Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:
El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: \(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24\) y \(4.45\). Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del \(95\ \%\) para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del \(95\ \%\). Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap \(X_{1}^*\). Después de anotado el valor se regresa \(X_{1}^*\) a la caja y se extrae el valor \(X_{2}^*\), regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño \(n\), \(X_{1}^*, X_{2}^*, X_{3}^*,..., X_{n}^*\), conformando la muestra bootstrap.
Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media \(\bar{X_i^*}\), obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles \(P_{2.5}\) y \(P_{97.5}\). Existen dos métodos para estimarlo:
Método 1: \((P_{2.5};P_{97.5})\)
Método 2: \((2\bar{X}−P_{97.5};2\bar{X}−P_{2.5})\)
Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. ¿Confiaría en estas estimaciones?
datos <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
medias <- c()
for(i in 1:1000){
muestra <- sample(x = datos, size = 30, replace = T)
medias <- c(medias, mean(muestra))
}percentiles <- quantile(x = medias, probs = c(0.025, 0.975))
print(paste('Limite inferior: ', as.numeric(percentiles[1])))## [1] "Limite inferior: 5.13666666666667"print(paste('Limite superior: ', as.numeric(percentiles[2])))## [1] "Limite superior: 5.961025"## [1] "Con una confianza del 95%, la media de la eficiencia de combustible de esta población se encuentra entre 5.137 y 5.961 millas/galon"percentil_97_5 <- as.numeric(percentiles[2])
percentil_2_5 <- as.numeric(percentiles[1])
print(paste('Limite inferior: ', 2*mean(medias)-percentil_97_5))## [1] "Limite inferior: 5.129959"print(paste('Limite superior: ', 2*mean(medias)-percentil_2_5))## [1] "Limite superior: 5.95431733333333"## [1] "Con una confianza del 95%, la media de la eficiencia de combustible de esta población se encuentra entre 5.13 y 5.954 millas/galon"Sí confiaría en estas estimaciones, este método es un enfoque estadístico robusto y flexible que no requiere supuestos sobre la distribución poblacional para hacer estimaciones muy cercanas a la realidad.
Problema tomado de Navidi(2006)