estimador mas efectivo es el Estimador 2, al presenta la menor variancia, sin embargo el Estimador 4 es el que presenta el mensor sesgo.

Simulacion con 50 muestras

lambda <- 2
mue <- 4                  
sim <- 50     
set.seed(123)

Funcion_Estimadores(sim, mue, lambda)

##               m_medias m_varianza     sesgo
## Estimador 1 0.05354922 0.01444789 0.1585039
## Estimador 2 0.06630010 0.06144594 0.1457530
## Estimador 3 0.05354922 0.01444789 0.1585039
## Estimador 4 0.06630010 0.06144594 0.1457530

Simulacion con 100 muestras

lambda <- 2
mue <- 4                  
sim <- 100     
set.seed(123)

Funcion_Estimadores(sim, mue, lambda)

##               m_medias m_varianza     sesgo
## Estimador 1 0.05050682 0.01611571 0.1702040
## Estimador 2 0.06905521 0.05682810 0.1516556
## Estimador 3 0.05851510 0.02317341 0.1621957
## Estimador 4 0.05272426 0.02103971 0.1679865

Simulacion con 1000 muestras

lambda <- 2
mue <- 4                  
sim <- 1000    
set.seed(123)

Funcion_Estimadores(sim, mue, lambda)

##               m_medias m_varianza     sesgo
## Estimador 1 0.05878506 0.02739460 0.1633510
## Estimador 2 0.05997890 0.02992375 0.1621572
## Estimador 3 0.05021890 0.02279170 0.1719172
## Estimador 4 0.05981272 0.03134553 0.1623234