PROBLEMA 1.

Estimación del valor de π.

La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuito con un área igual a π/4, está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria n puntos dentro del cuadrado . La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4. Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la estimación de π/4. De este último resultado se encontrar una aproximación para el valor de π.

Pasos sugeridos:

Genere n coordenadas \(x: X_1, . . . , X_n\). Utilice la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1. La distribución uniforme genera variables aleatorias que tienen la misma probabilidad de venir de cualquier parte del intervalo (0,1).
Genere 1000 coordenadas \(y : Y_1,...,Y_n\), utilizando nuevamente la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1.
Cada punto \((X_i,Y_i)\) se encuentra dentro del círculo si su distancia desde el centro (0.5,0.5) es menor a 0.5. Para cada par \((X_i,Y_i)\) determine si la distancia desde el centro es menor a 0.5. Esto último se puede realizar al calcular el valor \((X_i−0.5)^2+(Y_i−0.5)^2\), que es el cuadrado de la distancia, y al determinar si es menor que 0.25.
¿Cuántos de los puntos están dentro del círculo? ¿Cuál es su estimación de π?

# Muestras
n <- c(1000, 10000, 100000)

# Función para estimar pi
estimar_pi <- function(n) {
  # Generar coordenadas X y Y
  x <- runif(n, min = 0, max = 1)
  y <- runif(n, min = 0, max = 1)
  
  # Calcular la distancia desde el centro
  distancia_al_centro <- (x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2
  
  # Contar puntos dentro del círculo
  puntos_dentro <- sum(distancia_al_centro < 0.25)
  
  # Estimación de PI
  estimacion_pi_4 <- puntos_dentro / n
    # Aproximaación de PI
  aproximacion_pi <- estimacion_pi_4 * 4
    return(list(puntos_dentro = puntos_dentro, aproximacion_pi = aproximacion_pi))
}

# Aplicamos todo lo anterior para cada una de las muestras
resultados <- lapply(n, estimar_pi)

# resultados
for (i in 1:length(n)) {
  cat("Muestra", n[i], "puntos\n")
  cat("Puntos dentro del círculo:", resultados[[i]]$puntos_dentro, "\n")
  cat("Estimación de π:", resultados[[i]]$aproximacion_pi, "\n\n")
}

## Muestra 1000 puntos
## Puntos dentro del círculo: 771 
## Estimación de π: 3.084 
## 
## Muestra 10000 puntos
## Puntos dentro del círculo: 7894 
## Estimación de π: 3.1576 
## 
## Muestra 1e+05 puntos
## Puntos dentro del círculo: 78516 
## Estimación de π: 3.14064

Unidad N°2 - Métodos y simulación estadística

Ejercicio N° 1

Juan David Raigoso Espinosa

2023-09-12

PROBLEMA 1.

Estimación del valor de π.