PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES

La simulación ayuda a entender y validar las propiedades de los estimadores estadísticos como son: insesgadez, eficiencia y la consistencia principalmente. El siguiente problema permite evidenciar las principales características de un grupo de estimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelo de probabilidad.

Sean X1, X2, X3 y X4, una muestra aleatoria de tamaño n=4 cuya población la conforma una distribución exponencial con parámetro θ desconocido. Determine las características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:

Figura 1 # DESARROLLO

Para cada uno de los estimadores planteados se genera una muestra de n = 20, 50, 100 y 1000. Para estas cuatro muestras se evalua insesgadez, eficiencia y consistencia de acuerdo con un parametro θ = 2.

# Carga de librerías si es necesario
# install.packages("ggplot2")
library(ggplot2)

theta <- 2 #Parametro definido

repeticiones <- 1000 #Numero de repeticiones en la simulación

tamanos_muestra <- c(20, 50, 100, 1000) #Tamaño de la muestra


#Inicialmente se definen las funciones para cada estimador:

estimador1 <- function(muestra) {
  return((muestra[1] + muestra[2]) / 6 + (muestra[3] + muestra[4]) / 3)
}

estimador2 <- function(muestra) {
  return((muestra[1] + 2 * muestra[2] + 3 * muestra[3] + 4 * muestra[4]) / 5)
}

estimador3 <- function(muestra) {
  return((muestra[1] + muestra[2] + muestra[3] + muestra[4]) / 4)
}

estimador4 <- function(muestra) {
  return((min(muestra) + max(muestra)) / 2)
}

#Una vez definidas las funciones de los estimadores, los tamaños en la muestra, la cantidad de repiticiones en la simulación y el parametro se almacenan los resultados en una tabla llamada resultado:

resultados <- data.frame(N = integer(), Estimador = character(), Media = numeric())

#A continuación se plantea la simulación para los diferentes tamaños de muestra definidos:

for (n in tamanos_muestra) {
  for (i in 1:repeticiones) {
    muestra <- rexp(4, rate = 1/theta)  # Generar muestra exponencial
    estimacion_1 <- estimador1(muestra)
    estimacion_2 <- estimador2(muestra)
    estimacion_3 <- estimador3(muestra)
    estimacion_4 <- estimador4(muestra)
    resultados <- rbind(resultados, data.frame(N = n, Estimador = "θ1ˆ", Media = estimacion_1))
    resultados <- rbind(resultados, data.frame(N = n, Estimador = "θ2ˆ", Media = estimacion_2))
    resultados <- rbind(resultados, data.frame(N = n, Estimador = "θ3ˆ", Media = estimacion_3))
    resultados <- rbind(resultados, data.frame(N = n, Estimador = "θ4ˆ", Media = estimacion_4))
  }
}

# Evaluar insesgadez
sesgo_medio <- aggregate(resultados$Media - theta, by = list(resultados$Estimador), mean)
print("Sesgo medio:")

## [1] "Sesgo medio:"

print(sesgo_medio)

##   Group.1           x
## 1     θ1ˆ -0.01481404
## 2     θ2ˆ  1.97808582
## 3     θ3ˆ -0.01480408
## 4     θ4ˆ  0.33821533

# Evaluar eficiencia (Varianza)
varianza_estimaciones <- aggregate((resultados$Media - theta)^2, by = list(resultados$Estimador), mean)
print("Varianza de las estimaciones:")

## [1] "Varianza de las estimaciones:"

print(varianza_estimaciones)

##   Group.1         x
## 1     θ1ˆ 1.1031988
## 2     θ2ˆ 8.7404137
## 3     θ3ˆ 0.9697657
## 4     θ4ˆ 1.7676062

# Generar boxplot con línea roja para representar el valor verdadero de θ
ggplot(resultados, aes(x = Estimador, y = Media)) +
  geom_boxplot() +
  geom_hline(yintercept = theta, color = "red", linetype = "dashed") +
  labs(title = "Estimaciones de θ", x = "Estimador", y = "Valor estimado")

Problema 2

Luis Carlos Castañeda Gonzalez

2023-09-11

PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES

CONCLUSIONES