Estimacción boostrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1 . Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2 , regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n , X∗1 ,X∗2 ,X∗2 ,X∗n , conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯ , obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5 . Existen dos métodos para estimarlo:

Figura 1
Figura 1
Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

DATOS DE LA MUESTRA

En primera instancia se generan los datos de la muestra de eficiencia de combustible de los siete camiones:

datos_muestra <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

MÉTODO BOOTSTRAP

Para el desarrollo de este ejercicio se elaboran dos métodos de Bootstrap para estimar el intervalo de confianza del 95%:

  1. Se extraen 1000 muestras bootstrap con reemplazo de los datos de la muestra original.
  2. Para cada muestra bootstrap, se calcula la media.
  3. Finalmente se calculan los percentiles 2.5 y 97.5 de las medias Bootstrap, para la aplicación de los dos metodos.
# Número de muestras bootstrap

k <- 1000

# Almacenar medias de las muestras bootstrap
medias_bootstrap <- numeric(k)

# Desarrollar el método bootstrap
set.seed(123) # Para reproducibilidad
for (i in 1:k) {
  muestra_bootstrap <- sample(datos_muestra, replace = TRUE)
  medias_bootstrap[i] <- mean(muestra_bootstrap)
}

# Calculo de percentiles

percentil_1 <- quantile(medias_bootstrap, 0.025)
percentil_2 <- quantile(medias_bootstrap, 0.975)

# Calcular la media de la muestra original

media_muestra <- mean(datos_muestra)

# Calcular el intervalo de confianza utilizando ambos métodos
intervalo_metodo_1 <- c(percentil_1, percentil_2)
intervalo_metodo_2 <- c(2 * media_muestra - percentil_2, 2 * media_muestra - percentil_1)

RESULTADOS

print(intervalo_metodo_1)
##     2.5%    97.5% 
## 4.748393 6.508643
print(intervalo_metodo_2)
##    97.5%     2.5% 
## 4.559929 6.320179

CONCLUSIONES

Al desarrollar los dos metodos se evidencia que ambos generan un intervalo de confianza similar y que la media de eficiencia de combustible de la población se encuentra dentro del resultado obtenido en los intervalos de confianza con un 95%. De acuerdo con el desarrollo de los dos métodos y los resultados obtenidos, estos son confiables ya que al desarrollar ambos metodos sus resultados se parecen y se encuentran dentro del intervalo de confianza propuesto.